2 Compléments sur les Boréliens

On rappelle que la tribu des boréliens d’un espace métrique $(X,d)$ est la tribu engendrée par l’ensemble des ouverts $\mathcal{T}$ . (cf. définition 4.6). En pratique, il est difficile de décrire tous les boréliens (les ouverts sont déjà difficiles à décrire), mais on n’a pas besoin de description explicite (juste de familles génératrices simples, et stables par intersections finies).

Remarque C.1.

Il existe des ensembles qui ne sont pas boréliens sur $\mathbb{R}$ , et donc des fonctions non-boréliennes. Ils ne sont pas si faciles à définir, donc en pratique, tous les ensembles qu’on rencontrera seront boréliens.

2.1 Espaces métriques séparables et leurs boréliens

Définition C.2.

Une partie $A$ est dite dense dans $E$ si $\bar{A}=E$ . Un ensemble est dit séparable si il admet un sous-ensemble au plus dénombrable dense (ou autrement dit une suite dense).

Lemme C.4.

Un sous-ensemble $F$ d’un espace métrique séparable est séparable.

Démonstration :

On peut supposer $F$ non-vide, sinon, c’est évident (la partie vide donc finie est dense). On fixe donc $x_{0}\in F$

Soit $u_{n}$ une suite dénombrable dense. Soit $a_{m,n}\in B(u_{m},1/n)\cap F$ si cet ensemble est non-vide, et sinon on pose $a_{m,n}=x_{0}$ . La famille $\{a_{m,n},m,n\in\mathbb{N}\}$ est finie ou dénombrable et dense car si $x\in F$ il existe $d(u_{m},x)<1/2n$ donc $a_{m,2n}$ existe car $B(u_{m},1/2n)\cap F$ est non vide et par inégalité triangulaire $d(u_{m},a_{m,2n})<1/n.$ □

Proposition C.5.

$(\mathbb{R}^{n},||.||_{\infty})$ est séparable.

Démonstration :

On a vu que $\mathbb{Q}^{n}$ est dénombrable comme produit d’ensembles dénombrables. Montrons qu’il est dense dans $\mathbb{R}^{n}$ . En effet si $x=(x_{1},...,x_{n})$ on pose $x_{p}=(\frac{\lfloor px_{1}\rfloor}{p},...,\frac{\lfloor px_{n}\rfloor}{p})$ avec $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ . Donc $\lfloor px_{i}\rfloor\leq px_{i}\leq\lfloor px_{i}\rfloor+1$ et

\Big{|}\frac{\lfloor px_{i}\rfloor}{p}-x_{i}\Big{|}\leq\frac{1}{p}

donc $||x_{p}-x||_{\infty}\leq 1/p\to_{p\to\infty}0$ . Donc vu $x_{p}\in\mathbb{Q}^{n}$ , $x\in\overline{\mathbb{Q}^{n}}$ . Comme $x$ est arbitraire. $\mathbb{R}^{n}\subset\overline{\mathbb{Q}^{n}}$ CQFD. □

Exercice C.1.

Montrer que $\mathbb{Q}^{c}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

Proposition C.6.

Soit $(X,d)$ un espace métrique séparable, alors la tribu borélienne est engendrée par les boules ouvertes $\mathcal{B}(X)=\sigma\Big{(}B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ X}\Big{)}.$

Démonstration :

Toute boule ouverte est un ouvert donc $\{B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ X}\}\subset\mathcal{B}(X)$ et donc en passant à la tribu engendrée: $\sigma\Big{(}B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ X}\Big{)}\subset\mathcal{B}(X)$ .

Le contenu de la proposition est la réciproque. Il suffit de montrer que $\mathcal{T}\subset\sigma\Big{(}B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ X}\Big{)}$ car alors, en passant à la tribu engendré, on obtient $\mathcal{B}(X)\subset\sigma\Big{(}B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ X}\Big{)}.$

Montrons qu’en fait, tout ouvert $U$ est union au pus dénombrable de boules ouvertes. Comme $X$ est séparable, c’est aussi le cas de $U$ . Soit $D=\{x_{n}:n\in\mathbb{N}\}\subset U$ une suite dense. Comme $U$ est ouvert, il existe $r_{n}\in\mathbb{Q}\cap]0,+\infty[$ tel que $B(x_{n},r_{n})\subset U$ . Soit donc $A=\{(x_{n},r_{n}):r_{n}\in\mathbb{Q}\cap]0,+\infty[,B(x_{n},r_{n})\subset U\}$ est donc a.p.d comme sous-ensemble d’un produit d’ensembles dénombrables. Donc en passant à l’union on a : $\displaystyle\displaystyle\bigcup_{(x_{n},r_{n})\in A}B(x_{n},r_{n})\subset U$ . Montrons que

U=\displaystyle\bigcup_{(x_{n},r_{n})\in A}B(x_{n},r_{n})\in\sigma\Big{(}B:% \mathrm{Boule\ ouverte\ de\ X}\Big{)}

Soit $x\in U$ , il existe $r>0$ avec $B(x,r)\subset U$ . Puis il existe $n$ tel que $d(x,x_{n})<\frac{r}{3}$ et soit $r_{n}\in\mathbb{Q}$ avec $r/3<r_{n}<r/2$ (par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ = donc $x\in B(x_{n},r/3)\subset B(x_{n},r_{n})\subset B(x_{n},r/2)\subset B(x,r)\subset U$ donc $(x_{n},r_{n})\in A$ et $x\in\displaystyle\bigcup_{(x_{n},r_{n})\in A}B(x_{n},r_{n})$ . Comme $x$ est arbitraire, on a l’insclusion réciproque qui conclut: $\displaystyle U\subset\displaystyle\bigcup_{(x_{n},r_{n})\in A}B(x_{n},r_{n})$ . □

Preuve du Corollaire 4.17 :

Il suffit de remarquer que $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})=\sigma\Big{(}\{\{+\infty\},\{-\infty\}\}% \cup\{]a,b[:a<b<a+2\}\Big{)}$ , car $\overline{\mathbb{R}}$ est séparable ( $\{+\infty,-\infty\}\cup\mathbb{Q}$ est dense car la densité sur $\mathbb{R}$ coïncide avec la densité usuelle vu qu’on a les mêms ouverts, cf TD 1) et que les ensembles de la partie génératrice sont les boules ouvertes pour $d_{\overline{\mathbb{R}}}$ .

Il suffit de noter que $\displaystyle]a,b[=\bigcap_{n\geq 1}\big{[}a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}\Big{]}% \in\sigma\Big{(}\{\{+\infty\},\{-\infty\}\}\cup\{[a,b]:a<b\}\Big{)}$ pour déduire que

\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})=\sigma\Big{(}\{\{+\infty\},\{-\infty\}\}% \cup\{[a,b]:a<b\}\Big{)}

Par le lemme 4.13, on a alors que $f$ est mesurable si et seulement si

7.

$f^{-1}(\{\infty\})\in\mathcal{T}$
8.

$f^{-1}(\{-\infty\})\in\mathcal{T}$
9.

Pour tout $a<b\in\mathbb{R}$ , $\displaystyle f^{-1}([a,b])\in\mathcal{T}$

C’est exactement le résultat voulu (et on a vu que le dernier point équivaut à la mesurabilité de la restrition de $f$ à $\mathbb{R}$ .

□

2.2 Preuve du lemme 4.6

Pour rappel, on veut montrer que

\displaystyle\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\sigma\Big{(}\prod_{i=1}^{n}]a_{i},b_% {i}[,a_{i}<b_{i}\in\mathbb{R}\Big{)}.

Comme les produits d’intervalles ouverts sont des ouverts, et que les boules ouvertes pour la norme infini sont des boules ouvertes, on a

\{B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ }\mathbb{R}^{n},||\cdot||_{\infty}\}\subset% \left\{\prod_{i=1}^{n}]a_{i},b_{i}[,a_{i}<b_{i}\in\mathbb{R}\right\}\subset% \mathcal{T}.

Donc en prenant la tribu engendrée et en appliquant la proposition C.6 sachant que $\mathbb{R}^{n}$ est séparable par la proposition C.5, on obtient:

\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\sigma\Big{(}\{B:\mathrm{Boule\ ouverte\ de\ }% \mathbb{R}^{n},||\cdot||_{\infty}\}\Big{)}\subset\sigma\Big{(}\prod_{i=1}^{n}]% a_{i},b_{i}[,a_{i}<b_{i}\in\mathbb{R}\Big{)}\subset\sigma\Big{(}\mathcal{T}% \Big{)}=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}).