4 Compléments sur la construction de l’intégrale

4.1 Intégrale des fonctions étagées

La définition 4.11 est motivée par le résultat suivant:

Lemme C.10.

L’intégrale $\int_{B}fd\mu$ ne dépend pas de la décomposition $f(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(\omega)$ en somme d’indicatrice d’ensembles deux à deux disjoints mais seulement de $f$ .

Démonstration :

Pour $\displaystyle f=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}},$ il existe toujours une (unique) représentation canonique de $f$ en voyant $b_{1}<\cdots<b_{m}$ tel que l’image $f(\Omega)-\{0\}=\{b_{1},\cdots,b_{m}\}$ et en prenant $B_{i}=f^{-1}(\{b_{i}\})\in\mathscr{T}$ car $f$ est mesurable. Alors, on a $\displaystyle f(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_{i}1_{B_{i}}(\omega)$ . Comme les $A_{i}$ sont 2 à deux disjoints, on voit $B_{j}$ comme union disjointe de $A_{i}$ et donc $\displaystyle\mu(B_{i}\cap B)=\displaystyle\sum_{\{j:a_{j}=b_{i}\}}\mu(A_{j}% \cap B)$ donc, en regroupant par paquet:

\int_{B}fd\mu=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i}\mu(A_{j}\cap B)=\displaystyle% \sum_{i=1}^{m}\displaystyle\sum_{\{j:a_{j}=b_{i}\}}b_{i}\mu(A_{i}\cap B)=% \displaystyle\sum_{i=1}^{m}b_{i}\mu(B_{i}\cap B).

C’est la formule qui ne dépend que de $f$ (comme sa représentation canonique). □

4.2 Preuve du lemme 4.20

1. Si $f(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(\omega)$ avec les $A_{i}$ deux à deux disjoints, alors $1_{B}f(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}\cap B}(\omega)$ . Donc $\int_{B}fd\mu=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu(A_{i}\cap B)=\int_{\Omega}1_% {B}fd\mu$ .

2. De même, $cf(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}ca_{i}1_{A_{i}}(\omega)$ , alors $\int_{B}cfd\mu=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}ca_{i}\mu(A_{i}\cap B)=c\int_{B}fd\mu$ .

3.Si de plus $h=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}b_{j}1_{B_{j}}(\omega)$ avec les $B_{j}$ deux à deux disjoints, et soit $B_{0}=\Omega-\displaystyle\bigcup_{j=1}^{m}B_{j},A_{0}=\Omega-\displaystyle% \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$ , alors les $A_{i}\cap B_{j}$ deux à deux disjoints $i=0,\cdots,n,j=0,\cdots,m$ . De même, avec $a_{0}=b_{0}=0$ , $f(\omega)=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}1_{A_{i}% \cap B_{j}}(\omega)$ , $h(\omega)=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_{j}1_{A_{i}% \cap B_{j}}(\omega)$ . Donc

f(\omega)+h(\omega)=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(a_{% i}+b_{j})1_{A_{i}\cap B_{j}}(\omega)

On obtient donc:

\int_{B}f+hd\mu=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(a_{i}+b% _{j})\mu(A_{i}\cap B_{j})=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\displaystyle\sum_{i=0}^{% n}a_{i}\mu(A_{i}\cap B_{j})+\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\displaystyle\sum_{i=0}% ^{n}b_{j}\mu(A_{i}\cap B_{j})=\int_{B}fd\mu+\int_{B}hd\mu.

4. Si $0\leq f\leq h$ alors $h=(h-f)+f$ est la somme de deux fonctions étagées positives et par le 3, $\int_{B}fd\mu\leq\int_{B}fd\mu+\int_{B}(h-f)d\mu=\int_{B}hd\mu$ .

4.3 Preuve du lemme 4.22

On va utiliser que toutes les propriétés sont vraies si $f, h$ sont étagées par définition de l’intégrale dans ce cas.

1. Soit $g$ étagée avec $g\leq f$ alors $g\leq h$ , donc par définition $0\leq\int_{B}gd\mu\leq\int_{B}hd\mu$ . En passant au sup sur les $g$ , on obtient $0\leq\int_{B}fd\mu\leq\int_{B}hd\mu$ .

2. Soit $g$ étagée avec $g\leq f$ , alors $1_{B}g\leq 1_{B}f$ . Or par le cas étagé du lemme 4.20, on a $\int_{B}gd\mu=\int_{\Omega}1_{B}gd\mu$ et donc par définition: $\int_{B}gd\mu=\int_{\Omega}1_{B}gd\mu\leq\int_{\Omega}1_{B}fd\mu$ . En passant au sup, on obtient $\int_{B}fd\mu\leq\int_{\Omega}1_{B}fd\mu$ .

En sens inverse, $g$ étagée positive avec $g\leq 1_{B}f\leq f$ vérifie donc $g1_{B}=g$ et par définition $\int_{\Omega}gd\mu=\int_{\Omega}g1_{B}d\mu=\int_{B}gd\mu\leq\int_{B}fd\mu$ soit en passant au sup $\int_{\Omega}1_{B}fd\mu\leq\int_{B}fd\mu$ .

Le cas particulier vient du 1. appliqué à l’inéaglité $1_{A}f\leq 1_{B}f$ sous la forme: $0\leq\int_{A}fd\mu=\int_{\Omega}1_{1}fd\mu\leq\int_{\Omega}1_{B}fd\mu=\int_{B}fd\mu$ .

3. Si $c=0$ c’est évident, on suppose donc $c>0$ . Alors pour $g\leq f$ avec $g$ étagée positive, on a $cg\leq cf$ donc par le cas étagé du lemme 4.20, on a $c\int_{B}gd\mu=\int_{B}cgd\mu\leq\int_{B}cfd\mu$ . En passant au sup, on a obtenu:

c\int_{B}fd\mu\leq\int_{B}cfd\mu

mais en appliquant ) $c f$ à la place de $f$ et $f=\frac{1}{c}cf$ , on obtient:

\frac{1}{c}\int_{B}cfd\mu\leq\int_{B}c\frac{1}{c}fd\mu=\int_{B}fd\mu

d’où l’inégalité dans l’autre sens $\int_{B}cfd\mu\leq c\int_{B}fd\mu$ et donc l’égalité.

4. Si $f=0$ $0\leq g\leq f$ implique $g=0$ et en passant au sup de $0$ , on obtient le résultat.

Si $\mu(B)=0$ , $\int_{B}gd\mu=\int_{\Omega}1_{B}gd\mu$ et si $g(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(\omega)$ , on a $\int_{\Omega}1_{B}gd\mu=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu(B\cap A_{i})=0$ car chaque $\mu(B\cap A_{i})\leq\mu(B)=0.$

5. Si on a $0\leq g\leq f$ , $0\leq k\leq h$ avec $g, k$ mesurable positive, alors $g+k\leq f+h$ est mesurable positive, donc $\int_{B}f+hd\mu\geq\int_{B}g+kd\mu=\int_{B}gd\mu+\int_{B}kd\mu$ . En passant au sup, on obtient le résultat.