3 Stabilité des fonctions mesurables

Lemme C.7.

Un supremum d’une suite fn:(Ω,𝒯)→ℝ¯ de fonctions mesurables est mesurable.

Démonstration : 

On note f=supn≥1fn et on remarque que

f−1⁢([−∞,a])={ω∈Ω:supn≥1fn⁢(ω)≤a}=∩n≥1fn−1⁢([−∞,a]).

Or par le corollaire 4.17, on sait que fn−1({−∞} est dans 𝒯 et aussi fn−1(]−∞,a])=∪n≥1f−1n([−n,a])∈𝒯 par union dénombrable. Donc chaque fn−1⁢([−∞,a])∈𝒯 et donc par intersection dénombrable, on a f−1⁢([−∞,a])∈𝒯. Par le corollaire 4.16, on déduit que la restriction de f à ℝ est mesurable et donc pour tout a<b, on a f−1⁢([a,b])∈𝒯.

Enfin, f−1⁢({−∞})=∩n≥1fn−1⁢({−∞})∈𝒯 et f−1({+∞})=⋂n≥1f−1(]n,+∞])∈𝒯. Or f−1(]n,+∞])=f−1([−∞,n])c∈𝒯 donc par intersection dénombrable, on a bien f−1⁢({+∞})∈𝒯. Par la réciproque du corollaire 4.17, on déduit que f est mesurable.   □

Lemme C.8.

La lim sup,lim inf d’une suite fn:(Ω,𝒯)→ℝ¯ de fonctions mesurables est mesurable.

Démonstration : 

Comme infnfn=−supn−fn, on déduit qu’un infimum d’une suite de fonctions mesurables est mesurable. Or, comme rappelé au chapitre précédent,

lim supnfn=infn≥0supk≥nfk,lim infnfn=supn≥0infk≥nfk

est donc mesurable en utilisant le résultat du lemme précédent sur le suprémum (ou l’infinimum) de fonctions mesurables.   □

Proposition C.9.

Une limite simple d’une suite fn:(Ω,𝒯)→ℝ¯ de fonctions mesurables est mesurable.

Démonstration : 

Si une suite converge simplement, on a limn→∞fn=lim supnfn qui est donc mesurable par le lemme précédent.   □