1 Rappel sur le lemme de Zorn

Si on était en dimension finie, on voudrait faire une récurrence sur le cardinal d’une famille orthonormale en ajoutant un vecteur de plus pris dans un ensemble dense. Une façon de rédiger la preuve est de considérer un sous-espace de dimension maximale et d’obtenir une contradiction en construisant une famille libre de cardinal $1$ de plus.

Dans le cas de la dimension infinie on pourrait faire une récurrence transfinie en complétant une base de $G$ en une base de $E$ et mettant un “bon ordre” sur la base. En analyse (ou en algèbre), on préfère souvent utiliser la conséquence suivante de l’axiome du choix, le lemme de Zorn, qui utilise une notion de maximalité pour obtenir une contradiction comme dans la preuve par induction.

Soit $P$ muni d’un ordre partiel $\le$. $Q\subset P$ est dit totalement ordonné si tout $a,b\in Q$ on a soit $a\le b$, soit $b\le a$. $c\in P$ est un majorant de $Q$ si $\forall a\in Q,a\le c.$

$m\in P$ est un élément maximal de P si tout $x\in P$ tel que $m\le x$ on a $x=m.$

Enfin $P$ est dit inductif si tout ensemble totalement ordonné de P admet un majorant.