2 Théorème des bases dans le cas général

Théorème E.2.

Soit $H$ un espace préhilbertien.

1.

Une famille orthonormale $(x_{i})_{i\in I}$ est libre et vérifie l’inégalité de Bessel, pour tout $x\in H$ :

$\displaystyle\sum_{i\in I}|\langle x,x_{i}\rangle|^{2}\leq||x||^{2}$
2.

De plus une famille orthonormale $(e_{i})_{i\in I}$ est une base hilbertienne si et seulement si on a l’égalité de Bessel-Parseval :

$\displaystyle\sum_{i\in I}|\langle x,x_{i}\rangle|^{2}=||x||^{2}$

De plus, dans ce cas, pour tout $x\in H$ , la série suivante converge (dans $H$ mais pas absolument)

$x=\displaystyle\sum_{i\in I}e_{i}\langle e_{i},x\rangle.$
3.

Si $H$ est un espace de Hilbert, toute famille orthonormale peut être complétée en une base hilbertienne de $H$ et $J:x\mapsto(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$ établit alors une isométrie surjective $J:H\simeq\ell^{2}(I).$

Remarque E.1.

De la formule pour x, on tire par continuité la formule pour le produit scalaire (qui est une série absolument convergente par Cauchy-Schwarz):

\langle y,x\rangle=\displaystyle\sum_{i\in I}\langle y,e_{i}\rangle\langle e_{% i},x\rangle.

Démonstration :

(1) Si $\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_{i}x_{i}=0$ , on calcule $\lambda_{j}=\langle x_{j},\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_{i}x_{i}\rangle=0$ donc $x_{i}$ est bien libre. Si $F$ est une partie finie de $I$ , et $V=V_{F}=Vect(e_{i},i\in F)$ , on a déjà vu la formule pour la projection orthogonale sur $V_{F}$ :

p_{V}(x)=\displaystyle\sum_{i\in F}e_{i}\langle e_{i},x\rangle.

Donc par la propriété de contraction de $p_{F}$ et l’ortogonalité

||p_{F}(x)||^{2}=\big{\langle}\displaystyle\sum_{i\in F}e_{i}\langle e_{i},x% \rangle,\displaystyle\sum_{j\in F}e_{j}\langle e_{j},x\rangle\big{\rangle}=% \displaystyle\sum_{i\in F}|\langle e_{i},x\rangle|^{2}\leq||x||^{2}

la famille est donc sommable et on a l’inégalité de Bessel pour la somme (en passant au supremum) et on trouve en particulier $(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}\in\ell^{2}(I).$

(2) Si $(e_{i})_{i\in I}$ est une base soit $x_{n}\in Vect(e_{i},i\in I)$ convergeant vers $x$ .

De plus, pour $n$ assez grand $|||x||^{2}-||x_{n}||^{2}|\leq\epsilon/2$ et pour tout $J$ ,

|||p_{V_{J}}(x)||^{2}-||p_{V_{J}}(x_{n})||^{2}|\leq||p_{V_{J}}(x_{n}-x)||(||x_% {n}||+||x||)\leq||(x_{n}-x)||(||x_{n}||+||x||)\leq\epsilon/2

d’où en prenant $J$ tel que $p_{V_{J}}(x_{n})=x_{n}$ on obtient

\left|\displaystyle\sum_{i\in J}|\langle e_{j},x\rangle|^{2}-||x||^{2}\right|\leq\epsilon

et donc la somme de la série est $||x||$ d’où l’égalité de Parseval.

Réciproquement, Si on a égalité, on trouve $J_{n}$ tel que

\displaystyle\sum_{j\in J_{n}}|\langle e_{j},x\rangle|^{2}=||p_{V_{J_{n}}}(x)|% |^{2}\to||x||^{2}

et ceci implique par le théorème de Pythagore :

||p_{V_{J_{n}}}(x)-x||_{2}^{2}=||x||_{2}^{2}-||p_{V_{J_{n}}}(x)||_{2}^{2}\to 0

donc tout élément de $H$ est limite d’éléments de $Vect(e_{i},i\in I)$ d’où la propriété de base hilbertienne.

De plus un calcul donne la formule pour $x$ :

||x-\displaystyle\sum_{i\in F}e_{i}\langle e_{i},x\rangle||^{2}=\displaystyle% \sum_{i\not\in F}|\langle e_{i},x\rangle|^{2}\to 0.

(3) Considérons l’ensemble des familles orthonormales contenant une famille orthonormale donnée, et ordonné par inclusion. C’est un ensemble non-vide. Si on a une famille totalement ordonnée de familles orthonormales, l’union est un majorant, donc l’ensemble ordonné est inductif, il admet donc par le lemme de Zorn un élément maximal $(e_{i})_{i\in I}$ . Si ce n’était pas une base (complétant la famille orthonormale de départ), on aurait un $x$ avec

\displaystyle\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}<||x||^{2}.

Comme $H$ est complet la somme $y=\displaystyle\sum_{i\in I}e_{i}\langle e_{i},x\rangle$ converge car si $(I_{n})$ croissante telle que $\displaystyle\sum_{i\in I_{n}}|\langle e_{i},x\rangle|^{2}\to\displaystyle\sum% _{i\in I}|\langle e_{i},x\rangle|^{2}$ la suite $y_{n}=\displaystyle\sum_{i\in I_{n}}e_{i}\langle e_{i},x\rangle$ est de Cauchy car pour $q>p$

||y_{p}-y_{q}||_{2}^{2}=\displaystyle\sum_{i\in I_{q}-I_{p}}|\langle e_{i},x% \rangle|^{2}\leq\displaystyle\sum_{i\not\in I_{p}}|\langle e_{i},x\rangle|^{2}% \to 0.

On déduit que $y-x$ est orthogonal à tout $e_{i}$ car tout i tel que $\langle e_{i},x\rangle\neq 0$ est dans un $I_{n}$ et que $\langle y_{n}-x,e_{i}\rangle=0$ pour $n$ assez grand pour un tel $i$ . Donc par orthogonalité

||y-x||_{2}^{2}=||x||^{2}-\displaystyle\sum_{i\in I}|\langle x,x_{i}\rangle|^{% 2}>0

donc ajouter $(y-x)/||y-x||$ à la famille orthonormale contredit la maximalité et conclut.

Une fois l’existence d’une base, l’isométrie est évidente par le (2), et si on a une suite $(\lambda_{i})_{i\in I}$ dans $\ell^{2}(I)$ , on voit que $\displaystyle\sum\lambda_{i}e_{i}$ converge par complétude comme ci-dessus et on obtient ainsi la surjectivité. □