3 Correction de l’exercice sur les polynômes de Hermite

Soit $H=L^2(ℝ,\mu )$ l’espace de Hilbert réel des fonctions de carrés intégrables pour la mesure gaussienne standard $\mu \left(dx\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx$, muni de la norme usuelle:

Soit

(et donc $H_0\left(x\right)=1$)

1. 1.
   ​

   Montrons par récurrence que pour $n\ge 1$, $H_n$ est un polynôme de la forme:

   $$\sqrt{n!}{H}_n\left(x\right)=x^n+\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k.$$

   En effet $H_1\left(x\right)=\left(-1\right)e^{x^2/2}\left(-x{e}^{-x^2/2}\right)=x$ et si on suppose l’hypothèse au rang $n$

   $$\sqrt{\left(n+1\right)!}{H}_{n+1}\left(x\right)=-e^{x^2/2}\left(\frac{d}{dx}\right)\left(e^{-x^2/2}\sqrt{n!}{H}_n\left(x\right)\right)$$

   Or $\left(\frac{d}{dx}\right)\left(e^{-x^2/2}{x}^k\right)=-x^{k+1}{e}^{-x^2/2}+k{x}^{k-1}{e}^{-x^2/2}$ donc l’hyp. de rec. donne

   $$\sqrt{\left(n+1\right)!}{H}_{n+1}\left(x\right)=-e^{x^2/2}\left(\frac{d}{dx}\right)\left(e^{-x^2/2}\left(x^n+\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k\right)\right)=\left(x^{n+1}-n{x}^{n-1}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k\left(x^{k+1}-k{x}^{k-1}\right)$$

   qui a la forme souhaitée.

2. 2.
   ​

   Montrons que ${\left(H_n\right)}_{n\ge 0}$ est une famille orthonormale de $H$.

   On calcule pour $m\ge n$ :

   $$⟨H_n,H_m⟩={\left(-1\right)}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sqrt{m!}}\int H_n\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\right)}^m\left(e^{-x^2/2}\right)𝑑x$$

   En intégrant par partie

   $$\int H_n\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\right)}^m\left(e^{-x^2/2}\right)𝑑x={\left[H_n\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\right)}^{m-1}\left(e^{-x^2/2}\right)\right]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\int H_n^{\prime }\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\right)}^{m-1}\left(e^{-x^2/2}\right)𝑑x$$

   le crochet est 0 vu que $P\left(x\right)e^{-x^2/2}$ pour $P$ polynome tend vers 0 en $\pm \mathrm{\infty }$.

   Par induction si $m>n$

   $$⟨H_n,H_m⟩={\left(-1\right)}^{m-n}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sqrt{m!}}\int H_n^{\left(n+1\right)}\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\right)}^{m-n+1}\left(e^{-x^2/2}\right)𝑑x=0$$

   et si m= n vu $H_n^{\left(n\right)}\left(x\right)=\sqrt{n!}$ en appliquant le 1.

   $$⟨H_n,H_n⟩={\left(-1\right)}^{m-n}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sqrt{m!}}\int H_n^{\left(n\right)}\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\right)}^{m-n}\left(e^{-x^2/2}\right)𝑑x=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int e^{-x^2/2}𝑑x=1$$

   comme voulue.