1 Ensembles dénombrables, Familles sommables.

Exercice 1  (injectivité, surjectivité) Soit $f:X\to Y$.

1. 1.
   ​

   Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:

   1. (a)
      ​

      $f$ est injective;

   2. (b)
      ​

      $\forall A\subset X$, $f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)=A$;

   3. (c)
      ​

      $\forall x\in X$, $f^{-1}\left(f\left(\left\{x\right\}\right)\right)=\left\{x\right\}$.

2. 2.
   ​

   Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:

   1. (a)
      ​

      $f$ est surjective;

   2. (b)
      ​

      $\forall B\subset Y$, $f\left(f^{-1}\left(B\right)\right)=B$;

   3. (c)
      ​

      $\forall y\in Y$, $f\left(f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)\right)=\left\{y\right\}$.

Exercice 2  (fonctions indicatrices) Rappelons que si $A\in 𝒫\left(\mathrm{\Omega }\right)$ la fonction indicatrice $1_A$ de $A$ est définie par

1. 1.
   ​

   Calculer $1_{\mathrm{\emptyset }}$ et $1_{\mathrm{\Omega }}$.

2. 2.
   ​

   Pour $A\in 𝒫\left(\mathrm{\Omega }\right)$ et $B\in 𝒫\left(ℝ\right)$ calculer $1_A^{-1}\left(B\right)$.

3. 3.
   ​

   Soit $A,B\in 𝒫\left(\mathrm{\Omega }\right)$. Calculer en fonction de $1_A$ et $1_B$ les fonctions suivantes: $1_{A^c}$, $1_{A\cap B}$, $1_{A\cup B}$ et $1_{A\mathrm{\Delta }B}$ (dans le cas particulier $A\cap B=\mathrm{\emptyset }$ et dans le cas général).

4. 4.
   ​

   Soit $\left(A_n\right)$ une suite de $𝒫\left(\mathrm{\Omega }\right)$ et soit $A={\displaystyle \bigcup _n}{A}_n$.

   1. (a)
      ​

      Montrer que la suite $\left(A_n\right)$ est croissante si et seulement si la suite $\left(1_{A_n}\right)$ est croissante. Montrer que dans ce cas $\left(1_{A_n}\right)$ converge (simplement) vers $1_A$.

   2. (b)
      ​

      Si les $A_n$ sont d.d.d. (deux à deux disjoints), montrer que $1_A={\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}}{1}_{A_n}$.

Exercice 3  Parmi les assertions suivantes: lesquelles sont VRAIES et lesquelles sont FAUSSES ? (Prouver les ou réfuter les selon le cas).

1. 1.
   ​

   L’ensemble des nombres premiers est dénombrable.

2. 2.
   ​

   L’ensemble des nombres pairs est dénombrable.

3. 3.
   ​

   $[a,b]$ où $a,b\in ℝ$ et est dénombrable.

4. 4.
   ​

   $\mathbb{Q}$ est dénombrable.

5. 5.
   ​

   $ℝ$ est dénombrable.

6. 6.
   ​

   $ℂ$ est dénombrable.

7. 7.
   ​

   $\mathbb{N}\times ℝ$ est dénombrable.

Exercice 4  Étudier la sommabilité et calculer la somme éventuelle de la famille ${\left(u_k\right)}_{k\in \mathbb{Z}}$ avec

Indication: on pourra utiliser ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}.$

Exercice 5  Calculer :

Exercice 6  Trouver pour quels $\alpha \in ℝ$ la famille suivante est sommable : ${\displaystyle \sum _{(k,l)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2}}{\displaystyle \frac{1}{{\left(k^2+l^2\right)}^{\alpha }}}.$

Exercice 7  Soient ${\displaystyle \sum a_n}$ et ${\displaystyle \sum b_n}$ deux séries complexes absolument convergentes. On pose

1. 1.
   ​

   Montrer que ${\displaystyle \sum c_n}$ est absolument convergente et calculer sa somme.

2. 2.
   ​

   Application: On prend $a_n=z^n=b_n$ avec . Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}}n{z}^n.$

Exercice 8  Soit $E$ un ensemble infini et $D$ un ensemble au plus dénombrable disjoint de $E$.

1. 1.
   ​

   Montrer qu’il existe une injection $f:\mathbb{N}\to E$.

2. 2.
   ​

   Montrer qu’il existe une bijection $\mathrm{Im}\left(f\right)\cup D$ et $\mathrm{Im}\left(f\right)$.

3. 3.
   ​

   Montrer qu’il existe une bijection de $E\cup D$ sur $E$.

Exercice 9

1. 1.
   ​

   Montrer que l’ensemble $\mathbb{Q}\left[X\right]$ des polynômes à coefficient dans $\mathbb{Q}$ est dénombrable.

2. 2.
   ​

   Est ce que l’ensemble $ℝ\left[X\right]$ des polynômes à coefficient dans $ℝ$ est dénombrable ?

Exercice 10  Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ la famille de terme $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$

1. 1.
   ​

   Soit ${\left(I_m^{\prime }\right)}_{m\ge 0}$ la partition de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ donné par $I_m=\left\{2m+\mathrm{2,4}m+\mathrm{1,4}m+3\right\}$ et $v_m^{\prime }={\displaystyle \sum _{n\in I_m^{\prime }}}{u}_n$. Montrer que ${\displaystyle \sum _{m\ge 0}}{v}_m^{\prime }$ converge vers un nombre .

2. 2.
   ​

   Soit ${\left(I_m^{\prime \prime }\right)}_{m\ge 0}$ la partition de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ donné par $I_m=\left\{2m+\mathrm{1,4}m+\mathrm{2,4}m+4\right\}$ et $v_m^{\prime \prime }={\displaystyle \sum _{n\in I_m^{\prime \prime }}}{u}_n$. Montrer que ${\displaystyle \sum _{m\ge 0}}{v}_m^{\prime \prime }$ converge vers un nombre $v^{\prime \prime }>0$.

3. 3.
   ​

   En déduire que la famille ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ n’est pas sommable.

4. 4.
   ​

   Remontrer ce résultat en utilisant un autre résultat du cours.