6 Intégration avancée, espaces $L^{p}$

Mesures et mesurabilité: (suite)

Exercice 1 Si $\Omega=\{0,1,2,3\}$ trouver la tribu engendrée par $\mathcal{E}=\{\{3\}\}$ puis par $\mathcal{E}=\{\{1,2\},\{3\}\}$ .

Solution :

1.

Pour $\mathcal{E}=\{A\}$ , avec $A=\{0,1,2\}$ , on a vu en cours $\sigma(\{A\})=\{\emptyset,A,A^{c},\Omega\}$
2.

Pour $\mathcal{E}=\{\{1,2\},\{3\}\}$ , on note $A=\{0\},B=\{1,2\},C=\{3\}$ forme une partition et $A\in\sigma(\{\{1,2\},\{3\}\})$ car $A=(B\cup C)^{c}$ . Donc $\sigma(\{\{1,2\},\{3\}\})=\sigma(\{A,B,C\}).$ Par le cours, pour une partition finie, la tribu engendrée est formée des unions finies: donc

$\sigma(\{A,B,C\})=\{\emptyset,A,B,C,A\cup B,C\cup B,A\cup C,\Omega\}.$

□

Exercice 2 En utilisant seulement $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma\Big{(}\big{\{}]a,b[,a<b\in\mathbb{R}\big{\}}% \Big{)}$ , montrer que

\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma\Big{(}\big{\{}]-\infty,a],a\in\mathbb{R}\big{\}% }\Big{)}=\sigma\Big{(}\big{\{}[a,+\infty[,a\in\mathbb{R}\big{\}}\Big{)}.

1.

En déduire que deux mesures $\mu,\nu$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ telles que $\mu(]-\infty,a])=\nu(]-\infty,a])<\infty$ pour tout $a\in\mathbb{R}$ sont égales (i.e. $\forall A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu(A)=\nu(A)$ ).
2.

Soient $\mathcal{T}=\sigma(\mathcal{E})$ et $\mu_{1}$ et $\mu_{2}$ des mesures sur $\mathcal{T}$ telles que $\mu_{1}(A)=\mu_{2}(A)$ pour tous $A\in\mathcal{E}$ . Est-ce que $\mu_{1}=\mu_{2}$ ?

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 3 Mesure de Dirac

Soit $(\Omega,\mathcal{T})$ un espace mesurable quelconque et soit $x\in\Omega$ . Pour tout $A\in\mathcal{T}$ on pose

\delta_{x}(A)=\left\{\begin{matrix}1&\mathrm{si}\ x\in A\\ 0&\mathrm{sinon}\end{matrix}\right.

Montrer que $\delta_{x}$ est une mesure de probabilité.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 4 Mesure discrètes

Soit $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega))$ un espace mesurable avec $\Omega$ au plus dénombrable. On fixe une famille de nombres $(\mu_{\omega})_{\omega\in\Omega}\in[0,+\infty]^{\Omega}$ . On définit pour $A\subset\Omega$ :

\mu(A)=\displaystyle\sum_{\omega\in A}\mu_{\omega}.

1.

Montrer que $\mu$ est une mesure sur $\Omega$ .
2.

Montrer que $\mu$ est une mesure finie (c’est à dire $\mu(\Omega)<+\infty$ ) si et seulement si la famille $(\mu_{\omega})_{\omega\in\Omega}$ est sommable.
3.

Montrer que $\displaystyle\mu=\displaystyle\sum_{\omega\in\Omega}\mu_{\omega}\delta_{\omega}.$
4.

Pour $h:\Omega\to[0,+\infty]$ , montrer que

$\int_{\Omega}hd\mu=\displaystyle\sum_{\omega\in A}h(\omega)\mu_{\omega}.$

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 5 Une mesure image

Soit $\Omega=([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)$ et $f:\Omega\to\mathbb{R}$ définie par

f(x)=1_{[0,2/3]}(x)+1_{[0,1/3]}(x).

Montrer que $f$ est borélienne, puis calculer la mesure image $\lambda_{f}$ de $\lambda$ par $f$ . Rappel: c’est la mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ définie par $\lambda_{f}(B)=\lambda(f^{-1}(B)).$

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 6 Prouver ou réfuter les assertions suivantes:

1.

Une partie d’un ensemble négligeable est négligeable.
2.

Une union au plus dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable.
3.

Une union d’ensembles négligeables est négligeable.

Solution :

4.

VRAI, Par définition $A$ est négligeable si il existe $B$ mesurable avec $A\subset B$ et $\mu(B)=0$ . Si maintenant $A^{\prime}\subset A$ , on a aussi $A^{\prime}\subset B$ et $\mu(B)=0$ donc $A^{\prime}$ et négligeable.
5.

VRAI, Si $(A_{n})_{n\geq 0}$ est une suite d’ensembles négligeables, alors $A_{n}\subset B_{n}$ avec $B_{n}$ mesurable et $\mu(B_{n})=0$ . Or une tribu est stable par union dénombrable, donc $\displaystyle B=\cup_{n=0}^{\infty}B_{n}$ est mesurable et par sous-additivité de la mesure: $\displaystyle\mu(B)\leq\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\mu(B_{n})=0$ donc comme $A=\cup_{n=0}^{\infty}A_{n}\subset B$ , on déduit que $B$ est négligeable.
6.

FAUX: tout ensemble est union de singletons, par exemple $[0,1]=\displaystyle\cup_{x\in[0,1]}\{x\}$ et $\lambda(\{x\})=0$ donc $\{x\}$ négligeable pour la mesure de Lebesgue, mais $\lambda([0,1])=1$ donc $[0,1]$ n’est pas négligeable.

□

Théorèmes de Fubini et Changements de variables

Exercice 7 Soit $f\geq 0$ une fonction mesurable positive $\mu$ une mesure $\sigma$ -finie sur $(\Omega,\mathcal{T})$ , montrer que pour $p\in]0,\infty[$ :

\int f^{p}d\mu=\int_{0}^{\infty}\ pt^{p-1}\mu(\{\omega:f(\omega)>t\})dt.

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 6

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 8 On considère le domaine $\Delta\subseteq\mathbb{R}^{2}$ délimité par les droites $y=0$ , $y=1$ , $y=2-x$ et $y=1+x$ . Calculer $\displaystyle\iint_{\Delta}xydx\,dy$ .

Solution :

(cf. TD) ou Correction de 2021-2022 exercice 7

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 9

Calculer $\displaystyle\iint_{D}(x+y)e^{-(x+y)}dxdy$ , où

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon 0\leq x,\ 0\leq y,\ x+y\leq 1\}.

Solution :

(cf. TD) ou Correction de 2021-2022 exercice 8

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 10 Soient $\nu$ la mesure de comptage sur $\mathbb{Z}$ et $\rho=\frac{1}{2}\delta_{1}+\frac{1}{2}\delta_{-1}$ la mesure de Rademacher. Soit $s(x,y)=x+y$ donnant une fonction $s:\mathbb{Z}^{2}\to\mathbb{Z}$ . Montrer que la mesure image par $s$ de la mesure produit est $s_{*}(\nu\otimes\rho)=\nu$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 11 Soient $f, g$ des fonctions mesurables positives sur $\mathbb{R}$ . On rappelle que $||f||_{1}=\int_{\mathbb{R}}|f(x)|d\lambda(x).$ On définit la convolution de $f, g$ par:

f*g(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)d\lambda(y)\in[0,+\infty].

1.

Montrer que $f*g$ est, mesurable et que $||f*g||_{1}=||f||_{1}||g||_{1}.$
2.

Montrer que la définition de $f*g$ s’étend pour presque tout $x$ aux $f,g\in L^{1}(\mathbb{R},d\lambda)$ , que $f*g\in L^{1}(\mathbb{R},d\lambda)$ et $||f*g||_{1}\leq||f||_{1}||g||_{1}.$

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 12

Soit $D=B((0,1),1)$ dans le plan. Calculer $\displaystyle\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy$ .

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 14

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Espaces $L^{p}$

Exercice 13

Soient $(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ un espace mesuré et $f\in L^{\infty}(\Omega,\mu)$ , montrer que $|f|\leq||f||_{\infty}$ $\mu$ -presque partout.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 14 Soit $f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}1_{[0,1]}(x^{2}+y^{2})$ .

1.

Montrer que $f\not\in L^{1}(]0,1[^{2},\lambda_{2})$ . (Indication, on pourra utiliser un changement de variable en coordonnées polaires).
2.

Montrer que $\sqrt{f}\in L^{1}(]0,1[^{2},\lambda_{2})$ et calculer $||\sqrt{f}||_{1}$ .
3.

En déduire que $L^{1}(]0,1[^{2},\lambda_{2})$ n’est pas inclus dans $L^{2}(]0,1[^{2},\lambda_{2})$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 15 Soient $1\leq p<q\leq+\infty$ . On rappelle que $\ell^{p}(\mathbb{N})$ est l’espace vectorielle des séries de puissance $p$ sommable et qu’il coïncide avec $\ell^{p}(\mathbb{N})=L^{p}(\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\nu)$ pour la mesure de comptage $\nu$ .

1.

Soit $u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{\alpha}}$ . Pour quel $\alpha$ a-t-on $u_{n}\in\ell^{p}(\mathbb{N})$ ? En déduire que $\ell^{q}(\mathbb{N})\not\subset\ell^{p}(\mathbb{N}).$
2.

Soit $v_{n}$ une suite telle que pour tout $n$ , $|v_{n}|\leq 1$ , montrer que

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|v_{n}|^{q}\leq\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty% }|v_{n}|^{p}.$
3.

Montrer que la boule unité de $\ell^{p}(\mathbb{N})$ est inclus dans la boule unité de $\ell^{q}(\mathbb{N}).$
4.

Montrer que $\ell^{p}(\mathbb{N})\subset\ell^{q}(\mathbb{N})$ , et pour tout $v\in\ell^{p}(\mathbb{N})$ $||v||_{q}\leq||v||_{p}$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 16 Soient $1\leq p<q\leq+\infty$ , $\lambda$ la mesure de Lebesgue.

1.

Montrer que $L^{q}(]0,1],\lambda)$ est un sous-espace de $L^{p}(]0,1],\lambda)$ .
2.

Soit $f_{\alpha}(x)=\frac{1}{x^{\alpha}}$ . Pour quel $\alpha>0$ a-t-on $f\in L^{p}(]0,1],\lambda)$ ? En déduire que $L^{q}(]0,1],\lambda)$ est un sous-espace strict de $L^{p}(]0,1],\lambda)$ .
3.

Soit $g_{\alpha}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définit par $g_{\alpha}=\frac{1}{(x+1)^{\alpha}}1_{]0,+\infty[}(x)$ . Pour quel $\alpha$ a-t-on $g_{\alpha}\in L^{p}(\mathbb{R},\lambda)$ ?
4.

Peut-on comparer pour l’inclusion $L^{q}(\mathbb{R},\lambda)$ et $L^{p}(\mathbb{R},\lambda)$ ? (justifier)

Solution :

(cf. TD) □

Exercices supplémentaires.

Exercice 17 Pour $(x,y)\in[-1,1]^{2}$ , on pose

f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}&\textnormal{ si }(x,y)\neq(0,% 0)\\ 0&\textnormal{ sinon}\end{cases}

1.

Montrer que les intégrales itérées de $f$ existent et sont égales.
2.

La fonction $f$ est-elle $\lambda_{2}$ -intégrable sur $[-1,1]^{2}$ ?

Solution :

Pour $(x,y)\in[-1,1]^{2}$ , on pose

f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}&\textnormal{ si }(x,y)\neq(0,% 0)\\ 0&\textnormal{ sinon}\end{cases}

3.

Montrons que les intégrales itérées de $f$ existent et sont égales.

$f$ est continue en dehors de $(0,0)$ et vu que $f(x,0)=f(0,y)=0$ , on a $y\mapsto f(x_{0},y)$ et $x\mapsto f(x,y_{0})$ sont continues pour chaque $x_{0},y_{0}$ fixés, donc boréliennes, on a donc la mesurabilité requise pour parler des intégrales itérées.

Soit $y\neq 0$ , on a $|f(x,y)|\leq 1/y^{2}$ , ce qui est une domination par une constante intégrable pour la mesure de Lebesgue sur un intervalle borné $[-1,1]$ donc $\int_{-1}^{1}f(x,y)dx$ est bien définie. De plus par imparité (ou changement de variable $z=-x$ , on obtient: $\int_{-1}^{1}f(x,y)dx=0$ pour tout $y\neq 0$ . Comme $f(x,0)=0$ , cela est aussi valable pour $y=0$ . La fonction $y\mapsto\int_{-1}^{1}f(x,y)dx=0$ est continue et manifestement intégrable et on obtient :

$\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}f(x,y)dxdy=\int_{-1}^{1}0dy=0.$

En intervertissant $x$ et $y$ dans l’argument (vu $f(x,y)=f(y,x)$ , on voit que

$\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}f(x,y)dydx=\int_{-1}^{1}0dx=0.$

La conclusion du théorème de Fubini s’applique donc, bien qu’on va maintenant voir que ce théorème ne s’applique pas.

Montrons que la fonction $f$ n’est PAS $\lambda_{2}$ -intégrable sur $[-1,1]^{2}$ . Pour cela on va minorer son intégrale par celle sur $D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1,x\neq 0\}$ (car si on s’attend à une valeur infini, et que le problème soit en $(0,0)$ , autant prendre un domaine facile pour les coordonnées polaires et autant éviter $x=0$ ou $y=0$ pour faciliter la continuité) par changement de variable en polaire. Comme les fonctions sont positives, il suffit de vérifier qu’elles sont mesurables pour appliquer le changement de variable, mais $f$ est continue sur $D$ comme fraction rationnelle à dénominateur non nul. On obtient:

	$\displaystyle\int_{[-1,1]^{2}}\|f(x,y)\|d\lambda_{2}(x,y)$	$\displaystyle\geq\int_{D}\|f(x,y)\|d\lambda_{2}(x,y)=\int_{0}^{1}dr\int_{]0,2\pi% [-\{\pi\}}\frac{r^{2}}{r^{4}}\|\cos(\theta)\sin(\theta)\|d\theta$
		$\displaystyle=\int_{]0,2\pi[}\|\cos(\theta)\sin(\theta)\|d\theta\int_{0}^{1}dr% \frac{1}{r^{2}}=+\infty.$

En effet, par les intégrales de Riemann, $\frac{1}{r^{2}}$ n’est pas intégrable en $0$ , et peu importe la valeur de l’intégrale en $\theta$ , elle est strictement positive par intégrale d’une fonction positive non-nulle (continue donc non $\lambda$ -p.p. nulle) sur un ensemble de mesure non-nulle (la longueur $2\pi$ de l’intervalle).

□

Exercice 18 Soit $D=[0,1]^{2}$ . Calculer $\displaystyle\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^{2}}\$ et $\displaystyle\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y)^{2}}.$

Solution :

cf Correction de 2021-2022 exercice 12

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 19 Soit $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon(x^{2}+y^{2})<9\}$ . Justifier que l’intégrale $\displaystyle\int\!\!\!\int_{B}\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2/3}}\,dxdy$ est convergente et donner sa valeur.

Solution :

On passe en coordonnées polaires (dans le cas positif pour une fonction continue sur $B-[0,+\infty]\times\{0\}$ donc mesurable) en remarquant que, vu que $\lambda_{2}([0,+\infty]\times\{0\})=0$ , on a

\displaystyle\int\!\!\!\int_{B}\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2/3}}\,dxdy=\int\!\!\!% \int_{B-[0,+\infty]\times\{0\}}\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2/3}}\,dxdy=2\pi\int_{0% }^{9}\frac{1}{r^{1/3}}\,dr=2\pi[\frac{3r^{2/3}}{2}]_{0}^{9}=3(9)^{2/3}=3^{7/3}

par le cas convergent des intégrales de Riemann.

□

Exercice 20 Soit $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon(x^{2}+y^{2})^{2}<xy\}$ . Calculer $\displaystyle\iint_{D}\sqrt{xy}\,dx\,dy$ .

Solution :

Calculons $\displaystyle I=\iint_{D}\sqrt{xy}\,dx\,dy=\iint_{\mathbb{R}^{2}}1_{D}(x,y)% \sqrt{xy}\,d\lambda_{2}(x,y)$ qui est l’intégrale d’une fonction positive. On remarque $D=D_{+}\cup D_{-}$ avec $D_{\pm}=\{(x,y)\in D:\pm x>0\}.$ De plus avec le changement de variable $(x^{\prime},y^{\prime})=(-x,-y)$ , il est facile de voir

\iint_{\mathbb{R}^{2}}1_{D_{+}}(x,y)\sqrt{xy}\,d\lambda_{2}(x,y)=\iint_{% \mathbb{R}^{2}}1_{D_{-}}(x,y)\sqrt{xy}\,d\lambda_{2}(x,y)

On a aussi une symétrie, donc par changement de variable $(x^{\prime},y^{\prime})=(y,x)$ , on obtient pour $C=D\cap B,B=\{(x,y)\in D:y>x>0\}$ que

\displaystyle I=\iint_{D}\sqrt{xy}\,dx\,dy=\iint_{\mathbb{R}^{2}}1_{D}(x,y)% \sqrt{xy}\,d\lambda_{2}(x,y)=4\iint_{\mathbb{R}^{2}}1_{C}(x,y)\sqrt{xy}\,d% \lambda_{2}(x,y).

On pose $\phi(x,y)=(x^{2}+y^{2},2xy)$ et si $(z,t)=(x^{2}+y^{2},2xy)$ on a $z-t=(y-x)^{2},z+t=(x+y)^{2}$ , donc on a $\phi:B\to E=\{(z,t):z-t>0,t>0\}$ , et on déduit que $y-x=\sqrt{z-t},x+y=\sqrt{z+t}$ (vu $y-x>0$ sur $C$ ) d’où l’unique $(x,y)\in C$ vérifiant cela est donné par

\psi(z,t)=\Big{(}\frac{\sqrt{z+t}-\sqrt{z-t}}{2},\frac{\sqrt{z+t}+\sqrt{z-t}}{% 2}\Big{)}

Ceci montre que $\phi$ est bijective d’inverse $\psi:E\to B$ .

De plus, $\phi$ est clairement $C^{\infty}$ (car polynomiale), on calcule son jacobien :

J\phi(x,y)=\left(\begin{tabular}[]{cc}$2x$&$2y$\\ $2y$&$2x$\end{tabular}\right)

d’où $\det(J\phi(x,y))=4x^{2}-4y^{2}<0$ sur $C$ (donc non-nulle ce qui implique que $J\phi(x,y)$ est un isomorphisme linéaire pour tout $(x,y)\in C$ ). Par le théorème d’inversion globale, $\phi$ est donc un $C^{\infty}$ -difféomorphisme et on déduit que $\displaystyle\det(J\psi(z,t))=\frac{1}{4(\psi_{1}(z,t)^{2}-\psi_{2}(z,t)^{2})}% =\frac{-1}{4(\sqrt{z+t}\sqrt{z-t})}$ . On peut donc appliquer le théorème de changement de variable:

I=4\iint_{B}1_{D}(x,y)\sqrt{xy}\,d\lambda_{2}(x,y)=\iint_{E}1_{D}\circ\psi(z,t% )\sqrt{t}\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{z^{2}-t^{2}})}\,d\lambda_{2}(z,t).

Cela suggère un autre changement de variable(polaire hyperbolique): $z=r\mathrm{ch}(\theta),t=r\mathrm{sh}(\theta),$ de sorte que $z^{2}-t^{2}=r^{2}$ . On pose donc $\varphi(r,\theta)=(r\mathrm{ch}(\theta),r\mathrm{sh}(\theta)$ qui définit $\varphi:]0,+\infty[^{2}\to E=\{(z,t):z>t>0\}$ et $z=r\mathrm{ch}(\theta),t=r\mathrm{sh}(\theta),$ se résoud en $r=\sqrt{z^{2}-t^{2}},\theta=\mathrm{argsh}\Big{(}\frac{t}{r}\Big{)}$ vu que le sinus hyperbolique est strictement croissant bijectif. Cela montre donc que $\varphi$ est bijective.

De plus, $\varphi$ est clairement $C^{\infty}$ (par produit et sommes de projections et d’exponentielles), on calcule son jacobien :

J\varphi(x,y)=\left(\begin{tabular}[]{cc}$\mathrm{ch}(\theta)$&$r\mathrm{sh}(% \theta)$\\ $\mathrm{sh}(\theta)$&$r\mathrm{ch}(\theta)$\end{tabular}\right)

donc $\det(J\varphi(x,y))=r\mathrm{ch}^{2}(\theta)-r\mathrm{sh}^{2}(\theta)=r>0$ sur son domaine, donc par par théorème d’inversion globale, $\varphi$ est un $C^{\infty}$ -difféomorphisme. Le cas positif du changment de variable donne donc:

I=\iint_{E}1_{[0,t]}(z^{2})\sqrt{t}\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{z^{2}-t^{2}})}\,d% \lambda_{2}(z,t)=\iint_{]0,+\infty[^{2}}1_{[0,r\mathrm{sh}(\theta)]}(r^{2}% \mathrm{ch}(\theta)^{2})\sqrt{r\mathrm{sh}(\theta)}\frac{1}{\sqrt{2}r}\,rd% \lambda_{2}(r,\theta)

Maintenant $1_{[0,r\mathrm{sh}(\theta)]}(r^{2}\mathrm{ch}(\theta)^{2})=1$ pour $r\mathrm{ch}(\theta)^{2}\leq\mathrm{sh}(\theta)$ soit $r\leq\frac{\mathrm{sh}(\theta)}{\mathrm{ch}(\theta)^{2}}.$ En appliquant le théorème de Fubuni-Tonelli au produit d’une fonction continue positive et d’une indicatrice d’ensemble mesurable, on obtient:

I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{]0,+\infty[}d\theta\sqrt{\mathrm{sh}(\theta)}\int_{0% }^{\frac{\mathrm{sh}(\theta)}{\mathrm{ch}(\theta)^{2}}}\sqrt{r}dr=\frac{\sqrt{% 2}}{3}\int_{]0,+\infty[}d\theta\sqrt{\mathrm{sh}(\theta)}\Big{(}\frac{\mathrm{% sh}(\theta)}{\mathrm{ch}(\theta)^{2}}\Big{)}^{3/2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^% {+\infty}\frac{\mathrm{sh}(\theta)^{2}}{\mathrm{ch}(\theta)^{4}}\mathrm{ch}(% \theta)d\theta

Par dernier changement de variable $x=\mathrm{sh}(\theta)$ , $dx=\mathrm{ch}(\theta)d\theta$ on obtient (vu $\mathrm{ch}(\theta)^{2}=1+\mathrm{sh}(\theta)^{2}$ )

I=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{% \sqrt{2}}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(x^{2}+1)}-\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx

Par ailleurs, avec $y=1/x,dx=-dy/y^{2}$ , on obtient :

I=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+1/x^{2})^{2}}\frac{dx}{x^{2}% }=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+y)^{2}}dy

donc en combinant à la précédente égalité: $\frac{2\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+y)^{2}}dy=\frac{\sqrt{2}}{3}% \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(x^{2}+1)}dx$ soit:

I=\frac{1}{3\sqrt{2}}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+y)^{2}}dy=\frac{1}{3\sqrt{2% }}[-\frac{1}{1+y}]_{0}^{+\infty}=\frac{1}{3\sqrt{2}}.

□

Exercice 21 Soit $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon y^{2}-2x<0,x^{2}-2y<0\}$ . Calculer $\displaystyle\iint_{D}e^{\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}\,dx\,dy$ .

(Indication : poser $x=u^{2}v$ et $y=uv^{2}$ )

Solution :

On définit $(x,y)=\phi(u,v)=(u^{2}v,uv^{2})$ . $\phi:]0,+\infty[^{2}\to]0,+\infty[^{2}$ est polynomiale donc $C^{\infty}$ . $x=u^{2}v,y=uv^{2}$ implique $y^{2}/x=u^{2}v^{4}/(u^{2}v)=v^{3},u^{3}=x^{2}/y$ donc, comme le cube est une bijection, on obtient l’unique solution:

(u,v)=\Big{(}\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y}},\sqrt[3]{\frac{y^{2}}{x}}\Big{)}

on voit facilement que c’est bien une solution donc $\phi$ est bijective. De plus

J\phi(u,v)=\left(\begin{tabular}[]{cc}$2uv$&$u^{2}$\\ $v^{2}$&$2uv$\end{tabular}\right)

d’où $\det(J\phi(u,v))=4u^{2}v^{2}-u^{2}v^{2}=3u^{2}v^{2}>0$ d’où $d\phi(u,v)$ est un isomorphisme linéaire et le théorème d’inversion globale s’applique montrant que $\phi$ est un $C^{\infty}$ -difféomorphisme.

On peut donc appliquer le théorème de changement de variable dans le cas positif à $(x,y)\mapsto 1_{D}(x,y)e^{\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}$ (produit de continue donc borélienne, et d’une indicatrice d’ouvert):

	$\displaystyle I=\int_{]0,+\infty[^{2}}1_{D}(x,y)e^{\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}\,d% \lambda_{2}(x,y)$	$\displaystyle=\int_{]0,+\infty[^{2}}1_{D}(\phi(u,v))e^{\frac{(u^{2}v)^{3}+(uv^% {2})^{3}}{u^{3}v^{3}}}\det(J\phi(u,v))\,d\lambda_{2}(u,v)$
		$\displaystyle=\int_{]0,+\infty[}du\int_{]0,+\infty[}dv1_{]0,\sqrt[3]{2}[}(u)1_% {]0,\sqrt[3]{2}[}(v)e^{u^{3}+v^{3}}3u^{2}v^{2}\,$

avec la dernière égalité utilisant aussi Fubini-Tonelli et $1_{D}(\phi(u,v))=1_{]0,\sqrt[3]{2}[}(u)1_{]0,\sqrt[3]{2}[}(v)$ car les deux valent 1 si et seulement si $u^{2}v^{4}<2u^{2}v,v^{2}u^{4}<2v^{2}u$ soit $v^{3}<2,u^{3}<2$ . Bilan, on obtient donc

I=3\left(\int_{]0,+\infty[}dv1_{]0,\sqrt[3]{2}[}(v)e^{v^{3}}v^{2}\right)^{2}=3% \left(\left[\frac{e^{v^{3}}}{3}\right]_{0}^{\sqrt[3]{2}}\right)^{2}=\frac{(e^{% 2}-1)^{2}}{3}.

□

Exercice 22 On pose $I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt$ . Calculer $J=\displaystyle\iint_{]0,+\infty[^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy$ en fonction de $I$ . Calculer $J$ en utilisant les coordonnées polaires. En déduire la valeur de $I$ .

Solution :

cf Correction de 2021-2022 exercice 16

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 23 Calculer l’intégrale $\displaystyle\iiint_{D}\cfrac{z}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz$

où $D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\colon 1<x^{2}+y^{2}<z^{2}<4\}.$

Solution :

On passe juste en coordonnées polaires sur $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ (avec le $z$ inchangé, on parle parfois de coordonnées cylindriques). Comme $1_{D}(x,y,z)\frac{z}{x^{2}+y^{2}}$ est borélienne comme produit d’une fraction rationnelle à dénominateur non nulle (donc une fonction continue) et d’une indicatrice d’ensemble ouvert. On obtient (en utilisant aussi que $[0,+\infty[\times\{0\}^{2}$ est de mesure nulle pour $\lambda_{3}$ )

J=\displaystyle\iiint_{\mathbb{R}^{3}-[0,+\infty[\times\{0\}^{2}}1_{D}(x,y,z)% \frac{|z|}{x^{2}+y^{2}}\,d\lambda_{3}(x,y,z)=\iiint_{]0,2\pi[\times]0,+\infty[% \times\mathbb{R}}\frac{|z|}{r^{2}}r1_{D}(r\cos(\theta),r\sin(\theta),z)d% \lambda_{3}(\theta,r,z)

Or $1_{D}(r\cos(\theta),r\sin(\theta),z)=1$ si et seulement si $1<r^{2}<z^{2}<4$ si et seulement si $1_{]1,|z|[}(r)1_{]1,2[}(|z|)=1$ d’où, en utilisant aussi Fubini-Tonelli pour passer à des intégrales simples:

J=2\pi\int_{\mathbb{R}}dz1_{]1,2[}(|z|)|z|\int_{]0,+\infty[}dr\frac{1}{r}1_{]1% ,|z|[}(r)=2\pi\int_{\mathbb{R}}dz1_{]1,2[}(|z|)|z|[\ln(r)]_{1}^{|z|}=4\pi\int_% {1}^{2}dzz\ln(z).

où on a utilisé que l’intégrale sur $|z|\in]1,2[$ revient à 2 fois l’intégrale sur $]1,2[.$ Sans même calculer l’intégrale, en remarquant juste que la fonction est continue bornée par $2\ln(2)$ , on obitnet $J\leq 8\pi\ln(2)<+\infty$ . La fonction de départ est donc intégrable. On pourrait reprendre le même calcul, mais vu la remarque sur la symétrie du domaine de $z$ , il vaut mieux utiliser un argument d’imparité. On fait donc le changement de variable $t=-z$ dans le cas intégrable (de déterminant du jacobien $-1$ et on obtient :

I=\displaystyle\iiint_{D}\cfrac{z}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz=\iiint_{D}\cfrac{-% t}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dt=-I=0.

□

Exercice 24 Soit $D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\colon 0<z<x^{2}+y^{2}<1\}$ .

Justifier que l’intégrale $\displaystyle\iiint_{D}\ln(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy\,dz$ est convergente et donner sa valeur.

Solution :

Comme $\ln(x^{2}+y^{2})$ négatif sur $D$ , on va calculer avec une valeur absolue, mais l’intégrale voulue sera juste l’opposée. On fait le même changement de variable en cylindrique qu’à l’exercice précédent (toujours appiqué au produit d’une fonction continue et d’une indicatrice d’ouvert, donc une fonction borélienne) en remarquant que $1_{D}(x,y,z)=1_{]0,r[}(z)1_{]0,1[}(r)$ puis en appliquant Fubini-Tonelli pour passer à des intégrales simples:

	$\displaystyle-I$	$\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{3}-[0,+\infty[\times\{0\}^{2}}1_{D}(x,y,z)\|\ln% (x^{2}+y^{2})\|\,d\lambda_{3}(x,y,z)$
		$\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}dr\ r1_{]0,1[}(r)2\|\ln(r% )\|\int_{0}^{+\infty}dz1_{]0,r[}(z)$
		$\displaystyle=4\pi\int_{0}^{1}dr\ r^{2}\|\ln(r)\|=4\pi\int_{0}^{+\infty}du\ e^{-% 3u}u=4\pi\Big{[}-\frac{e^{-3u}u}{3}-\frac{e^{-3u}}{9}\Big{]}_{0}^{+\infty}=% \frac{4\pi}{9}$

où la dernière ligne vient d’un changement de variable $u=-\ln(r)$ d’où $du=\frac{dr}{r}$ . On en déduit que $I$ est convergente et vaut $I=-\frac{4\pi}{9}$ .

□

Exercices plus difficiles.

Exercice 25 Ensemble triadique de Cantor et escalier du diable Soit $\Omega=[0,1]$ , muni de la restriction de la mesure de Lebesgue $\lambda$ à $\mathcal{B}([0,1])$ .

Si $I=[a,b]$ est un intervalle compact de $\mathbb{R}$ , on note $\displaystyle\widetilde{I}=\Big{[}a,\frac{2a+b}{3}\Big{]}\cup\Big{[}\frac{a+2b% }{3},b\Big{]}\subset I$ l’union d’intervalles obtenu en retirant de $I$ l’intervalle ouvert qui a le même centre que I et dont la longueur est un tiers de celle de I.

On définit par récurrence une suite d’ensembles $C_{n}\subset[0,1]$ (tous union finie d’intervalle fermés) et de fonctions croissantes linéaires par morceau $F_{n}:[0,1]\to[0,1]$ par

‣

$C_{0}=[0,1]$ et $F_{0}(x)=x$ .
‣

Si $C_{n}$ s’écrit comme une union finie d’intervalles fermés deux à deux disjoints : $\displaystyle C_{n}=\displaystyle\bigcup_{m=1}^{N}I_{m}$ avec $I_{m}=[a_{m},b_{m}]$ alors $C_{n+1}$ est défini comme $\displaystyle C_{n}=\displaystyle\bigcup_{m=1}^{N}\widetilde{I_{m}}$ et

$F_{n+1}(x)=\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$F_{n}(x)$&si&$x\not\in C_{n}$\\ $\frac{F_{n}(a_{m})+F_{n}(b_{m})}{2}$&si&$x\in I_{m}-\widetilde{I_{m}}=\Big{]}% \frac{2a_{m}+b_{m}}{3},\frac{a_{m}+2b_{m}}{3}\Big{[},$\\ $F_{n}(a_{m})+(F_{n}(b_{m})-F_{n}(a_{m}))\frac{3(x-a_{m})}{2(b_{m}-a_{m})}$&si% &$x\in[a_{m},\frac{2a_{m}+b_{m}}{3}],$\\ $F_{n}(b_{m})-(F_{n}(b_{m})-F_{n}(a_{m}))\frac{3(b_{m}-x)}{2(b_{m}-a_{m})}$&si% &$x\in[\frac{a_{m}+2b_{m}}{3},b_{m}].$\end{tabular}\right.$

1.

Montrer que $C_{n}$ est compact et vérifie $C_{n+1}\subset C_{n}$ .

Solution :

Par récurrence, on initialise à $C_{0}$ compact. Par construction, $\widetilde{I}\subset I$ , donc $\displaystyle C_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{m=1}^{N}\widetilde{I_{m}}\subset% \displaystyle\bigcup_{m=1}^{N}I_{m}=C_{n}.$ Enfin, chaque $\widetilde{I_{m}}$ est une union de 2 intervalles fermés donc $C_{n+1}$ est une union de $2N$ intervalles fermés, donc un fermé, du compact $C_{0}$ , donc lui-même un compact.

□
2.

On pose $U_{n}=[0,1]-C_{n}$ . Montrer que $C_{n}$ est une union de $2^{n}$ intervalles compacts deux à deux disjoints et $U_{n}$ est union de $2^{n}-1$ intervalles ouverts deux à deux disjoints. Est-ce que $C_{n}$ est borélien ?

Solution :

On montre cela par induction sur $n$ . Pour $n=0$ , $U_{0}$ est vide donc l’union de 0 intervalle disjoint, et $C_{0}=[0,1]$ est un intervalle.

Si le résultat est montré au rang $n$ , on a $\displaystyle C_{n}=\displaystyle\bigcup_{m=1}^{N}I_{m}$ est l’union de $N=2^{n}$ intervalles compacts dijoint. Alors les $\widetilde{I_{m}}$ sont disjoints, et chacun l’union de 2 intervalles compacts disjoints, leur union est union de $2.2^{n}=2^{n+1}$ intervalles compacts disjoints. Enfin, $U_{n+1}=U_{n}\cup\displaystyle\bigcup_{m=1}^{N}I_{m}-\widetilde{I_{m}}$ et $I_{m}-\widetilde{I_{m}}$ est un intervalle ouvert, disjoints entre eux et de $U_{n}$ donc $U_{n+1}$ s’écrit comme l’union de $N+2^{n}-1=2^{n+1}-1$ intervalles ouverts disjoints, CQFD.

De plus $C_{n}$ étant un fermé est bien un borélien.

□
3.

Calculer $\lambda(C_{n})$ , pour $n\in\mathbb{N}$ .

Solution :

De nouveau par récurrence, on obtient une formule $\lambda(C_{0})=1$ et par additivité de la mesure de Lebesgue:

$\lambda(C_{n+1})=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\lambda(\widetilde{I_{m}})=\frac{2% }{3}\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\lambda(I_{m})=\frac{2}{3}\lambda(C_{n})=\frac{% 2^{n+1}}{3^{n+1}}.$

□
4.

Posons $\displaystyle C=\bigcap_{n\geq 0}C_{n}$ . Montrer que $C$ est non vide et calculer $\lambda(C)$ . $C$ s’appelle ensemble triadique de Cantor.

Solution :

Par intersection décroissante, on a $\lambda(C)=\lim_{n\to\infty}\lambda(C_{n})=0$ . De plus, on a par une récurrence immediate $0\in C_{n}$ vu que $\widetilde{I}$ contient toujours le minimum de $I$ , donc $0\in C$ qui est non-vide.

□
5.

Montrer que la formule $\phi(A)=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{21_{A}(n)}{3^{n+1}}$ définit une fonction injective $\phi:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to C$ . En déduire que $C$ est non-dénombrable.

Solution :

Voir Cours chapitre 1. Theorème 1.9.

□
6.

Montrer que $F_{n}$ est croissante pour tout $n$ .

Solution :

On le voit la réccurence en montrant en même temps qu’elle est continue. C’est évident pour $F_{0}$ . Au rang $n+1$ , l’expression par morceau montre que $F_{n+1}$ est croissante sur chaque intervalle de définition (pente positive du coefficient directeur des fonctions affines), y compris sur chaque intervalle de $U_{n}$ vu qu’on sait déjà que $F_{n}$ est croissante. En voyant les limites à droite et à gauche, la continuité sur les $[a_{m},b_{m}]$ est facile, et la continuité en $a_{m},b_{m}$ vient de celle de $F_{n}$ en dehors du segment, et des limites respectives $F_{n}(a_{m}),F_{n}(b_{m})$ des formules affines. Comme on a vu la continuité, la croissance se déduit de celle sur chaque intervalle fermé des $C_{n}$ et de $\overline{U_{n}}$ ce qu’on vient de vérifier et ce qui conclut.

□
7.

Montrer que $F_{n}$ est lipschitzienne de constante $K\leq\frac{3^{n}}{2^{n}}$ et que pour tout $x\in[0,1]$ ,

$\left|F_{n+1}(x)-F_{n}(x)\right|\leq\frac{1}{3.2^{n+1}}$

En déduire que $F_{n}$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction continue $F$ .

Solution :

De nouveau, on montre $F_{n}$ lipschitzienne par récurrence sur $n$ . $F_{0}$ est clairement $1$ -Lipchitz.

En supposant montrer le rang $n$ , il suffit de montrer que $|F_{n+1}(x)-F_{n+1}(y)|\leq K_{n+1}|x-y|$ sur chaque intervalle de définition. EN effet si on connait sur $[x,c]$ et $[c,y]$ , on obtient

$|F_{n+1}(x)-F_{n+1}(y)|\leq|F_{n+1}(x)-F_{n+1}(c)|+|F_{n+1}(c)-F_{n+1}(y)|\leq K% _{n+1}|x-c|+K_{n+1}|c-y|=K_{n+1}|x-y|,$

et on rassemble ainsi les inégalités sur des unions d’intervalles.

Donc on obtient

$K_{n+1}=\max(K_{n},0,(F_{n}(b_{m})-F_{n}(a_{n}))\frac{3}{2(b_{m}-a_{m})}\Big{)% }\leq\max(K_{n},\frac{3}{2}K_{n})\leq\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}$

Ensuite, on montre la borne sur $F_{n+1}-F_{n}$ au cas par cas selon les cas de définition de $F_{n+1}$ ainsi en se basant sur le fait que sur $I_{m}=[a_{m},b_{m}]$ , $F_{n}$ est linéaire donc $F_{n}(x)=F_{n}(a_{m})+\frac{(x-a_{m})}{b_{m}-a_{m}}(F_{n}(b_{m})-F_{n}(a_{m}))$ :

$F_{n+1}(x)-F_{n}(x)=\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$0$&si&$x\not\in C_{n}$\\ $\Big{(}\frac{1}{2}-\frac{(x-a_{m})}{b_{m}-a_{m}}\Big{)}(F_{n}(b_{m})-F_{n}(a_% {m}))$&si&$x\in I_{m}-\widetilde{I_{m}}=\Big{]}\frac{2a_{m}+b_{m}}{3},\frac{a_% {m}+2b_{m}}{3}\Big{[},$\\ $(F_{n}(b_{m})-F_{n}(a_{m}))\frac{(x-a_{m})}{2(b_{m}-a_{m})}$&si&$x\in[a_{m},% \frac{2a_{m}+b_{m}}{3}],$\\ $\Big{(}-\frac{1}{2}+\frac{(x-a_{m})}{2(b_{m}-a_{m})}\Big{)}(F_{n}(b_{m})-F_{n% }(a_{m}))$&si&$x\in[\frac{a_{m}+2b_{m}}{3},b_{m}].$\end{tabular}\right.$

En utilisant la borne de Lipschitz déjà obtenu, on obtient donc (vu que la longueur des intervalle de $C_{n}$ est constante, on obtient en divisant la longueur totale du 3 par le nombre d’intervalle du 2: $(b_{m}-a_{m})=\lambda(C_{n})\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{3^{n}}$

$|F_{n+1}(x)-F_{n}(x)|\leq\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$0$&si&$x\not\in C_{n}$% \\ $\Big{|}x-\frac{(a_{m}+b_{m})}{2}\Big{|}K_{n}\leq\frac{3^{n}}{6.2^{n}}(b_{m}-a% _{m})\leq\frac{1}{6.2^{n}}$&si&$x\in I_{m}-\widetilde{I_{m}}=\Big{]}\frac{2a_{% m}+b_{m}}{3},\frac{a_{m}+2b_{m}}{3}\Big{[},$\\ $\Big{|}\frac{(x-a_{m})}{2}\Big{|}K_{n}\leq\frac{3^{n}}{3.2^{n}}(b_{m}-a_{m})% \leq\frac{1}{6.2^{n}}$&si&$x\in[a_{m},\frac{2a_{m}+b_{m}}{3}],$\\ $\Big{|}\frac{(x-b_{m})}{2}\Big{|}K_{n}\leq\frac{3^{n}}{3.2^{n}}(b_{m}-a_{m})% \leq\frac{1}{6.2^{n}}$&si&$x\in[\frac{a_{m}+2b_{m}}{3},b_{m}].$\end{tabular}\right.$

Ceci donne dans tous les cas la borne annoncée. ON en déduit donc que $\displaystyle\sum_{n}||F_{n+1}-F_{n}||_{\infty}$ converge, donc al série télescopique $\displaystyle\sum_{n}(F_{n+1}-F_{n})$ converge normalement donc uniformément. En particulier, aussi la suite $F_{n}$ de fonctions continues, converge uniformément, donc sa limite $F$ est continue.

□
8.

Montrer que $F(0)=0$ et $F(1)=1$ .

Solution :

C’est évident car pour tout $n$ : $F_{n}(0)=0$ et $F_{n}(1)=1$ . □
9.

Posons $U=[0,1]-C$ . Si $I\subset U$ est un intervalle ouvert, montrer que F est constante sur $I$ .

Solution :

C’est facile, car $U=\cup_{n}U_{n}$ et $F_{n}$ est constante sur chaque intervalle de $U_{n}$ , puis $F_{m}$ pour $m\geq n$ n’est pas modifiée, donc $F=F_{n}$ sur $U_{n}$ est donc aussi constante sur chaque intervalle de $U_{n}$ . En prenant l’union, on en déduit que $F$ est constante sur les intervalles de $U$ .

□
10.

En déduire que F est dérivable sur $U$ , n’est pas constante, mais que $F^{\prime}(x)=0$ pour $\lambda$ -presque tout $x\in[0,1]$ . $F$ s’appelle escalier du diable de Cantor.

Solution :

Une fonction constante est dérivable de dérivée nulle, donc c’est le cas de $F$ sur chaque intervalle ouvert de $U$ , donc $F$ est dérivable sur $U$ de dérivée nulle. Or $\lambda(U)=1-\lambda(C)=1$ , donc c’est le cas pour $\lambda$ -presque tout $x\in[0,1]$ . Enfin, vu $F(0)<F(1)$ , $F$ n’est pas constante !

□

Exercices plus difficiles supplémentaires.

Exercice 26 Soient $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré et $\{x\}\in\mathcal{T}$ pour tous $x\in\Omega$ . On dit que $\mu$ est continue si $\mu(\{x\})=0\}$ pour tout $x\in\Omega$ et on dit que $\mu$ est discrète s’il existe un ensemble $D$ au plus dénombrable tel que $\mu(D^{c})=0$ .

1.
Montrer que l’équivalence des conditions suivantes:
1. (a)
  
  $\mu$ est continue;
2. (b)
  
  si $A$ est une partie au plus dénombrable de $\Omega$ alors $\mu(A)=0$ ;
3. (c)
  
  toute partie au plus dénombrable $A$ de $\Omega$ est $\mu$ -négligeable.
2.

Montrer que $\mu$ est discrète si et seulement s’il existe une suite $(a_{n})$ de points de $\Omega$ et une suite $(c_{n})\subset[0,\infty]$ telles que $\mu=\underset{n}{\displaystyle\sum}c_{n}\delta_{a_{n}}$ .
3.

Décrire les espaces mesurés avec $\mu$ à la fois discrète et continue.
4.

( $\star$ ) Supposons maintenant que $\mu$ est $\sigma$ -finie. Montrer que $\mu$ s’écrit de façon unique $\mu=\mu_{c}+\mu_{d}$ , où $\mu_{c}$ est une mesure continue et $\mu_{d}$ est une mesure discrète.

Exercice 27 ( $\star$ ) Soient $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré et $\overline{\mathcal{T}}=\{A\Delta N:A\in\mathcal{T},N\ \mu-\textrm{négligeable}\}$ .

1.

Montrer que $\overline{\mathcal{T}}$ est une tribu. C’est la tribu $\mu$ -complétée de $\mathcal{T}$ .
2.

Soit $\overline{\mu}:\overline{\mathcal{T}}\rightarrow\overline{\mathbb{R}},A\Delta N% \mapsto\mu(A),$ où $A\in\mathcal{T}$ et $N$ est $\mu$ -négligeable. Montrer que $\overline{\mu}$ est une mesure sur $\overline{\mathcal{T}}$ . On obtient un espace mesuré $(\Omega,\overline{\mathcal{T}},\overline{\mu})$ appelé l’espace mesuré $\mu$ -completé de $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ .

Exercice 28 Le but de cet exercice est de montrer qu’une réunion arbitraire d’ensembles mesurables n’est pas forcément un ensemble mesurable. Soit

\mathcal{T}=\{A\subset\mathbb{R}:A\ \textrm{au\ plus\ dénombrable }\ \textrm{% ou}\ A^{c}\ \textrm{au\ plus\ dénombrable }\}.

1.

Montrer que $\mathcal{T}$ est une tribu.
2.

Montrer que $\mathcal{T}\neq\mathscr{P}(\mathbb{R})$ .
3.

Conclure.

Exercice 29 On reprend la tribu $\mathcal{T}$ de l’exercice précédent et on restreint la mesure de comptage $\nu$ sur $\mathbb{R}$ à $\mathcal{T}$ . Montrer que $(\mathbb{R},\mathcal{T},\nu)$ est un espace mesuré qui n’est pas $\sigma$ -finie.

	$\displaystyle-I$	$\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{3}-[0,+\infty[\times\{0\}^{2}}1_{D}(x,y,z)\|\ln% (x^{2}+y^{2})\|\,d\lambda_{3}(x,y,z)$
		$\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}dr\ r1_{]0,1[}(r)2\|\ln(r% )\|\int_{0}^{+\infty}dz1_{]0,r[}(z)$
		$\displaystyle=4\pi\int_{0}^{1}dr\ r^{2}\|\ln(r)\|=4\pi\int_{0}^{+\infty}du\ e^{-% 3u}u=4\pi\Big{[}-\frac{e^{-3u}u}{3}-\frac{e^{-3u}}{9}\Big{]}_{0}^{+\infty}=% \frac{4\pi}{9}$

6 Intégration avancée, espaces Lp

6 Intégration avancée, espaces $L^{p}$