3 Complétude et compacité

Complétude

Exercice 1 Soit $(E,||\cdot||)$ un e.v.n., et $F\subseteq E$ un sous-espace de dimension finie. Montrer que $F$ est fermé dans $E$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 2

Soit $E$ un espace de Banach. Soit $A=(L(E,E),|||\cdot|||)$ l’espace de Banach des application linéaires continues sur $E$ (munie de la norme subordonnée). Soit $f\in A$ vérifiant $|||f|||<1$ .

1.

Soit $x\in A$ , on pose $F_{x}(y)=f(y)+x$ . Montrer que l’application $F_{x}$ a un unique point fixe.
2.

Vérifier que la norme subordonnée est sous-multiplicative, c’est à dire que pour tout $f,g\in A$ :

$|||f\circ g|||\leq|||f|||\ |||g|||$
3.

On considère la série $\displaystyle\sum_{n}f^{n}$ des composées de $f$ définies par $f^{0}=\mathord{\operatorname{id}}_{E}$ (l’application identité), $f^{n+1}(x)=f(f^{n}(x))$ . Montrer que cette série est absoluement convergente dans $A$ .
4.

En déduire que $\mathord{\operatorname{id}}_{E}-f$ admet un inverse de composition dans $A$ , c’est à dire $g\in A$ tel que

$g\circ(\mathord{\operatorname{id}}_{E}-f)=(\mathord{\operatorname{id}}_{E}-f)% \circ g=\mathord{\operatorname{id}}_{E}$

Quel est le lien entre $g(x)$ et le point fixe de $F_{x}$ ?

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 3

Soit $E$ un espace de Banach. Soit $C=C^{1}_{b}(]0,+\infty[,\mathbb{R})$ l’espace des applications $C^{1}$ bornées et de dérivées bornées $f:]0,+\infty[\to\mathbb{R}$ .

1.

Soit $D:(C^{1}_{b}(]0,+\infty[,\mathbb{R}),||\cdot||_{\infty})\to(C^{0}_{b}(]0,+% \infty[,\mathbb{R}),||\cdot||_{\infty})$ défini par $D(f)(x)=f^{\prime}(x)$ . Montrer que $D$ est une application linéaire non-continue. (Indication: considérer $f_{n}(x)=e^{-nx}$ )
2.

Pour rendre $D$ continue, on considère la norme $||f||_{C^{1}}=\max(||f||_{\infty},||D(f)||_{\infty})$ . Montrer que cela définit une norme sur $C$ et que $D:(C,||\cdot||_{C^{1}})\to(C^{0}_{b}(]0,+\infty[,\mathbb{R}),||\cdot||_{\infty})$ est continue.
3.

On pose $i(f)=(f,D(f))$ Montrer que $i:C\to(C^{0}_{b}(]0,+\infty[,\mathbb{R}),||\cdot||_{\infty})^{2}$ définit une isométrie. En déduire que $(C,||\cdot||_{C^{1}})$ est complet.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 4 On considère l’espace $\displaystyle E=\ell^{1}(\mathbb{N})=\{a=(a_{i})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}:||a% ||_{1}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}|a_{i}|<\infty\}.$ On sait que $(E,||\cdot||_{1})$ est un espace vectoriel normé. Soit $a_{n}=(a_{n,m})_{m\geq 0}\in E$ la suite des coefficients d’une série absolument convergente dans $E$ , c’est à dire : $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}||a_{n}||_{1}<+\infty.$

On rappelle la version série du théorème de Fubini-Tonelli, pour toute série double (à coefficients positifs comme $|a_{n,m}|$ ), on peut intervertir les sommes:

\displaystyle\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}|% a_{n,m}|=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_{n% ,m}|\in[0,+\infty].

1.

Montrer que pour chaque $m\in\mathbb{N}$ , la série $\displaystyle\sum_{n}a_{n,m}$ converge dans $\mathbb{K}$ , disons vers $b_{m}=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n,m}$ .

Solution :

Il suffit de voir que la série est absolument convergente (ce qui implique sa convergence vu $\mathbb{R}$ complet). Or

$\Big{|}\displaystyle\sum_{n}a_{n,m}\Big{|}\leq\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}% \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}|a_{n,m}|=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}||a_% {n}||_{1}<+\infty.$

□
2.

Montrer que $b=(b_{m})_{m\geq 0}\in E.$

Solution :

Par l’inégalité triangulaire des séries:

$||b||_{1}=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}|b_{m}|\leq\displaystyle\sum_{m=0}^{% \infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_{n,m}|=\displaystyle\sum_{n=0}^{% \infty}||a_{n}||_{1}<+\infty.$

□
3.

Montrer que $\displaystyle\left\|\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}-b\right\|_{1}\leq% \displaystyle\sum_{i=n+1}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}|a_{i,m}|$ . En déduire que $\displaystyle\left\|\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}-b\right\|_{1}\to_{n\to% \infty}0$ .

Solution :

Par l’inégalité triangulaire des séries, puis l’interversion des sommes :

$||\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}-b||_{1}=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}|% \displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i,m}-b_{m}|=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}|% \displaystyle\sum_{i=n+1}^{\infty}a_{i,m}|\leq\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}% \displaystyle\sum_{i=n+1}^{\infty}|a_{i,m}|=\displaystyle\sum_{i=n+1}^{\infty}% ||a_{i}||_{1}.$

Comme reste d’une série convergente, la dernière somme tend vers $0$ , d’où le résultat. □
4.

En déduire que $E$ est complet.

Solution :

Le 3 dit que les sommes partielles de la série des $(a_{n})$ converge vers $b\in E$ , et comme la série absolument convergente était arbitraire, toute série absolument convergente converge. C’est le critère de complétude par série qui indique donc que $E$ est complet. □

Exercice 5 On considère le système d’équations

\displaystyle\begin{cases}4x=\sin(x+y),&(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ 3y=3+2\arctan(x-y).\end{cases}

(E.1)

1.

Déterminer une fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ telle que $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ soit solution de (E.1) si et seulement si $(x,y)$ est un point fixe de $f$ .
2.

Montrer que $f$ est contractante de $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ . On commencera par montrer les deux inégalités suivantes : pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ , $|\sin(a)-\sin(b)|\leq|a-b|$ et $|\arctan(a)-\arctan(b)|\leq|a-b|$ .
3.

Montrer que le système (E.1) admet une unique solution dans $\mathbb{R}^{2}$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 6 On considère l’espace $E=\mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R})=\{f\colon[0,1]\to\mathbb{R};\ f\text{ % continue}\}$ muni de la norme $\|f\|_{1}=\int_{0}^{1}|f(x)|dx$ (cf TD 1 ex 5)

1.

Montrer que $f_{n}(x)=x^{n}$ définit une suite de Cauchy de $E$ .
2.

$E$ est-il complet ?

Solution :

(cf. TD) □

Compacité

Exercice 7 Déterminer si les ensembles suivants sont, ou ne sont pas, compacts dans $\mathbb{R}^{2}$ :

A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon x^{2}+y^{4}=1\}\ ,\quad B=\{(x,y)\in\mathbb{R% }^{2}\colon y^{2}=x^{3}\}\ ,

C=\{(\cos t,\sin t)\colon t\in[0,1]\}\ ,\quad D=\{(\cos t,\sin t)\colon t\in]0% ,1]\}\ ,\quad E=\{(\cos t,\sin t)\colon t\in]0,2\pi]\}.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 8 On se place dans l’espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme $n_{\infty}$ . Montrer que la boule fermée de centre 0 et rayon 1 n’est pas compacte. (Indication : on pourra démontrer que la suite $(X^{n})$ n’admet pas de sous-suite convergente.)

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 9 Soit $A$ une partie compacte d’un espace vectoriel normé. On suppose que $A$ est contenue dans la boule unité ouverte $B(0,1)$ . Montrer qu’il existe $r<1$ tel que $A$ soit contenue dans $B_{F}(0,r)$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 10 On se place dans $\mathbb{R}^{n}$ muni d’une norme $\|\cdot\|$ et on considère une partie non vide $A$ de $\mathbb{R}^{n}$ . Pour $x\in\mathbb{R}^{n}$ on définit

d(x,A)=\inf\{\|x-a\|\colon a\in A\}\ .

1.

Montrer que pour tout $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ , $d(x,A)\leq d(y,A)+\|y-x\|$
2.

En déduire que $x\mapsto d(x,A)$ est une fonction continue.
3.

Soit $F$ un fermé non vide de $\mathbb{R}^{n}$ . Montrer que dans ce cas, $d(x,F)=0\text{ si et seulement si }x\in F.$
4.

Pour une partie non vide $B$ de $\mathbb{R}^{n}$ , on définit $d(A,B)=\inf\{\|b-a\|\colon a\in A,b\in B\}\ .$ Montrer que $d(A,B)=\inf\{d(a,B)\colon a\in A\}$ .
5.

Soit $K$ un compact non vide de $\mathbb{R}^{n}$ . Montrer qu’il existe $a\in K$ et $b\in F$ tels que

$d(K,F)=\|b-a\|.$
6.

Ce dernier résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement $K$ fermé ? (Indication : on pourra considérer les parties $A=\{(t,e^{t})\colon t\in\mathbb{R}\}$ et $B=\{(t,-e^{t})\colon t\in\mathbb{R}\}$ de $\mathbb{R}^{2}$ .)

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 32

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille2-matheco_2021-2022_correctionpartiellemas.pdf

□

Exercice 11 Soit $(X,d)$ un espace métrique, et $(x_{n})$ une suite d’éléments de $X$ qui converge vers $x\in X$ . Montrer que l’ensemble $\{x_{n}\colon n\in\mathbb{N}\}\cup\{x\}$ est compact.

Solution :

Soit $K=\{x_{n}:n\in\mathbb{N}\}\cup\{x\}$ où $(x_{n})$ est une suite convergente vers $x\in X$ .

On montre que toute suite $(y_{n})$ de $K$ admet une sous suite convergente en séparant deux cas

1.

Soit $(y_{n})$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs, donc par le principe des tiroirs, elle prend une valeur un nombre infini de fois, elle admet donc une sous-suite constante (donc convergente).
2.

Soit $(y_{n})$ prend un nombre infini de valeurs, (et donc aussi $(x_{n})$ ) on va montrer qu’il existe une sous-suite de $y$ , aussi extraite de $x$ . On pose $\phi(0)=\inf\{n\in\mathbb{N}:y_{n}\neq x\}$ (qui existe car $y$ n’est pas constante égale à $x$ ) et $\psi(0)=\inf\{m\in\mathbb{N}:x_{m}=y_{\phi(0)}\}$ (qui existe par choix de $\phi(0)$ ).

On définit alors par récurrence

$\displaystyle\phi(n+1)$ $\displaystyle=\inf\{m>\phi(n):y_{m}\not\in\{x,x_{1},\cdots,x_{\psi(n)}\}\}$

$\displaystyle\psi(n+1)$ $\displaystyle=\inf\{m>\psi(n):x_{m}=y_{\phi(n+1)}\}$

L’ensemble dont on prend l’inf pour obtenir $\phi(n+1)$ est non-vide car $y$ prend un nombre infini de valeurs. Celui pour obtenir $\psi(n+1)$ est non-vide car $y_{\phi(n+1)}\neq x$ donc appartient aux valeurs de $x$ . On a par construction $\psi$ et $\phi$ strictement croissante et $y_{\phi(n)}=x_{\psi(n)}$ donc la suite extraite $(y_{\phi(n)})$ est aussi extraite de $(x_{n})$ donc converge vers $x$ .

□

Exercice 12 Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ une fonction continue. Soit $f_{n}$ la fonction définie par $f_{n}(x)=f\left(\frac{\lfloor xn\rfloor}{n}\right)$ . Montrer que $f_{n}$ converge uniformément vers $f$ . En déduire que les fonctions en escalier sont denses dans l’ensemble des fonctions continues par morceaux $\mathcal{CM}([0,1],\mathbb{R})$ .

	$\displaystyle\phi(n+1)$	$\displaystyle=\inf\{m>\phi(n):y_{m}\not\in\{x,x_{1},\cdots,x_{\psi(n)}\}\}$
	$\displaystyle\psi(n+1)$	$\displaystyle=\inf\{m>\psi(n):x_{m}=y_{\phi(n+1)}\}$