4 Ensembles et fonctions convexes

Exercice 1 Montrer que les ensembles $C_{i}$ suivants sont convexes et trouver les cônes normaux $N_{C_{i}}(0)$ en $0=(0,0)$ :

1. $C_{1}=[0,+\infty[\times\mathbb{R}$ , 2. $C_{2}=[0,+\infty[^{2}$ , 3. $C_{3}=[-1,1]^{2}$ , 4. $C_{4}=\{(x,y)\in[0,1]^{2}:x\leq y\}$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 2

1.

Soient $A, B$ deux convexes. Montrer que $A\cap B$ est convexe.

Est-ce que $A\cup B$ est convexe ?
2.

Soit $A=\{0\}\cup]0,+\infty[^{2}$ . Montrer que $A$ est convexe dans $\mathbb{R}^{2}$ et calculer $T_{A}(0)$
3.

Soit $B=]-\infty,0]\times\mathbb{R}$ , calculer $T_{B}(0)$ et $T_{A\cap B}(0)$ .
4.

Soient $A, B$ deux convexes généraux avec $c\in A\cap B$ , trouver une relation entre $T_{A\cap B}(c)$ et $T_{A}(c)\cap T_{B}(c)$ . (Pour une meilleure relation dans un cas particulier on pourra voir aussi l’exercice 20. 2)

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 2

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 3 Montrer les inégalités suivantes, à l’aide de raisonnements de convexité:

1.

$\forall x\in\mathbb{R},\ e^{x}\geq 1+x$ .
2.

$\forall x>0,\ \ln(x)\leq x-1$ .
3.

$\displaystyle\forall x\in[0,\frac{\pi}{2}],\ \frac{2}{\pi}x\leq\sin(x)\leq x$ .
4.

$\displaystyle\forall x>-1,\ \sqrt{1+x}\leq 1+\frac{x}{2}$ .

Solution :

(cf. TD) ou Correction de 2021-2022 exercice 3

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 4 Montrer que la fonction suivante croissante sur $\mathbb{R}$ :

f(x)=\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$\frac{e^{x}-1}{x}$&si&$x\neq 0$\\ $1$&si&$x=0$\end{tabular}\right.

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 4

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 5 Soit $f$ la fonction définie par la formule $f(x)=x^{2k}$ , pour $k\in\mathbb{N}^{*}$ .

1.

En calculant la dérivée seconde, montrer que $f$ est strictement convexe sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$ .
2.

Montrer que $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

Solution :

(cf TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 5

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 6 Soient $E, F$ des e.v. sur $\mathbb{R}$ et $I$ un intervalle.

1.

Soient $f:E\to I,g:I\to\mathbb{R}$ deux fonctions telles que $f$ est convexe et $g$ est convexe et croissante. Montrer que $g\circ f$ est convexe.
2.

Si $f:E\to\mathbb{R}$ est convexe et $A:F\to E$ linéaire, montrer que $f\circ A$ est convexe.
3.

Montrer que $f(x,y)=(|2x+3y|+|x-y|)^{p}$ est convexe sur $\mathbb{R}^{2}$ pour $p\in[1,+\infty[$ .

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de 2021-2022 exercice 6

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 7

1.

Prouver que la fonction $f$ définie par $f(x,y)=xy$ n’est pas convexe sur $\mathbb{R}^{2}$ , mais que les fonctions $g, h$ définies par $g(x,y)=x^{2}+y^{2}$ et $h(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy$ le sont.
2.

Montrer que les trois fonctions suivantes sont séparément convexes en $x$ (pour chaque $y$ ) et en $y$ (pour chaque $x$ ).

$i(x,y)=exp(x+y),j(x,y)=exp(xy),k(x,y)=exp(x)+exp(y).$

Lesquelles sont des fonctions convexes sur $\mathbb{R}^{2}$ ?

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de 2021-2022 exercice 7

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 8 Lesquels parmi les fonctions suivantes sont convexes sur $[-1,1]^{2}$ :

h_{1}(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{6},h_{2}(x,y)=\frac{x^{4}+y^{4}}{12},\ h_{3}(x,y% )=x^{2}+y^{2}+\frac{x^{3}}{3},\ h_{4}(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy.

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de 2021-2022 exercice 8

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 9 Soit $f(x,y,z)=(2x+y)^{2}+(2x+z)^{2}-x^{2}.$

1.

Montrer que les restrictions de $f$ aux sous-espaces:

$C_{1}=\{(x,y,0),(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\},\ \ C_{2}=\{(x,0,z),(x,z)\in\mathbb{R% }^{2}\},\ \ \ C_{3}=\{(0,y,z),(y,z)\in\mathbb{R}^{2}\}$

sont convexes.
2.

Est-ce que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}^{3}$ ?

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de 2021-2022 exercice 9

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 10 (Tiré de l’examen 2025) On fixe $p,q,r\in[1,+\infty[$ vérifiant $p\geq q$ et :

\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.

(E.2)

On pose $s=p-r$ et on fixe des constantes $C,D\in[0,+\infty[$ . On remarque que (E.2) équivaut à

\frac{r}{q}=\frac{s}{p}.

(E.3)

et donc $p\geq q,r\geq 1$ impliquent $s\geq 1$ (qu’on pourra utiliser librement).

On définit

A=\{(x,y)\in]0,+\infty[^{2}:y\geq\frac{1}{x}\},

et $g:A\to\mathbb{R}$ par $g(x,y)=Cx^{s}+Dy^{r}.$

3.

Montrer que $A$ est convexe.
4.

Montrer que $g$ est convexe sur $A$ .
5.

Calculer le cône normal $N_{A}((x,y))$ en un point de la frontière

$F=\{(x,y)\in]0,+\infty[^{2}:y=\frac{1}{x}\}$

de $A$ (on ne demande PAS de vérifier que $F$ est la frontière de $A$ ).
6.

Montrer que $g$ atteint son minimum sur $A$ en un point de $F$ et que ce minimum vaut:

$m=C\left(\frac{rD}{sC}\right)^{s/(r+s)}+D\left(\frac{sC}{rD}\right)^{r/(r+s)}.$

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de l’examen 2025

https://math.univ-lyon1.fr/~dabrowski/enseignement/TopoMesure/ExamenCT1Correction-20250108.pdf

□

Exercice 11 On s’intéresse au problème de minimiser la fonction

f(x,y)=\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{2}y^{3}}{12}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+4

sur le pavé $A:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:-1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1\}$ .

1.

Prouver que $f$ est strictement convexe sur A.
2.

Montrer qu’il existe une solution unique du problème.
3.

Trouver la solution.

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de 2021-2022 exercice 11

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Exercice 12 Soit $C$ un convexe et $f:C\to\mathbb{R}$ une fonction, montrer que $f$ est convexe sur $C$ si et seulement si pour tout intervalle $[a,b]\subset C$ , la restriction $f_{|[a,b]}$ est convexe.

Exercices d’entraînements

Exercice 13 Montrer que les $C_{i}$ sont convexes et trouver les cônes normaux $N_{C_{i}}(a_{j})$ :

1.

$C_{5}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ en $a_{1}=(0,0)$ et en $a_{2}=(0,1)$ .

Solution :

$C_{5}=\overline{B(0,1)}$ est la boule fermée pour la norme euclidienne donc convexe. $a_{1}\in B(0,1)=Int(\overline{B(0,1)})$ donc d’après le cours $N_{C_{5}}(a_{1})=\{0\}.$

On pose $g(x)=x^{2}+y^{2}-1$ qui est polynomiale avec $Hess(g(x))=2I_{2}$ définie positive, donc $g$ est strictement convexe. On retrouve que $C_{5}=g^{-1}(]-\infty,0])$ . En $a_{2}$ on a $g(a_{2})=1+0-1=0$ donc la contrainte est active. Par le théorème de calcul des cône normaux de convexes définies par contraintes, on obtient $N_{C_{5}}(a_{2})=\mathbb{R}_{+}\{\nabla g(a_{2})\}=\mathbb{R}_{+}(0,2)=\mathbb% {R}_{+}(0,1)$

On retrouve aussi le cas de $a_{1}$ en remarquant que $g(a_{1})<0$ donc la contrainte n’est pas active.

□
2.

$C_{6}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:|x-1|+|y|\leq 1\}$ en $a_{1}=(0,0)$ , en $a_{3}=(1,0)$ et en $a_{4}=(1/2,1/2)$ .

Solution :

$C_{6}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:|x-1|+|y|\leq 1\}=\overline{B_{||.||_{1}}((1,0)% ,1)}$ est une boule fermé donc convexe (pour la norme $||(x,y)||_{1}=|x|+|y|$ cf TD 5).

On veut calculer les cônes normaux en $a_{1}=(0,0)$ , en $a_{3}=(1,0)$ et en $a_{4}=(1/2,1/2)$ .

Comme avant $Int(C_{6})=B_{||.||_{1}}((1,0),1)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:|x-1|+|y|<1\}$ $a_{3}\in Int(C_{6})$ et donc d’après le cours $N_{C_{6}}(a_{3})=\{0\}.$

C_{6}=\{g_{1}(x,y)=x-2+y\leq 0,g_{2}(x,y)=y-x\leq 0,g_{3}(x,y)=x-2-y\leq 0,g_{% 4}(x,y)=-y-x\leq 0\}

Les $g_{i}$ sont linéaires donc convexes $C^{1}$ . On peut appliquer le théorème de calcul des cône normaux de convexes définies par contraintes.

En $a_{4}$ seule la contrainte $g_{2}$ est active, donc $N_{C_{6}}(a_{4})=\mathbb{R}_{+}\{\nabla g_{2}(a_{4})\}=\mathbb{R}_{+}(-1,1).$

En $a_{1}$ les contraintes $g_{2}$ et $g_{4}$ sont actives donc

N_{C_{6}}(a_{1})=\mathbb{R}_{+}\{\nabla g_{2}(a_{1})\}+\mathbb{R}_{+}\{\nabla g% _{4}(a_{1})\}=\mathbb{R}_{+}(-1,1)+\mathbb{R}_{+}(-1,-1).

□

Exercice 14 On s’intéresse au problème de minimiser la fonction

f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}+9x^{2}+8y^{2}+4

sur le pavé $A:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:-1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1\}$ .

Prouver que $f$ est strictement convexe sur A.

Solution :

$f$ est polynomiale donc $C^{2}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+2xy^{3}+18x,\ \ \ \frac{\partial f}{% \partial y}=3y^{2}x^{2}+16y

\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=12x^{2}+2y^{3}+18,\ \ \ \frac{\partial^{2% }f}{\partial y^{2}}=6yx^{2}+16,\ \ \ \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y% }=6xy^{2}

Comme

	$\displaystyle d^{2}f(x,y).((h,k),(h,k))$	$\displaystyle=(12x^{2}+2y^{3}+18)h^{2}+6xy^{2}2hk+(6yx^{2}+16)k^{2}$
		$\displaystyle\geq(2y^{3}+18)h^{2}+(6yx^{2}+16)k^{2}+6xy^{2}kh$
		$\displaystyle\geq(18-4)h^{2}+(16-12)k^{2}-12(\frac{k^{2}}{4}+h^{2})=2h^{2}+k^{2}$
		$\displaystyle\geq h^{2}+k^{2}=\langle I_{2}(h,k),(h,k)\rangle$

pour $|y|,|x|<\sqrt[3]{2}$ , de sorte qu’on a utilisé à l’avant-dernière ligne $|y^{3}|,|yx^{2}|,|xy^{2}|<2$ , et $2hk\leq(\frac{k^{2}}{4}+h^{2})$ .

On obtient donc $H(f)(x,y)\geq I_{2}$ , donc par le cours $f$ est strictement convexe sur l’ouvert $]-\sqrt[3]{2},+\sqrt[3]{2}[^{2}\supset A$

□

2.

Montrer qu’il existe une solution unique du problème (Indication: rappeler pourquoi $A$ est compact)

Solution :

Par continuité, la fonction admet un minimum sur le compact $A$ (boule fermé donc fermé borné en dimension finie), il est unique par convexité stricte. □
3.

Trouver la solution.

Solution :

On trouve la solution en cherchant les minima locaux. On remarque que $(0,0)$ annule le gradient, c’est donc un point critique sur l’ouvert $Int(A)$ , donc c’est l’unique minimum sur tout $A$ . (par exemple on utilise le théorème de minimisation sur un convexe et $-\nabla f(0,0)\in N_{A}(0)=\{0\}$ vu $0\in Int(A)$ ). □

Exercice 15 Lesquels parmi les fonctions suivantes sont convexes sur $\mathbb{R}^{2}.$

f_{0}(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{4},\ f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{3},\ f_{2}(x,y)=x^{4}% +y^{4}-4xy,\ f_{3}(x,y)=\cos(x+y),

f_{4}(x,y)=xe^{y}+ye^{x},\ f_{5}(x,y)=|x+1|+|y|,\ f_{6}(x,y)=(|x+1|+|y|)^{2}.

Solution :

On commence $f_{0},f_{1},f_{2}$ qui sont des polynômes donc de classe $C^{\infty}$ .

1.

$Hf_{0}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}2+12x^{2}&0\\ 0&2\end{array}\right).$ qui est positive car ces valeurs propres $2+12x^{2},2\geq 0$ , donc $f_{0}$ est convexe sur $\mathbb{R}^{2}.$
2.

$Hf_{1}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}2+6x&0\\ 0&2\end{array}\right),$ mais $Hf_{1}(-1,0)=\left(\begin{array}[]{cc}-4&0\\ 0&2\end{array}\right),$ a un déterminant $-8$ négatif, donc $Hf_{1}(-1,0)$ n’est pas positive et donc $f_{1}$ n’est pas convexe sur $\mathbb{R}^{2}$ .
3.

$Hf_{2}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}12x^{2}&-4\\ -4&12y^{2}\end{array}\right),$ mais $Hf_{2}(0,0)=\left(\begin{array}[]{cc}0&-4\\ -4&0\end{array}\right),$ a un déterminant $-16$ négatif, donc $Hf_{2}(0,0)$ n’est pas positif et donc $f_{2}$ n’est pas convexe sur $\mathbb{R}^{2}$ .
4.

$f_{3}$ est périodique non constante, on se doute qu’elle ne va pas être convexe (mais ce n’est pas une preuve, on n’a pas vu de résultat de ce type en cours), elle est $C^{\infty}$ par composition de $\cos$ et d’une fonction linéaire, $\nabla f_{3}(x,y)=(-sin(x+y),-\sin(x+y))$ , donc $Hf_{3}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}-cos(x+y)&-cos(x+y)\\ -cos(x+y)&-cos(x+y)\end{array}\right),$ par exemple $Hf_{3}(0,0)=\left(\begin{array}[]{cc}-1&-1\\ -1&-1\end{array}\right),$ son déterminant $rt-s^{2}=0$ mais $r=-1<0$ donc $Hf_{3}(0,0)$ n’est pas positive, donc $f_{3}$ n’est pas convexe.
5.

$\frac{\partial^{2}f_{4}}{\partial x^{2}}(x,y)=ye^{x},\frac{\partial^{2}f_{4}}{% \partial y^{2}}(x,y)=xe^{y},\frac{\partial^{2}f_{4}}{\partial x\partial y}(x,y% )=e^{x}+e^{y}.$

$Hf_{4}(-1,1)=\left(\begin{array}[]{cc}-e^{-1}&2e^{-1}\\ 2e^{-1}&-e^{-1}\end{array}\right).$ On a donc $rt-s^{2}=e^{-1}(1-4)<0,$ donc $Hf_{4}(-1,1)$ n’est pas positive et $f_{4}$ n’est donc pas convexe sur $\mathbb{R}^{2}$ .
6.

$f_{5},f_{6}$ ne sont pas même $C^{1}$ à cause des valeurs absolues, on ne peut pas dériver, on n’utilise une méthode proche de l’exercice 6.

$f_{5}(x,y)=||(x,y)+(1,0)||_{1}$ vu $||(x,y)||_{1}=|x|+|y|$ , est la composée de la norme qui est convexe (par le cours), avec la fonction affine $A(x,y)=(x,y)+(1,0)$ . On remarque que: $A(\lambda(x,y)+(1-\lambda)(x^{\prime},y^{\prime}))=\lambda(A(x,y))+(1-\lambda)% (A(x^{\prime},y^{\prime}))$

Donc, on obtient la convexité en utilisant la convexité de la norme pour $\lambda\in[0,1]$ :

$||A(\lambda(x,y)+(1-\lambda)(x^{\prime},y^{\prime}))||=||\lambda(A(x,y))+(1-% \lambda)(A(x^{\prime},y^{\prime}))||_{1}\leq\lambda||A(x,y)||_{1}+(1-\lambda)|% |A(x^{\prime},y^{\prime})||_{1}.$
7.

$f_{6}$ est la composée de $f_{5}$ convexe et $g(x)=x^{2}$ (une fonction croissante convexe) donc par l’exercice 6: $f_{6}=g\circ f_{5}$ est convexe. Concrètement, on peut (utiliser la convexité de $f_{5}$ : $f_{5}(\lambda(x,y)+(1-\lambda)(x^{\prime},y^{\prime})\leq\lambda f_{5}(x,y)+(1% -\lambda)f_{5}(x^{\prime},y^{\prime})$ auquel on applique la croissance de $g$ , puis on utilise la convexité de $g$ ):

$g\circ f_{5}(\lambda(x,y)+(1-\lambda)(x^{\prime},y^{\prime}))\leq g(\lambda f_% {5}(x,y)+(1-\lambda)f_{5}(x^{\prime},y^{\prime}))\leq\lambda(g\circ f_{5}(x,y)% )+(1-\lambda)(g\circ f_{5}(x^{\prime},y^{\prime}))$

□

Exercice 16 Lesquels parmi les fonctions suivantes sont convexes sur $[0,1]^{2}$ :

g_{1}(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{6},\ g_{2}(x,y)=\frac{x^{4}+y^{6}}{12},\ g_{3}(x% ,y)=-\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}

g_{4}(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{2},\ g_{5}(x,y)=\cos(xy),\ g_{6}(x,y)=x^{2}+y^{2}% +\frac{x^{3}}{6}.

Solution :

On commence par $g_{1},g_{2},g_{4},g_{6}$ qui sont des polynômes donc $C^{\infty}$ , on calcule donc les dérivées secondes.

1.

$Hg_{1}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}x&0\\ 0&y\end{array}\right).$ C’est positif sur $[0,1]^{2}$ et même $\mathbb{R}_{+}^{2}$ (car à valeur propre positive) mais pas sur un voisinage ouvert. Par contre, c’est le cas sur l’ouvert $]0,+\infty[^{2}$ , où $g_{1}$ est donc convexe (on va étendre la convexité par continuité). Pour $(x,y),(x^{\prime},y^{\prime})\in\mathbb{R}_{+}^{2}$ , on a $(x+1/n,y+1/n)\in]0,+\infty[^{2}$ donc la convexité s’écrit pour $\lambda\in[0,1]$ :

$g_{1}(\lambda(x+1/n,y+1/n)+(1-\lambda)(x^{\prime}+1/n,y^{\prime}+1/n))\leq% \lambda g(x+1/n,y+1/n)+(1-\lambda)g(x^{\prime}+1/n,y^{\prime}+1/n),$

en passant à la limit $n\to\infty$ vu $g$ continue, on obtient l’inégalité voulue:

$g_{1}(\lambda(x,y)+(1-\lambda)(x^{\prime},y^{\prime}))\leq\lambda g(x,y)+(1-% \lambda)g(x^{\prime},y^{\prime}),$
2.

$g_{2}$ est plus simple car $Hg_{2}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}x^{2}&0\\ 0&y^{2}\end{array}\right)$ est à valeurs propres positives sur $\mathbb{R}^{2}$ donc $g_{2}$ convexe sur $\mathbb{R}^{2}$ donc sur $[0,1]^{2}$ .
3.

$\nabla g_{4}(x,y)=(xy^{2},yx^{2})$ donc $Hg_{4}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}y^{2}&2xy\\ 2xy&x^{2}\end{array}\right).$

le déterminant $rt-s^{2}=x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}\leq 0$ et en $(1/2,1/2)$ vaut $-3/16<0$ donc $Hg_{4}(1/2,1/2)$ n’est pas positive, donc $g_{4}$ n’est pas convexe.
4.

$Hg_{6}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}2+x&0\\ 0&2\end{array}\right).$ à des valeurs propres positives sur l’ouvert $]-2,+\infty[\times\mathbb{R}$ donc $g_{6}$ est convexe sur cet ouvert donc sur $[0,1]^{2}$ .
5.

$g_{5}$ est $C^{\infty}$ comme composée de cosinus et d’un polynôme. $\nabla g_{5}(x,y)=(-ysin(xy),-x\sin(xy))$ , donc

$Hg_{5}(x,y)=\left(\begin{array}[]{cc}-y^{2}cos(xy)&-\sin(xy)-xycos(xy)\\ -\sin(xy)-xycos(xy)&-x^{2}cos(xy)\end{array}\right),$

$r=-y^{2}cos(xy)$ est négatif en $(1,1)$ ( $cos(1)\in[0,1]$ ) donc $Hg_{5}(1,1)$ n’est pas positive donc $g_{5}$ n’est pas convexe.

Reste le cas le plus dur, celui de $g_{3}$ (On a l’intuition que $g_{3}$ est le graphe de la partie d’ordonnée négative d’une sphère de centre 0 et de rayon $\sqrt{2}$ , ce qui semble convexe visuellement… Il serait facile de voir par composition que $-g_{3}$ est la compose d’une fonction concave croissante (la racine) et d’une fonction concave, qui est donc concave, on le montre par dérivation), Si x¡1 ou y¡1, on a $x^{2}+y^{2}<2$ donc $g_{3}$ est a composée d’un polynôme à valeur strictement positif sur $[0,1]^{2}\setminus\{(1,1)\}\subset B_{||.|||_{2}}(0,\sqrt{2})$ et de $x\mapsto-\sqrt{x}$ qui est $C^{\infty}$ sur $]0,\infty[$ (mais pas dérivable en 0). Donc par composée $g_{3}$ est $C^{\infty}$ sur $B_{||.|||_{2}}(0,\sqrt{2}).$

On calcule les dérivées premières et secondes: $\nabla g_{3}(x,y)=(\frac{x}{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}},\frac{y}{\sqrt{2-(x^{2}+y^% {2})}})$

	$\displaystyle Hg_{3}(x,y)$	$\displaystyle=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{1}{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}}+\frac{% x^{2}}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}&\frac{xy}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}\\ \frac{xy}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}&\frac{1}{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}}+\frac{y^{2% }}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}\end{array}\right)$
		$\displaystyle=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{2-y^{2}}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}% &\frac{xy}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}\\ \frac{xy}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}&\frac{2-x^{2}}{(2-(x^{2}+y^{2}))^{3/2}}\end% {array}\right),$

Son déterminant

rt-s^{2}=((2-x^{2})(2-y^{2})-x^{2}y^{2})/(2-(x^{2}+y^{2}))^{3}=(4-2x^{2}-2y^{2% })/(2-(x^{2}+y^{2}))^{3}\geq 0

est positif si $x^{2}+y^{2}<2$ et $r\geq 0$ donc $Hg_{3}(x,y)$ est positive sur la boule ouverte euclidienne $B_{||.|||_{2}}(0,\sqrt{2}).$ Par continuité comme pour $g_{1}$ , $g_{3}$ est aussi convexe sur l’adhérence (la boule fermé) qui contient $[0,1]^{2}$ , ceci conclut à $g_{3}$ convexe sur cet ensemble.

Exercices plus difficiles

Exercice 17

1.

Soit $C$ une partie fermée dans $E$ e.v.n. telle que si $x,y\in C$ alors $\frac{x+y}{2}\in C$ . Prouver que C est convexe.
2.

Soit $C$ convexe fermé de $E$ . Soit $f:C\to\mathbb{R}$ une fonction continue telle que

$\forall x,y\in C\qquad f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}.$

Montrer que $f$ est convexe.
3.

Même question $C$ est juste convexe mais pas fermé. (Indication: utiliser l’ex. 12)

Solution :

$\Rightarrow$ est assez évident car la restriction préserve la convexité (il y a moins de points à vérifier dans la condition pour tout).

$\Leftarrow$ C’est aussi proche de la définition. Soit $(a,b)\in C$ , de $f_{|[a,b]}$ est convexe on déduit l’inégalité voulue pour $t\in[0,1]$

f(ta+(1-t)b)=f_{|[a,b]}(ta+(1-t)b)\leq tf_{|[a,b]}(a)+(1-t)f_{|[a,b]}(b)=tf(a)% +(1-t)f(b)

□

Exercice 18

1.

Montrer que la fonction $x\mapsto e^{2x-\cos(x)}$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .
2.

Soit $f\colon I\to]0,+\infty[$ , où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ . Montrer que si $\ln(f)$ est convexe alors $f$ est convexe. Réciproque?
3.

Application: Montrer que $x\mapsto(1+x)^{x}$ est convexe sur $]-1,+\infty[$ .

Solution :

(cf TD.)

ou Correction de 2021-2022 exercice 14

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 19 Montrer que si $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est convexe et tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ alors $f$ est à valeurs positives (on pourra commencer par justifier le fait que $f$ est décroissante).

Solution :

On applique l’inégalité des pentes à $a<b<c$ puis on fait tendre $c\to\infty$ :

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\to_{c\to\infty}(0-f(a)).0=0

Vu que $b-a>0$ on déduit $f(b)-f(a)\leq 0$ donc $f$ décroissante $f(b)\leq f(a)$ . En faisant maintenant tendre $b\to\infty$ , on obtient finalement : $0\leq f(a)$ .

□

Exercice 20 Soit $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction convexe.

1.

Montrer que si $f$ est à valeurs négatives alors $f$ est constante.
2.

Montrer que s’il existe $a, b$ tels que $f(x)\leq ax+b$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ alors $f$ est une fonction affine.

Exercice 21 Soit $f\colon[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction concave.

1.

Montrer que pour tout $x,y\geq 0$ on a $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ .
2.

On suppose en plus que $f$ est continue en $0$ et vaut $f(0)=0$ . Montrer que $f$ est uniformément continue.

Solution :

(cf TD.) □

Exercice 22 Soit $f$ une fonction de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$ , majorée, de classe $C^{2}$ . On suppose qu’il existe $a>0$ tel que

\forall x\geq 0\ f^{\prime\prime}(x)\geq af(x)\geq 0\ .

1.

Montrer que $f$ est décroissante.

Solution :

Par (LABEL:ineqdiff), $f$ est convexe. Pour une telle fonction, si $f^{\prime}(a)>0$ alors $f(x)\geq f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\to_{x\to\infty}\infty$ donc $f$ n’est pas majorée. Donc par contraposée, pour une fonction convexe, $f$ majorée implique que $f^{\prime}(x)\leq 0$ pour tout $x$ et donc $f$ décroissante.

□
2.

Déterminer la limite de $f^{\prime}(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Solution :

On sait $f^{\prime}(x)\leq 0$ par le 1, et comme $f$ convexe, on a $f^{\prime}$ croissante, donc admet une limite $-\ell$ de $f^{\prime}$ en $+\infty$ . En particulier, pour tout $x$ , on a $f^{\prime}(x)\leq-\ell$ . Par l’absurde, si $-\ell<0$ , on pose $g(x)=f(x)+\ell x$ , mais $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+\ell\leq 0$ et donc $g$ décroissante. Or par (LABEL:ineqdiff) $g(x)=f(x)+\ell x\geq\ell x\to_{x\to\infty}\infty$ , ce qui contredit $g$ décroissante $g(0)\geq g(x)\to_{x\to\infty}\infty$ . On en déduit donc que $\ell=0$ .

□
3.

Montrer que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Solution :

On a $f$ décroissante positive, donc admet une limite $\ell\geq 0$ de $f$ en $+\infty$ . Par l’absurde, supposons $\ell>0,$ donc $f(x)\geq\ell$ pour tout $x$ et (LABEL:ineqdiff), $f^{\prime\prime}(x)\geq a\ell>0$ . On en déduit, $f^{\prime}(x)\geq a\ell x+b$ car la différence est croissante, puis en intégrant encore $f(x)\geq a\ell\frac{x^{2}}{2}+bx+c$ ce qui tend en $+\infty$ en $x\to+\infty$ , contredisant $f$ majorée.

□
4.

Montrer que pour tout $x\geq 0$ on a $f(x)\leq f(0)e^{-x\sqrt{a}}$ .

(Indication: en posant $\varphi(x)=f(0)e^{-x\sqrt{a}}$ on pourra montrer que $g=\frac{f}{\varphi}$ est décroissante en écrivant $g^{\prime}(x)=\frac{\omega(x)}{\varphi(x)^{2}}$ et étudiant les variations de $\omega$ pour trouver son signe.)

Solution :

(C’est une question d’équation différentielle, sur la comparaison des solutions d’inéquations d’ordre 2).

Comme $f$ est décroissante positive, il n’y a rien à montrer si $f(0)=0$ car $0=f(x)\leq 0=f(0)=f(0)e^{-x\sqrt{a}}.$ On suppose donc $f(0)>0$ .

Soit $\varphi(x)=f(0)e^{-x\sqrt{a}}>0,$ et on note que $\varphi^{\prime}=-\sqrt{a}\varphi,\varphi^{\prime\prime}={a}\varphi$ , on calcule :

\Big{(}\frac{f(x)}{\varphi(x)}\Big{)}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)\varphi(x)-% \varphi^{\prime}(x)f(x)}{\varphi(x)^{2}}=:\frac{\omega(x)}{\varphi(x)^{2}}

où on a posé $\omega(x)=f^{\prime}(x)\varphi(x)-\varphi^{\prime}(x)f(x)$ . On calcule une dérivée de plus

\omega^{\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\varphi(x)+f^{\prime}(x)\varphi^{\prime}% (x)-\varphi^{\prime\prime}(x)f(x)-\varphi^{\prime}(x)f^{\prime}(x)=f^{\prime% \prime}(x)\varphi(x)-a\varphi(x)f(x)\geq 0

vu l’inégalité (LABEL:ineqdiff) sur $f$ . Donc $\omega$ est croissante, donc on obtient $\omega(x)\leq\omega(y)$ pour $x\leq y$ . Or par les deux questions précédentes $f,f^{\prime}$ tendent vers $0$ en l’infini, donc $\omega$ aussi d’où en prenant $y\to\infty$ : $\omega(x)\leq 0$ pour tout $x$ . On déduit donc : $\Big{(}\frac{f(x)}{\varphi(x)}\Big{)}^{\prime}\leq 0$ donc $\frac{f(x)}{\varphi(x)}$ est décroissante, donc

\frac{f(x)}{\varphi(x)}\leq\frac{f(0)}{\varphi(0)}=1.

Ce qui est le résultat voulu $f(x)\leq\varphi(x)=f(0)e^{-x\sqrt{a}}$ □

Exercice 23 Montrer que pour $S$ une partie fermé non-vide de $E$ e.v.n. alors la fonction distance $d_{S}(x):=d(x,S)=\inf_{s\in S}||x-s||$ est convexe si et seulement si $S$ est convexe.

Exercice 24 Soient $g_{1},...,g_{n}$ des fonctions convexes $C^{1}$ définies sur $\mathbb{R}^{m}$ tel qu’il existe $x_{0}$ avec $g_{i}(x_{0})<0$ pour tout $i$ . Soit la contrainte : $A=\{x\in\mathbb{R}^{m}:\forall i\in\{1,...,n\},g_{i}(x)\leq 0\}.$ On rappelle que soit $x\in A$ avec $g_{1}(x)=...=g_{l}(x)=0$ (contraintes actives en $x$ ) et $g_{l+1}(x)<0,...g_{n}(x)<0$ , on a:

N_{A}(x)=\{\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\lambda_{i}\nabla g_{i}(x),\lambda_{i}% \geq 0\}.

1.

Soit $I\subset\{1,...,n\}$ , $B=\{x\in\mathbb{R}^{m}:\forall i\in I,g_{i}(x)\leq 0\}$ et $C=\{x\in\mathbb{R}^{m}:\forall i\in\{1,...,n\}\setminus I,g_{i}(x)\leq 0\}$ et $x\in B\cap C$ .

En déduire que $N_{B\cap C}(x)=N_{B}(x)+N_{C}(x)$ et $T_{A\cap B}(c)=T_{A}(c)\cap T_{B}(c).$
2.

Si $x$ minimise une fonction convexe $f$ sur $A$ . Montrer que $x$ vérifie $\nabla f(x)+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\nabla g_{i}(x)=0$ pour $\lambda_{i}\geq 0$ (et $\lambda_{i}=0$ si la i-ème contrainte n’est pas active)
3.

On considère le problème de minimiser $f(x,y):=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}$ sous les contraintes $x^{2}+y^{2}\leq 5,-x+2y\leq 4,x\geq 0,y\geq 0.$

Prouver qu’une solution existe qui n’est pas $(0,0)$ et en déduire que la solution satisfait $f(x,y)<13$ .

Trouver la solution (en se guidant graphiquement et en utilisant les conditions nécessaires). (Indication: Graphiquement, on se doute que la contrainte saturée au minimiseur va être $x^{2}+y^{2}=5$ )

□