5 Intégration

Boréliens, fonctions mesurables

Exercice 1 On travaille avec la tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ .

Prouver ou réfuter les assertions suivantes.

1.

Un ouvert est un borélien.
2.

Un fermé est un borélien.
3.

Un borélien est un ouvert ou un fermé.
4.

Un intervalle est dans $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 10

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille3-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 2 Prouver ou réfuter les assertions suivantes.

1.

L’ensemble $[2,3[\cap\mathbb{Q}$ est un borélien de $\mathbb{R}$ .
2.

L’ensemble $\{x\in\mathbb{R}:\sin(x)=\cos(\tan(x))\}$ est un borélien de $\mathbb{R}$ .
3.

Si $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ et si $A\subset B$ alors $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 11

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille3-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 3 Soit $(\Omega,\mathcal{T})$ un espace mesurable. Prouver ou réfuter les assertions suivantes.

1.

Une fonction $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs est étagée.
2.

Si $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ est mesurable et si $g:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ est borélienne étagée alors $g\circ f$ est étagée.
3.

Si $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ est telle que $f^{-1}(F)\in\mathcal{T}$ pour tout $F\subset\mathbb{R}$ fermé alors $f$ est mesurable.
4.

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ est borélienne et ne s’annule pas alors $\frac{1}{f}$ est borélienne.
5.

La fonction $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ est mesurable si est seulement si $|f|$ est mesurable.

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 16

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille3-matheco_2022-2023correction.pdf

Attention: il y a une erreur dans le corrigé de la première question dans ce corrigé de M. Tomanov d’il y a deux ans.

La première question est FAUSSE: Une fonction $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs n’est pas forcément étagée, il faut aussi qu’elle soit MESURABLE.

□

Intégration

Exercice 4 ( $\star$ ) Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré. Prouver ou réfuter les assertions suivantes:

1.

si $f=1_{A}$ avec $A\in\mathcal{T}$ alors $\int fd\mu=\mu(A)$ ;
2.

si $f=a1_{A}+b1_{B}$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ et $A,B\in\mathcal{T}$ alors $\int fd\mu=a\mu(A)+b\mu(B)$ ;
3.

si $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ est mesurable et vérifie $\mu(f^{-1}(\{\infty\}))=0$ alors $f$ est intégrable;
4.

si $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ est intégrable alors $\mu(f^{-1}(\{\infty\}))=0$ ;
5.

si $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ est mesurable et vérifie $\int fd\mu=0$ alors $f=0$ ;
6.

si $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ est mesurable et satisfait $\int fd\mu=0$ alors $f=0$ $\mu$ -p.p.;
7.

si $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ est mesurable et satisfait $f=0$ $\mu$ -p.p. alors $\int fd\mu=0$ ;
8.

si $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ est mesurable et $\underset{\Omega}{\int}fd\mu<\infty$ alors $f<\infty$ $\mu$ -p.p.
9.

le produit de deux fonctions intégrables est intégrable.

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 2

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille5-matheco_2022-2023correction.pdf

Attention: le 2 est FAUX tel quel et vrai si seulement si $\mu(A),\mu(B)<+\infty$ ou $a, b$ de même signe. (Sinon, les deux termes de l’égalité ne sont pas définis)

□

Exercice 5 Pour tout $n\in\mathbb{N}$ soit $f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ la fonction définie par:

f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}x-n&\mathrm{si}\ x\geq n\\ 0&\mathrm{si}\ x<n\end{matrix}\right.

Montrer que

1.

chaque $f_{n}$ admet une intégrale sur $\mathbb{R}$ pour la mesure de Lebesgue. Est-elle intégrable ?
2.

$f_{n}(x)\searrow 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ ;
3.

$\int f_{n}d\lambda$ ne converge pas vers $\int\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}f_{n}d\lambda$ .

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 8 (Comme on voit que $\int f_{n}d\lambda=+\infty$ la réponse au 1. est que $f_{n}$ n’est pas intégrable.)

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille5-matheco_2022-2023correction.pdf

□

Théorèmes de convergence

Exercice 6

1.

Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}(1-x)% \right)dx=\ln(2)$ .
2.

En déduire la valeur de $\displaystyle\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\ .$

Solution :

(cf. TD)

□

Exercice 7

1.

Pour $x\in\ ]0,+\infty[$ , on pose $f(x)=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}$ . Calculer $f(x)$ .
2.

En déduire que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}\,dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{% +\infty}\frac{1}{n^{2}}$ , et $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{e^{x}-1}\,dx=\displaystyle\sum_{% n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$ .

Solution :

(cf. TD)

□

Exercice 8 Soit $\alpha\in\mathbb{R}$ . Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{\alpha}+\frac{e^{x}}{n}\right)^{-1}dx<+\infty$ .

En fonction de la valeur de $\alpha$ , déterminer, si elle existe, la limite suivante :

\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\left(x^{\alpha}+\frac{e^{x}}{n}\right)^{-1}dx.

Solution :

(cf. TD)

□

Exercice 9 Pour $n\in\mathbb{N}$ , on définit $f_{n}:[0,1]\to[0,+\infty[$ par $f_{n}(x)=(n+1)x^{n}$ .

1.

Déterminer la limite simple de la suite $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ .

Solution :

On a $f_{n}(1)=n+1\to+\infty$ et par croissance comparée $f_{n}(x)=(n+1)x^{n}\to_{n\to\infty}0$ pour $x<1$ .

La limite simple est donc la fonction

$f(x)=\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$0$&si&$0\leq x<1$\\ $+\infty$&si&$x=1$\end{tabular}\right.$

□
2.

Déterminer, si elle existe, la limite de la suite $\displaystyle\left(\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx\right)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Solution :

Déterminons la limite de la suite $\displaystyle\left(\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx\right)_{n\in\mathbb{N}}$ . Par intégration directe, on a $\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=[x^{n+1}]_{0}^{1}=1$ . Donc on voit que cette suite converge vers $1$ . □
3.

Commenter ce résultat.

Solution :

On a $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$ qui est donc différent de la limite. On ne peut pas intervertir la limite et l’intégrale car la suite n’est ni croissante, ni dominée. □

Exercice 10 Pour $n\in\mathbb{N}$ et $x\in\mathbb{R}$ , on pose $f_{n}(x)=\cfrac{(\sin\pi x)^{n}}{1+x^{2}}$ . Montrer que chaque fonction $f_{n}$ est intégrable sur ${\mathbb{R}}$ . Vérifier que la suite $\displaystyle\left(\int_{\mathbb{R}}f_{n}d\lambda\right)_{n\in\mathbb{N}}$ a une limite et déterminer cette limite.

Solution :

(cf. TD)

□

Exercice 11 Pour tout entier $n\geq 1$ et tout réel $x$ , on pose $f_{n}(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$ .

1.

Montrer que pour tout $x>0$ , la série $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x)$ est convergente et calculer sa somme $f(x)$ .

Solution :

On a $e^{-nx}=(e^{-x})^{n}$ qui est le terme général d’une série géométrique (Attention la somme commence à 1, donc

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}=e^{-x}\displaystyle\sum\limits% _{n=0}^{+\infty}e^{-nx}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.$

De même, on a

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}2e^{-2nx}=2e^{-2x}\displaystyle\sum% \limits_{n=0}^{+\infty}e^{-2nx}=\frac{2e^{-2x}}{1-e^{-2x}}.$

Donc la différence des deux séries convergentes converge, et on obtient:

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}-\frac% {2e^{-2x}}{1-e^{-2x}}=\frac{e^{-x}(1+e^{-x})}{1-e^{-2x}}-\frac{2e^{-2x}}{1-e^{% -2x}}=\frac{e^{-x}(1-e^{-x})}{1-e^{-2x}}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}.$

□
2.

Comparer $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}$ et $\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}f_{n}(x)dx}$ . Expliquer.

Solution :

On peut calculer pour $n>0$ :

\int_{0}^{+\infty}f_{n}(x)dx=\left[\frac{e^{-nx}}{-n}+\frac{e^{-2nx}}{n}\right% ]_{0}^{\infty}=0.

Donc bien sûr $\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}f_{n}(x)dx}=0.$ Or par changement de variable $u=e^{-x}$

\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}=\int_{0}^{1}\frac{du}{1+u}=[\ln(1+u)]_% {0}^{1}=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)\neq 0=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{+% \infty}f_{n}(x)dx.

On ne peut donc par intervertir somme et intégrale. En effet, la série n’est pas à terme positif (l’intégrale est nulle ! et la fonction non nulle) et on va voir que la série de fonction intégrable ne converge par dans $L^{1}$ . On a $f_{n}(x)=0$ pour $1=2e^{-nx}$ soit $\ln(2)-nx=0$ ou encore l’unique solution est $x_{0}=\frac{\ln(2)}{n}$ . Donc

	$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\|f_{n}(x)\|dx$	$\displaystyle=\int_{0}^{x_{0}}(2e^{-2nx}-e^{-nx})dx+\int_{x_{0}}^{+\infty}(e^{% -nx}-2e^{-2nx})dx$
		$\displaystyle=\left[\frac{e^{-nx}}{n}-\frac{e^{-2nx}}{n}\right]_{0}^{x_{0}}+% \left[\frac{e^{-nx}}{-n}+\frac{e^{-2nx}}{n}\right]_{x_{0}}^{\infty}$
		$\displaystyle=2\frac{e^{-nx_{0}}}{n}-2\frac{e^{-2nx_{0}}}{n}=2\frac{e^{-\ln(2)% }}{n}-2\frac{e^{-2\ln(2)}}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}.$

Et par une série de Riemann, on a $\displaystyle\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_{n}(x)|dx=+\infty$ donc le théorème d’interversion série-intégrale ne s’applique pas !

□

Exercice 12 Soit $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite décroissante de fonctions positives intégrables sur ${\mathbb{R}}$ convergente vers $0$ presque partout.

1.

Montrer que la série $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}f_{n}$ converge presque partout vers une fonction positive $f$ intégrable sur ${\mathbb{R}}$ .
2.

Montrer que la série $\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\int_{{\mathbb{R}% }}f_{n}d\lambda$ est convergente et que

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\int_{{\mathbb{R}}}f_{n}d% \lambda=\int_{{\mathbb{R}}}\left(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^% {n}f_{n}\right)d\lambda.$

Solution :

(cf. TD)

□

Intégrales à paramètres

Exercice 13 Soient $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction intégrable et $\mu$ une mesure finie sur $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ .

Montrer que leurs transformées de Fourier $\hat{f}$ et $\hat{\mu}$ sont continues sur $\mathbb{R}$ :

\hat{f}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{itx}dt,\ \ \hat{\mu}(x)=\int_{-\infty% }^{\infty}e^{itx}d\mu(t)

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 2

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 14 Soient $f(x)=(\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt)^{2}$ et $g(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}dt$ .

1.

Montrer que $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^{1}$ et calculer $f^{\prime}(x)$ et $g^{\prime}(x)$ .
2.

Montrer que $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , en déduire la valeure de $f(x)+g(x).$
3.

En déduire que $\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 2

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 15

On pose $F(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\cos(tx)dt$ .

1.

Montrer que $F$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ .
2.

Montrer que $F$ est continûment dérivable. Donner une expression de $F^{\prime}(x)$ .
3.

Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a $F^{\prime}(x)+\frac{x}{2}F(x)=0$

En déduire que la fonction $G(x)=e^{\frac{x^{2}}{4}}F(x)$ est constante.
4.

Donner l’expression de $F(x)$ pour $x\in\mathbb{R}$ en utilisant le résultat de l’exercice 1.3
5.

En déduire la transformée de Fourier d’une variable gaussienne standard

$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}/2}e^{itx}dt.$

Solution :

(cf. TD)

ou Correction de 2021-2022 exercice 3

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 16 On pose $F(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-tx}\frac{\sin(t)}{t}dt$ .

1.

Montrer que $F$ est bien définie et continue sur $]0,\infty[$
2.

Montrer que $F$ est continûment dérivable sur $]0,\infty[$ .
3.

Montrer que $F$ est aussi bien définie en $0$ comme intégrale de Riemann semi-convergente: $F(0)=\lim_{K\to\infty}\int_{0}^{K}\frac{\sin(t)}{t}dt$ . (Indication: utiliser une intégration par partie).
4.

Montrer que $F$ est continue en $0$ . (Indication: il faut utiliser une méthode standard pour les intégrales semi-convergentes. On pourra décomposer $F(x)=F_{0}(x)+F_{1}(x)$ pour les intégrales sur $]0,1],]1,+\infty[$ , et utiliser une intégration par partie $v^{\prime}(t)=\sin(t),u(t)=e^{-tx}/t$ sur $F_{1}$ pour obtenir la formule alternative suivante:

F_{0}(x)=\int_{0}^{1}e^{-tx}\frac{\sin(t)}{t}dt,\qquad F_{1}(x)=\int_{1}^{% \infty}e^{-tx}\frac{\sin(t)}{t}dt=e^{-x}\cos(1)+\int_{1}^{\infty}(xt+1)e^{-tx}% \frac{\cos(t)}{t^{2}}dt.)

Solution :

(cf TD. pour les questions 1 et 2)

ou Correction de 2021-2022 exercice 4

https://math.univ-lyon1.fr/parcours_matheco/lib/exe/fetch.php?media=programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2022-2023correction.pdf □

Exercice 17 Pour $x>0$ , on pose $\displaystyle\varphi(x)=\int_{0}^{1}e^{-x/t}\,dt$ .

Montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $]0,+\infty[$ et que $\displaystyle\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{e^{-x}}{x}$ pour $x>0$ .

Solution :

(cf. TD)

□

Exercices supplémentaires

Exercice 18 Calculer $\displaystyle{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{1+x^{n}% }dx}$ , $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx$ et $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{exp% }(-\frac{|x|}{n})dx$ .

Solution :

(cf. TD)

1/ On pose $f_{n}(x)=\frac{e^{x}}{1+x^{n}}$ , on déduit $f_{n}(x)\to e^{x}$ pour $x\in[0,1[$ . On a la domination $|f_{n}(x)|\leq e$ par une constante donc une fonction Lebesgue-intégrable sur $[0,1[$ . On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée en réécrivant l’intégrale comme intégrale de Lebesgue:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{1+x^{n}}dx=\lim% \limits_{n\rightarrow\infty}\int_{[0,1[}\frac{e^{x}}{1+x^{n}}d\lambda(x)=\int_% {[0,1[}e^{x}d\lambda(x)=\int_{0}^{1}e^{x}dx=e-1

2/ On pose $g_{n}(x)=\frac{e^{-nx}}{1+x}$ . Pour $x>0$ , on a $g_{n}(x)=\frac{e^{-nx}}{1+x}\to 0$ . On a la domination $|g_{n}(x)|\leq 1$ par une constante donc une fonction Lebesgue-intégrable sur $]0,1]$ . On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée en réécrivant l’intégrale comme intégrale de Lebesgue:

\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx% =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{]0,1]}\frac{e^{-nx}}{1+x}d\lambda(x)=% \int_{]0,1]}0d\lambda(x)=0.

3/ On pose $h_{n}(x)=\text{exp}(-\frac{|x|}{n})$ . On a la limite simple $h_{n}(x)\to 1_{\{0\}}(x)$ . Or pour $n\geq 1$ , on a la domination $|h_{n}(x)|\leq\text{exp}(-{|x|})=h_{1}(x)$ . Or $h_{1}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ d’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}h_{1}(x)dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=2.$ Donc par le théorème de convergence dominée, on obtient

\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{exp% }(-\frac{|x|}{n})dx=\int_{-\infty}^{+\infty}1_{\{0\}}(x)dx=0.

□

Exercice 19 Calculer $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}dx$ et $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}e^{-2x% }dx$ .

Solution :

1/ On pose $f_{n}(x)=1_{[0,n]}(x)\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}$ on a la limite simple

f_{n}(x)=1_{[0,n]}(x)\exp(n\ln(1-\frac{x}{n}))\to_{n\to\infty}\exp(-x).

Par concavité du log, on a $\ln(1-\frac{x}{n})\leq-\frac{x}{n}$ (borne par la tangente en 1), on obtient donc la domination

|f_{n}(x)|=1_{[0,n]}(x)\exp(n\ln(1-\frac{x}{n}))\leq 1_{[0,n]}(x)\exp(-\frac{x% }{n}n)\leq\exp(-x)=g(x).

Or $g$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ donc par le TCD, on obtient:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}dx=% \lim_{n\to\infty}\int_{[0,+\infty[}f_{n}(x)d\lambda(x)=\int_{[0,+\infty[}e^{-x% }d\lambda(x)=1.

2/ On pose $g_{n}(x)=1_{[0,n]}(x)\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}e^{-2x}$ on a la limite simple

g_{n}(x)=1_{[0,n]}(x)\exp(n\ln(1+\frac{x}{n}))e^{-2x}\to_{n\to\infty}\exp(x)e^% {-2x}=e^{-x}.

Par concavité du log, on a $\ln(1+\frac{x}{n})\leq\frac{x}{n}$ (borne par la tangente en 1), on obtient donc la domination

|g_{n}(x)|=1_{[0,n]}(x)\exp(n\ln(1+\frac{x}{n}))e^{-2x}\leq 1_{[0,n]}(x)\exp(% \frac{x}{n}n)e^{-2x}\leq\exp(x)e^{-2x}=g(x).

Or $g$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ donc par le TCD, on obtient:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}e^{-2x% }dx=\lim_{n\to\infty}\int_{[0,+\infty[}g_{n}(x)d\lambda(x)=\int_{[0,+\infty[}e% ^{-x}d\lambda(x)=1.

□

Exercice 20 Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\,(\sin(x))^{n}\,dx$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{1}^{+\infty}\frac{n\sin\left(\frac{x}{n}% \right)}{x^{3}}\,dx\ .$

Solution :

1/ On pose $f_{n}(x)=e^{-x}\,(\sin(x))^{n}\to_{n\to\infty}0$ pour tout $x\not\in\mathbb{Z}\pi$ . Or $\lambda(\mathbb{Z}\pi)=0$ (car $\mathbb{Z}\pi$ est dénombrable) donc $f_{n}$ converge vers $0$ $\lambda$ -p.p.

De plus, on a la domination $|f_{n}(x)|\leq e^{-x}=g(x)$ par $g$ intégrable sur $[0,+\infty[$ donc par le théorème de convergence dominé, on a :

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\,(\sin(x))^{n}\,dx=% \lim_{n\to+\infty}\int_{[0,+\infty[}e^{-x}\,(\sin(x))^{n}\,d\lambda(x)=\int_{[% 0,+\infty[}0d\lambda(x)=0.

2/On pose, pour $x\geq 1$ , $g_{n}(x)=\frac{n\sin\left(\frac{x}{n}\right)}{x^{3}}\sim_{n\to+\infty}\frac{n% \frac{x}{n}}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}.$

De plus, on rappelle que $|sin(y)|\leq|y|$ (cf. inégalité de convexité du TD 2), donc on obtient la domination:

\left|\frac{n\sin\left(\frac{x}{n}\right)}{x^{3}}\right|\leq\frac{n\frac{x}{n}% }{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}=g(x).

Or, comme intégrale de Riemann ( $\alpha=2>1$ ), on sait que $g$ est intégrable sur ${[1,+\infty[}$ , donc par le théorème de convergence dominé, on a :

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{1}^{+\infty}\frac{n\sin\left(\frac{x}{n}% \right)}{x^{3}}\,dx=\lim_{n\to+\infty}\int_{1}^{+\infty}\frac{n\sin\left(\frac% {x}{n}\right)}{x^{3}}\,d\lambda(x)=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\,d\lambda% (x)=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty}\ =1.

□

Exercice 21 Pour $n\in\mathbb{N}$ , on définit une fonction $f_{n}:[0,1]\to[0,+\infty[$ par $f_{n}(x)=n(1-x)^{n}\sin^{2}(nx)$ .

1.

Déterminer la limite simple de la suite $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ . On notera cette limite simple $f$ .

Solution :

Déterminons la limite simple de la suite $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ . On notera cette limite simple $f$ .

On a $f_{n}(0)=0\to 0$ et pour $x>0$ on a $|f_{n}(x)|\leq n(1-x)^{n}\to_{n\to\infty}0$ par croissance comparée. Donc la limite simple est $0$ .

□
2.

Montrer que pour chaque $n\in\mathbb{N}$ ,

$\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\int_{0}^{n}\left(1-\cfrac{x}{n}\right)^{n}\sin^{2}(x)dx.$

Solution :

Pour chaque $n\in\mathbb{N}$ , on fait le changement de variable $y=nx$ et on obtient

$\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\int_{0}^{n}\left(1-\cfrac{y}{n}\right)^{n}\sin^{2}(y)dy.$

□
3.

Vérifier que pour tout $x\geq 0$ , on a $1-x\leq e^{-x}$ .

Solution :

Comme la fonction $g(x)=e^{-x}$ a pour dérivée seconde elle-même qui est positive, $f$ est convexe. On vérifie que pour tout $x\geq 0$ , on a $1-x\leq e^{-x}$ vu que $y=1-x$ est la tangente à $g$ en $0$ .

□
4.

En déduire que la suite $\displaystyle\left(\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Solution :

En bornant aussi le sinus par $1$ , on en déduit la domination :

$\left|1_{[0,n]}(y)\left(1-\cfrac{y}{n}\right)^{n}\sin^{2}(y)\right|\leq(e^{-y/% n})^{n}=e^{-y}$

et cette fonction est intégrable sur $[0,+\infty[$ , Donc par le théorème la suite

$\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\int_{[0,+\infty[}1_{[0,n]}(y)\left(1-% \cfrac{y}{n}\right)^{n}\sin^{2}(y)d\lambda(y)\to_{n\to\infty}\int_{[0,+\infty[% }e^{-y}\sin^{2}(y)d\lambda(y).$

□
5.

Montrer que

$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx\neq\int_{0}^{1}f(x)dx.$

Solution :

On en déduit que

$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\int_{[0,+\infty[}e^{-y}\sin^{2}(y)d% \lambda(y)\neq\int_{0}^{1}f(x)dx=0.$

Car la fonction positive $e^{-y}\sin^{2}(y)$ ne pourrait être d’intégrale nulle que si elle était nulle presque partout. Or ce n’est pas le cas puisqu’elle s’annule comme le sinus pour $y\in\mathbb{N}\pi$ qui est dénombrable donc de mesure nulle.

□
6.

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx$ .

Solution :

On a déjà calculé $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\int_{0}^{+\infty}e^{-y}% \sin^{2}(y)dy$ .

Si on veut une valeur explicite , on peut utiliser la formule d’Euler:

\int_{0}^{+\infty}e^{-y}\sin^{2}(y)dy=-\int_{0}^{+\infty}e^{-y}\frac{e^{2iy}+e% ^{-2iy}-2}{4}dy=\frac{-1}{4}\left[\frac{e^{-y}e^{2iy}}{2i-1}-\frac{e^{-y}e^{-2% iy}}{2i+1}+2e^{-y}\right]_{0}^{+\infty}=\frac{2}{5}.

□