2 Espaces normés, espaces métriques.

Exercice 1 Norme produit Soient $(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|^{\prime})$ deux espaces vectoriels normés. Montrer que les applications $\|\cdot\|_{1}$ , $\|\cdot\|_{2}$ et $\|\cdot\|_{\infty}$ définies pour $(x,y)$ dans $E\times F$ par

\|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|^{\prime}\quad\text{,}

\|(x,y)\|_{2}=\sqrt{\|x\|^{2}+\|y\|^{\prime 2}}\quad\text{ et }

\|(x,y)\|_{\infty}=\max\{\|x\|,\|y\|^{\prime}\}

sont des normes sur $E\times F$ . On appelle la norme $\|\cdot\|_{\infty}$ norme produit.

Vérifier que ces trois normes sont équivalentes.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 2 Pour tout élément $\displaystyle P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ du $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$ des polynômes, on pose :

n_{1}(P)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|a_{i}|,\ \ n_{\infty}(P)=\max_{i=1...n}{|% a_{i}|}

Comme dans l’exercice 1, on montre que $n_{1},n_{\infty}$ sont des normes.

1. Ces normes sont-elles équivalentes ?

2. Soit $\displaystyle P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(k+1)^{2}}X^{k}$ .

La suite $(P_{n})$ converge-t-elle pour une de ces normes ? Est-elle de Cauchy ?

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 3

Soit $E=\ell^{1}(\mathbb{N})$ l’ensemble des coefficients $P=(a_{k})_{k\geq 0}$ de séries absolument convergentes donc telles que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}|a_{i}|<\infty$ et on note : $||P||_{1}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}|a_{i}|:=\lim_{n\to\infty}% \displaystyle\sum_{i=0}^{n}|a_{i}|.$ On rappelle que c’est une norme sur $E$ .

1.

Soit $i:\mathbb{R}[X]\to E$ défini par $\displaystyle i(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k})=u$ pour $u_{k}=a_{k}$ pour $k\leq n$ et $u_{k}=0$ sinon. Montrer que $||i(P)||_{1}=n_{1}(P)$ (on dit que $i$ est une isométrie (linéaire)).
2.

Soit $P^{(n)}=i(P_{n})\in E$ (pour la suite de polynômes $(P_{n})$ de l’exercie 3).

$(P^{(n)})$ converge t-elle dans $E$ ?

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 4 Soit $(E,||.||)$ un evn. Montrer que tout $(x,y)\in E^{2}$ vérifie :

||x||+||y||\leq||x+y||+||x-y||.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 5 ( $\star$ ) On considère l’espace $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})=\{f\colon[0,1]\to\mathbb{R};\ f\text{ continue% }\}.$

1.

Pour $f\in E$ , on pose $\|f\|_{\infty}=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f(x)|$ . Montrer que $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme sur $E$ .
2.

Pour $f\in E$ et $r>0$ , représenter graphiquement la boule ouverte $B(f,r)$ .
3.

Pour $f\in E$ , on pose $\|f\|_{1}=\int_{0}^{1}|f(x)|dx$ . Justifier que $\|\cdot\|_{1}$ est une norme sur $E$ .
4.

Montrer que les deux normes précédentes ne sont pas équivalentes.

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 8

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Exercice 6 Soit $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$ avec

d_{\overline{\mathbb{R}}}(x,y)=\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$\min(1,|x-y|)$&si% &$x,y\in\mathbb{R}$\\ $0$&si&$x=y\in\{-\infty,+\infty\}$\\ $1$&sinon\end{tabular}\right.

1.

Montrer que $d_{\overline{\mathbb{R}}}$ est une distance.
2.

Montrer que $d_{\overline{\mathbb{R}}}$ et la distance usuelle définie par $d_{\mathbb{R}}(x,y)=|x-y|$ ne sont pas équivalentes sur $\mathbb{R}$ .
3.

Montrer que les intervalles $]a,b[$ avec $a<b$ sont ouverts pour cette distance.
4.

Montrer que $U\subset\mathbb{R}$ est ouvert pour la norme usuelle si et seulement si il est ouvert pour $d_{\overline{\mathbb{R}}}$

Solution :

(cf. TD) □

Ouverts, fermés.

Exercice 7

On considère le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^{2}$ muni de la norme $||.||_{2}$ . Montrer que :

1.

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x>0,y>0\}$ est un ensemble ouvert.
2.

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x\geq 0,y\geq 0\}$ est un ensemble fermé.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 8

1.

Donner un exemple d’une intersection d’ouverts qui n’est pas un ouvert.
2.

Donner un exemple d’une union de fermés qui n’est pas un fermé.

Solution :

1.

Donnons un exemple d’une intersection d’ouverts qui n’est pas un ouvert.

Correction : Les ouverts $]-1/n,1/n[=B(0,1/n)$ ont pour intersection $\displaystyle\bigcap_{n\geq 1}]-1/n,1/n[=\{0\}$ qui est un fermé non vide du connexe $\mathbb{R}\neq\{0\}$ donc n’est pas ouvert.
2.

Donnons un exemple d’une union de fermés qui n’est pas un fermé.

Correction :

$\displaystyle]0,1[=\displaystyle\bigcup_{x\in]0,1[}\{x\}$ est une union de singleton (boules fermés de rayons 0) donc de fermés, mais $]0,1[$ est un ouvert non-vide du connexe $\mathbb{R}\neq]0,1[$ donc $]0,1[$ est n’est pas fermé.

□

Exercice 9 ( $\star$ ) Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}:f\mbox{ continue}\}$ .

1.

Soit $A=\{f\in E:\forall x\in[0,1],f(x)>0\}$ . Montrer que $A$ est ouvert dans $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ et que $A$ n’est pas ouvert dans $(E,\|\cdot\|_{1})$ .
2.

Soit $B=\{f\in E:\exists x\in[0,1],f(x)=0\}$ . Montrer que $B$ est fermé dans $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ .

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 12

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□

Exercice 10

On considère le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^{2}$ (ou $\mathbb{R}^{3}$ ) muni de la norme $||.||_{2}$ . Parmi les ensembles suivants, lesquels sont ouverts, lesquels sont fermés ? Calculer les intérieurs, adhérences, frontières.

1.

$A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x>0,y\geq 0\}$ .
2.

$B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x+y>0\}$ .
3.

$C=[0,1]\times]1,2[$ ,

Solution :

(cf TD.) □

Exercice 11

1.

Calculer l’adhérence et l’intérieure de $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ .

Solution :

Montrons que $\overline{A}=[0,1]$ . En effet, pour $x\in]0,1[$ on prend $x_{n}=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ . Or la partie entière vérifie $nx\leq\lfloor nx\rfloor<nx+1$ , donc $x\leq x_{n}<x+1/n$ donc par le théorème des gendarmes $x_{n}\to x$ . Or $x_{n}\in\mathbb{Q}$ pour tout $n$ et pour n assez grand, $x_{n}\in]0,1[$ , donc $x_{n}\in A$ . Par caractérisation séquentielle de l’adhérence, on déduit $x\in\overline{A}$ . Donc $\overline{A}\supset A\cup]0,1[=[0,1].$ De plus $[0,1]$ fermé, et contient $A$ donc comme $\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ , on a $\overline{A}\subset[0,1]$ . En bilan, $\overline{A}=[0,1]$ .

Montrons que $\overline{A^{c}}=\mathbb{R}$ donc $Int(A)=\emptyset$ . Il suffit de voir $A\subset\overline{A^{c}}$ . IL suffit d’utiliser que $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ donc aussi $A^{c}$ qui le contient.

Remontrons le. Pour $x\in A,$ on a $x+\frac{\sqrt{2}}{n}\not\in\mathbb{Q}$ (car $\sqrt{2}$ est irrationnel, on peut aussi le remplacer par n’importe quel irrationnel, par exemple $\pi$ ). On a $x+\frac{\sqrt{2}}{n}\to x$ donc par caractérisation séquentielle de l’adhérence, on déduit $x\in\overline{A^{c}}$ . □
2.

Donner un exemple de partie $A$ de $\mathbb{R}$ tel que les 7 ensembles :

$A,\overline{A},\mathrm{Int}(A),\mathrm{Int}(\overline{A}),\overline{\mathrm{% Int}(A)},\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(A)}),\overline{\mathrm{Int}(% \overline{A})}$

soient tous distincts

Solution :

Correction : On prend $A=]-1,0[\cup]0,1[\cup(\mathbb{Q}\cap]3,4[)\cup\{2\}$ . On l’a construit en prenant 3 zone, une zone dense d’intérieur vide grâce à l’intersection avec, une valeur isolé du complémentaire $\{0\}$ qui va aussi être ajouté de l’adhérence, une valeur isolé $\{2\}$ qui va disparaître de l’intérieur tout en restant identique dans l’adhérence. ON va voir que ses 3 comportements différents suffisent à avoir les 7 ensembles distincts.

Montrons $\overline{A}=[-1,1]\cup[3,4]\cup\{2\}=A\cup\{-1,0,1\}\cup[3,4].$ C’est clairement un fermé (union finie de boules fermées) qui contient $A$ (d’où $\subset$ ). De plus, $A$ contient $-1+1/n\ to-1\in\overline{A}$ , $1/n\to 0\in\overline{A}$ et $1-1/n\to 1\in\overline{A}$ , $3+1/n\to 3\in\overline{A}$ , $4-1/n\to 4\in\overline{A}$ . De même soit $\lambda\in]3,4[$ , on a $\lambda_{n}\in\mathbb{Q}$ tendant vers $\lambda$ (par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ ) d’où comme $]3,4[$ ouvert, $\lambda_{n}\in]3,4[\cap\mathbb{Q}\subset A$ pour $n$ assez grand.

Montrons $Int(A)=]-1,0[\cup]0,1[$ . c’est un ouvert (union de boules ouvertes) contenue dans $A$ donc il suffit de voir $Int(A)\subset]-1,0[\cup]0,1[\Longleftrightarrow\overline{A^{c}}\supset]-\infty% ,-1]\cup\{0\}\cup[1,\infty[=A^{c}\cup\{2\}\cup(\mathbb{Q}\cap]3,4[)$ Or $A^{c}$ contient $2+1/n\to 2\in\overline{A^{c}}$ et si $p\in]3q,4q[$ $p,q\in\mathbb{N}$ $p/q+\sqrt{2}/n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\cap]3,\infty[\subset A^{c}$ et donc $p/q+\sqrt{2}/n\to p/q\in\overline{A^{c}}$ .

On a de même, $\overline{Int(A)}=[-1,1]$ , $Int(\overline{A})=]-1,1[\cup]3,4[$ , $Int(\overline{Int(A)})=]-1,1[$ , $\overline{Int(\overline{A})}=[-1,1]\cup[3,4]$ .

Tous les ensembles voulus sont différents. (pour expliquer, on a utiliser les $\mathbb{Q}$ pour que tous les ensembles commençant par un intérieur ne contienne par $]3,4[$ et ceux commençant par un adhérence le contienne. On a utiliser $\{2\}$ (resp $\{0\}$ ) dans $A$ (resp. $A^{c}$ ) pour différencier $\overline{A}$ et quelqu’un passé par un intérieur $\overline{Int(\overline{A})}$ (resp $Int(A)$ et quelqu’un passé par une adhérence $Int(\overline{Int(A)})=]-1,1[$ ) □
3.

Que dire du rapport de $\mathrm{Int}(\overline{A})$ , et $\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(\overline{A})})$ ? De même, que dire du rapport de $\overline{\mathrm{Int}(A)}$ et $\overline{\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(A)})}$ ?

Solution :

Montrons que $\mathrm{Int}(\overline{A})=\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(\overline{A})})$ . (l’autre égalité $\overline{\mathrm{Int}(A)}=\overline{\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(A)})}$ se montre en prenant $A=B^{c}$ et en appliquant la première à $B$ )

Par les résultats généraux $\mathrm{Int}(\overline{A})\subset\overline{\mathrm{Int}(\overline{A})}$ donc c’est un ouvert contenu dans $\overline{\mathrm{Int}(\overline{A})}$ donc $\mathrm{Int}(\overline{A})\subset\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(\overline% {A})})$ .

Il s’agit de vérifier l’inclusion réciproque. Or $\mathrm{Int}(\overline{A})\subset\overline{A}$ donc en prenant l’adhérence $(\overline{\mathrm{Int}(\overline{A})}\subset\overline{\overline{A}}=\overline% {A}$ . Enfin en prenant l’intérieur : $\mathrm{Int}(\overline{\mathrm{Int}(\overline{A})})\subset\mathrm{Int}(% \overline{A})$ . □

Exercice 12

Soient $(E,||.||)$ un espace vectoriel normé, $A$ et $B$ deux parties non vides de $E$ . On suppose que $A$ est ouvert. Montrer que $A\cap\overline{B}\subset\overline{A\cap B}$ et que cette inclusion peut ne pas être vrai si $A$ n’est pas ouvert.

Solution :

Soit $x\in A\cap\overline{B}$ , par caractérisation séquentielle $x_{n}\in B$ avec $x_{n}\to x$ . Or $A$ ouvert, donc $B(x,\epsilon)\subset A$ pour un certain $\epsilon>0$ . et pour $n$ assez grand, $x_{n}\in B(x,\epsilon)$ donc $x\in A\cap{B}$ . Encore par caractérisation séquentielle, on en déduit que $x\in\overline{A\cap B}$ .

Par exemple, $A=\{1\},B=]0,1[,\overline{B}=[0,1]$ donc $A\cap\overline{B}=\{1\}$ mais $A\cap B=\emptyset=\overline{A\cap B}$ □

Exercice 13

Soient $(E,||.||)$ un espace vectoriel normé, $A$ et $B$ deux parties denses dans $E$ . On suppose que $A$ est ouvert. Montrer que $A\cap B$ est dense dans $E$ .

Solution :

On a $\overline{B}=E$ . On utilise l’exo précédent: $A=A\cap\overline{B}\subset\overline{A\cap B}$

donc en passant à l’adhérence: $E=\overline{A}\subset\overline{A\cap B}\subset E$ d’où égalité. □

Exercice 14

Montrer que dans un espace vectoriel normé, un sous espace vectoriel propre n’est jamais ouvert.

Solution :

Un sev $F\subset E$ contient $0$ , si $F$ est ouvert, alors $B(x,r)\subset F$ pour $r>0$ . mais pour tout $x\neq 0$ $y=\frac{xr}{2||x||}\in B(x,r)\subset F$ donc par stabilité des e.v. par multiplication par un scalaire, on a :

$x=\frac{2||x||y}{x}\in F$ donc $E=F$ . Par contraposée, si $F\neq E$ , alors $F$ n’est pas ouvert. □

Continuité uniforme

Exercice 15 Montrer que la fonction $x\mapsto x^{2}$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$ .

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 16 Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 17 Montrer que la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$ mais pas lipschitzienne.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 18 Soit $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction dérivable, et telle qu’il existe $M$ satisfaisant $|f^{\prime}(x)|\leq M$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Solution :

(cf. TD) □

Exercice 19 Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, $X$ une partie de $E$ et $f,g\colon X\to\mathbb{R}$ deux fonctions continues. Montrer que la somme $f+g$ et le produit $f g$ sont également des fonctions continues.

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 21

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Cela montre que somme et produit sont continues, et en composant avec $(f,g)$ on obtient la continuité de la somme $f+g$ et du produit $f g$ . □

Exercice 20 Montrer que la composée de deux fonctions uniformément continues est uniformément continue.

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 23

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Exercice 21 Montrer qu’une limite uniforme de fonctions uniformément continues est uniformément continue.

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 25

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Exercice 22 Soit $(X,d)$ un espace métrique. On désigne par $E$ l’espace vectoriel formé par toutes les fonctions $f\colon X\to\mathbb{R}$ qui sont bornées, c’est-à-dire qu’il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que $|f(x)|\leq M$ pour tout $x\in X$ .

Pour $f\in E$ , on pose

\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\ .

1.

Vérifier que $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme sur $E$ .
2.

Montrer que pour toute suite $(f_{n})$ d’éléments de $E$ et $f\in E$ , on a l’équivalence

$\left((f_{n})\text{ converge uniformément vers }f\right)\Leftrightarrow\|f_{n}% -f\|_{\infty}\to 0\ .$
3.

Montrer que les fonctions continues appartenant à $E$ forment un fermé de $E$ . Que dire des fonctions uniformément continues appartenant à $E$ ?

Solution :

Correction de 2021-2022 exercice 26

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Exercice 23 Soit $(X,d)$ un espace métrique. Soit $A$ une partie non-vide et $d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}.$

1.

Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in\overline{A}$ .

Solution :

Si $d(x,A)=0$ , par définition de l’inf, il existe $a_{n}\in A$ $d(x,a_{n})\leq 1/n$ , c’est à dire $a_{n}\to x$ , donc $x\in\overline{A}$ .

Réciproquement on a vu en cours que si $x\in\overline{A}$ il existe une suite vérifiant la même propriété, et ceci montre $d(x,A)=0.$ □
2.

Montrer que $x\mapsto d(x,A)$ est 1-lipshitzienne.

Solution :

(cf TD 2 ex 5.2) □
3.

Est-elle uniformément continue ?

Solution :

(Oui par 2 et le cours) □

Exercice 24 Soit $E$ l’espace vectoriel normé $(\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{1})$ . On considère l’application $\mu:E\to E$ définie par

\mu(f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\text{ pour }f\in E\text{ et }x\in[0,1].

1.

Montrer que $\mu$ est bien définie et que $\mu$ est une application linéaire continue.
2.

On considère la suite de fonctions $(f_{n})_{n\geq 1}$ définie par

$f_{n}(t)=n(1-t)^{n-1}\text{ pour }n\geq 1\text{ et }t\in[0,1].$

Pour chaque $n\geq 1$ , calculer $\|f_{n}\|_{1}$ et $\|\mu(f_{n})\|_{1}$ .
3.

En déduire la norme de $\mu$ .

Exercices supplémentaires.

Exercice 25

1.

$D=\mathbb{Q}^{2}\cap([0,1]\times]1,2[)$ ,
2.

$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ xy<1\}$ ,
3.

$F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1,x\neq 0\}$ ,
4.

$G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x=1/n,y=1/m,n>0,m>0\}$ ,
5.

$H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\ x+y+z\geq 0\}$ ,
6.

$I=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\ x>0,y\geq 0,z\in]1,2[\cup\{-1/n,\ n\in\mathbb% {N}\}\}$ ,
7.

$J=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{Q}\ :\ x>0,y\geq 0\}$ ,

Solution :

1.

$D=\mathbb{Q}^{2}\cap([0,1]\times]1,2[)$ n’est ni ouvert ni fermé. Mq $\overline{D}=D_{2}:=[0,1]\times[1,2]$ .

D’abord $D_{2}=\overline{B_{||.||_{\infty}}((1/2,3/2),1/2)}$ est une boule fermée donc un fermé contenant $D$ donc $\overline{D}\subset D_{2}$ .

Soit $D_{1}=\mathbb{Q}^{2}\cap(]0,1[\times]1,2[)$ est l’intersection d’un ensemble dense et de l’ouvert $]0,1[\times]1,2[=B_{||.||_{\infty}}((1/2,3/2),1/2)$ . Par l’exercice 12, on a $]0,1[\times]1,2[=\overline{\mathbb{Q}^{2}}\cap(]0,1[\times]1,2[)\subset% \overline{D_{1}}$ .

Il reste donc à voir que la frontière $\{0,1\}\times[1,2]\cup[0,1]\times\{1,2\}\subset\overline{D}$ comme à l’exo 10.3 $D\ni(x,1+\frac{1}{n})\to(x,1),D\ni(x,2-\frac{1}{n})\to(x,2)$ pour $x\in[0,1]$ donc par caractérisation séquentielle $[0,1]\times\{1,2\}\subset\overline{D}$ .

$D\ni(1-\frac{1}{n},y)\to(1,y),D\ni(\frac{1}{n},y)\to(0,y)$ pour $y\in]1,2]$ donc par caractérisation séquentielle $\{0,1\}\times]1,2[\subset\overline{D}$ . On a donc

$\{0,1\}\times[1,2]\cup[0,1]\times\{1,2\}=\{0,1\}\times]1,2[\cup[0,1]\times\{1,% 2\}\subset\overline{D}.$

En bilan, on a bien $D_{2}\subset\overline{D}$ et donc $D_{2}=\overline{D}$ .

$Int(D)=\emptyset$ car $D^{c}$ est dense dans $\mathbb{R}^{2}$ car il contient $(\sqrt{2}+\mathbb{Q})^{2}$ qui est dense. La frontière est $\overline{D}-Int(D)=[0,1]\times[1,2]$ .
2.

$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ xy<1\}=f^{-1}(]-\infty,1[)$ est ouvert car $f:(x,y)\to xy$ est continue comme polynôme et car $]-\infty,1[$ est ouvert. De même, $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ xy\leq 1\}=f^{-1}(]-\infty,1])$ est un fermé qui contient $E$ , donc aussi le plus petit fermé $\overline{E}$ qui contient $E$ : $\overline{E}\subset\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ xy\leq 1\}$

Réciproquement $w_{n}=(x,(1-1/n)1/x)\in E$ et $w_{n}\to(x,1/x)$ ( $x\neq 0)$ donc $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ xy\leq 1\}=E\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ xy=1% \}\subset\overline{E}$ d’où égalité. $Fr(E)$ est donc l’hyperbole d’équation $xy=1$ .
3.

$F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1,x\neq 0\}$ (la boule unité pour la norme $2$ privée de l’axe des ordonnés) n’est pas fermé car soit $x\in[-1,1]$ $u_{n}=(1/n,x(1-1/n))\in F$ (car $(1/n)^{2}+(x-x/n)^{2}\leq(1-1/n)^{2}+(1/n)^{2}=1+2/n^{2}-2/n\leq 1$ vu $n^{2}\geq n$ pour $n$ entier) et $u_{n}\to(0,x)\not\in F$ . On n’a donc de plus $\{0\}\times[-1,1]\subset\overline{F}$ . Or $F\cup\{0\}\times[-1,1]=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}=B_{F,2% }(0,1)$ est un fermé contenant $F$ donc contenant $\overline{F}$ . C’est donc $\overline{F}=B_{F,2}(0,1)$ vu l’autre inclusion juste montrée.

Par ailleurs $F$ n’est pas ouvert car pour tout $x, y$ tel que $x\neq 0$ et $x^{2}+y^{2}=1$ , $u_{n}=(x(1+/n),y(1+/n))\not\in F$ (car $(x(1+/n))^{2}+(y(1+/n))^{2}=(1+/n)^{2}>1$ ) mais $u_{n}\to(x,y)\in F$ . Ainsi $(x,y)\in\overline{F^{c}}\cap F$ donc $F^{c}$ n’est pas fermé et $F$ n’est pas ouvert. De plus $F-\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1,x\neq 0\}=B_{2}(0,1)\cap\{(x,y),x\neq 0\}$ est l’intersection de deux ouverts donc est ouvert et est contenu dans $F$ donc est contenu dans l’intérieur de $F$ . Or On vient de voir que $\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1,x\neq 0\}$ n’est pas dans l’intérieur de $F$ d’où $Int(F)=F-\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1,x\neq 0\}.$

Enfin, On peut déduire $Fr(F)=\overline{F}-Int(F)=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}\cup\{(x,y):x=0\}.$
4.

$G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ :\ x=1/n,y=1/m,n\in\mathbb{N},m\in\mathbb{N}\}$ , $Int(G)=\emptyset$ car $G^{c}\supset(\mathbb{Q}^{2})^{c}\ni(1/n+\sqrt{2}/p,1/m)\to_{p\to\infty}(1/n,1/m)$ donc $G^{c}$ est dense dans $\mathbb{R}^{2}$ .

Montrons que $\overline{G}=(\{0\}\cup\{(1/n)n\in\mathbb{N}\})^{2}$ En effet, $T:=\{0\}\cup\{(1/n)n\in\mathbb{N}\}$ est fermé dans $\mathbb{R}$ (même compact par le TD 2 exo 5) car son complémentaire est $]-\infty,0[\cup]1,\infty[\cup\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}]1/(n+1)% ,1/n[$ est ouvert comme union d’ouverts. Donc $T^{2}$ est fermé dans $\mathbb{R}^{2}$ ¹¹ 1 En effet, on rappelle la preuve du cours: soit $(u_{n},v_{n})\in T^{2}$ quelconque tendant vers $(u,v)$ , vu $T$ fermé, on a donc $u_{n}\to u\in T$ , $v_{n}\to v\in T$ , donc $(u,v)\in T^{2}$ c’est à dire $T^{2}$ fermé par caractérisation séquentielle.

On a donc $T^{2}$ est un fermé contenant $G$ on a donc montré $\overline{G}\subset T^{2}$ . Pour l’inclusion inverse, il suffit de remarquer, par caractérisation séquentielle de l’adhérence, que les suites suivantes de $G$ converge vers les éléments de $T^{2}$ non dans $G$ : $(1/n,1/m)\to_{n\to\infty}(0,1/m),m\in\mathbb{N},(1/n,1/m)\to_{m\to\infty}(1/n,% 0),n\in\mathbb{N},(1/n,1/n)\to(0,0).$
5.

$H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\ x+y+z\geq 0\}$ est fermé car $f(x,y,z)=x+y+z$ est continue car linéaire et $H=f^{-1}([0,+\infty[).$ On montre comme pour $B$ , $Int(H)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\ x+y+z>0\}.$
6.

$I=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\ x>0,y\geq 0,z\in]1,2[\cup\{-1/n,\ n\in\mathbb% {N}\}\}$ , n’est pas fermé car pour $y_{0}\geq 0,z_{0}\in[1,2]\cup\{-1/n,\ n\in\mathbb{N}\}\}$ $u_{m}=(1/m,y_{0},1_{R_{+}}(z)(z_{0}-3/2)(1-1/m)+3/2+1_{R_{-}}(z_{0})z_{0})\in I$ et $u_{m}\to(0,y_{0},z_{0})\not\in I$ . On obtient de plus par caractérisation séquentielle que $\{0\}\times\mathbb{R}_{+}\times[1,2]\cup\{-1/n,\ n\in\mathbb{N}\}\subset% \overline{I}$ .

De même, pour $x_{0}\geq 0,y_{0}\geq 0$ $(x_{0}+1/n,y_{0},1+1/n),(x_{0}+1/n,y_{0},2-1/n),(x_{0}+1/n,y_{0},-1/n)$ sont dans $I$ et tendent respectivement vers $(x_{0},y_{0},1),(x_{0},y_{0},2),(x_{0},y_{0},0)$ qui ne sont pas dans $I$ . En bilan on a donc obtenu $Z:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ :\ x\geq 0,y\geq 0,z\in[1,2]\cup\{0\}\cup\{-1/n% ,\ n\in\mathbb{N}\}\}\subset\overline{I}$ . En fait on a égalité, car $Z=p_{x}^{-1}([0,\infty[)\cap p_{y}^{-1}([0,\infty[)\cap p_{z}^{-1}([1,2]\cup\{% 0\}\cup\{-1/n,\ n\in\mathbb{N}\})$ est fermé comme intersection de trois fermé,, chacun fermé comme image inverse par des applications continues (les projections $p_{x},p_{y},p_{z}$ de fermés ( $([1,2]\cup\{0\}\cup\{-1/n,\ n\in\mathbb{N}\})^{c}=]2,+\infty[\cup]0,1[\cup% \displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}]-1/n,-1/(n+1)[\cup]-\infty,-1[$ est ouvert comme union d’ouverts).
7.

$J=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{Q}\ :\ x>0,y\geq 0\}$ n’est ni ouvert ni fermé. Son adhérence est $\overline{J}=\mathbb{R}_{+}^{2}\times\mathbb{R}$ (qui est un fermé contenant $J$ tel que pour tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}_{+}^{2}\times\mathbb{R}$ on trouve une suite de rationnel $z_{n}\to z$ par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ et on obtient $(x+1/n,y,z_{n})\in J$ qui tend vers $(x,y,z)$ )

$Int(J)=\emptyset$ car pour $(x,y,z)\in J$ , $(x,y,z+\sqrt{2}/n)\not\in J$ (car $\sqrt{2}$ non rationnel) et tend vers $(x,y,z)$ donc $J^{c}$ est dense dans $\mathbb{R}^{3}$ .

□

Exercice 26 Soit $E$ un espace vectoriel et soient $||.||_{1}$ et $||.||_{2}$ deux normes sur $E$ . On note $B_{i}(a,r)$ (resp. $B_{Fi}(a,r)$ ) la boule ouverte (resp. fermée) pour la norme $||.||_{i}$ .

1.

Montrer que : $B_{F1}(0,1)=B_{F2}(0,1)\Longleftrightarrow(\forall x\in E,\ ||x||_{1}=||x||_{2})$

Solution :

$\Leftarrow$ est évidente, mêmes normes implique mêmes boules.

$\Rightarrow$ Si $x=0$ l’égalité est évidente puisque le vecteur nul a toujours norme $0$ . Si $x\neq 0$ , par séparation $||x||_{1}\neq 0$ et $\frac{x}{||x||_{1}}\in B_{F1}(0,1)=B_{F2}(0,1)$ , donc

$\left\|\frac{x}{||x||_{1}}\right\|_{2}=\frac{||x||_{2}}{||x||_{1}}\leq 1$

donc $||x||_{2}\leq||x||_{1}$ et par symmétrie $||x||_{1}\leq||x||_{2}$ d’où égalité. □
2.

Montrer que : $B_{1}(0,1)=B_{2}(0,1)\Longleftrightarrow(\forall x\in E,\ ||x||_{1}=||x||_{2})$

Solution :

$\Leftarrow$ est évidente, mêmes normes implique mêmes boules.

$\Rightarrow$ en passant à l’adhérence par l’exercice 28, on obtient l’hypothèse du $1$ . □

Exercice 27

Soit $X:=\{(-1)^{n}+\frac{1}{n}\ :\ n\in\mathbb{N}^{*}\}$ . L’ensemble $X$ est-il un ouvert de $\mathbb{R}$ ? Déterminer $\overline{X}$ .

Exercice 28

Soient $(E,||.||)$ un espace vectoriel normé, $r>0$ un nombre réel et $a\in E$ . On suppose que $A$ est ouvert. Montrer que l’adhérence de la boule ouverte $B(a,r)$ est la boule fermée $B_{F}(a,r)$ et l’intérieur de la boule fermée $B_{F}(a,r)$ est la boule ouverte $B(a,r)$ .