7 Espaces vectoriels munis d’un produit scalaire; espaces de Hilbert.

Exercice 1 Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel muni d’un produit scalaire (réel). Montrer que, si $(a_{i})_{i\in I}$ est une famille orthogonale de vecteurs de $E$ on a pour tout $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{R}$ et tout $\{i_{1},\ldots,i_{n}\}\subset I$ (donc tels que $i_{j}\neq i_{k}$ si $k\neq j$ )

\left\|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{i_{k}}\right\|^{2}=% \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}^{2}\|a_{i_{k}}\|^{2}\ .

Remarquer que le théorème de Pythagore est un cas particulier de l’égalité ci-dessus. Qu’est-ce qui change si $E$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien ?

Exercice 2 Une Identité du parallélogramme généralisée

Soit $H$ un espace préhilbertien de norme $||\cdot||.$

1.

Montrer que pour $t\in]0,1[$ , on a pour $x_{1},x_{2}\in H$ :

$||tx_{1}+(1-t)x_{2}||^{2}+t(1-t)||x_{1}-x_{2}||^{2}=t||x_{1}||^{2}+(1-t)||x_{2% }||^{2}.$
2.

En déduire que $x\mapsto||x||^{2}$ est strictement convexe.

Exercice 3 Soit $H=\mathbb{R}^{2}$ . On pose $K=[0,1]^{2}$ et $C=[0,+\infty[^{2}$

1.

Montrer que $C, K$ sont des convexes fermés. Sont-ils compacts ?
2.

Pour $x=(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}$ . Montrer que la projection sur $K$ est donnée par la formule

$P_{K}(x)=(min(x_{1},1)1_{]0,+\infty[}(x_{1}),min(x_{2},1)1_{]0,+\infty[}(x_{2}% )).$
3.

Rappeler la relation entre $P_{K}$ et cône normal (vu au chapitre sur la convexité) et en déduire $N_{K}((1,1)).$
4.

Pour $x\in\mathbb{R}^{2}$ . Calculer $P_{C}(x)$ (Indication: on pourra deviner une formule et utiliser la propriété caractéristique de $P_{C}$ , une généralisation est à l’exercice 12).

Exercice 4 On se place dans l’espace $L^{2}([0,1],\lambda;\mathbb{R})$ muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ . On considère la famille $(u_{k})_{k\geq 1}$ définie par $u_{k}(x)=\sin(2k\pi x)$ pour tout $x\in[0,1]$ et tout $k\geq 1$ . Montrer que c’est une famille orthogonale. Est-ce une base hilbertienne?

Exercice 5 Vérifier que les vecteurs $e_{1}=(1,1,1)$ , $e_{2}=(1,1,-1)$ et $e_{3}=(0,1,1)$ forment une base de $\mathbb{R}^{3}$ . Utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur cette base pour obtenir une base orthonormale.

Exercice 6 On désigne par $\mathcal{C}([-1,1])$ l’espace vectoriel des fonctions réelles et continues sur $[-1,1]$ . En tant que sous-espace de l’espace de Hilbert $L^{2}([-1,1],\lambda;\mathbb{R})$ , $\mathcal{C}([-1,1])$ est un espace préhilbertien muni du produit scalaire

\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}fgd\lambda.

1.

Montrer que $\mathcal{C}([-1,1])$ est séparable. (Indication: on pourra utiliser le théorème d’approximation de Weierstrass.)
2.

On se propose de montrer que $\mathcal{C}([-1,1])$ n’est pas complet, donc, n’est pas un espace de Hilbert.

Pour chaque entier $n>0$ on pose

$\phi_{n}(t)=\left\{\begin{matrix}-1&\mathrm{si}\ -1\leq t\leq-1/n\\ nt&\mathrm{si}\ -1/n\leq t\leq 1/n\\ 1&\mathrm{si}\ 1/n\leq t\leq 1.\end{matrix}\right.$
1. (a)
  
  Montrer que $(\phi_{n})$ est une suite de Cauchy dans $\mathcal{C}([-1,1])$ .
2. (b)
  
  Soit
  
  $\psi(t)=\left\{\begin{matrix}-1&\mathrm{si}\ -1\leq t<0\\ 1&\mathrm{si}\ 0\leq t\leq 1.\end{matrix}\right.$
  
  Montrer que $\parallel\psi-f\parallel_{2}>0$ pour toute fonction $f\in\mathcal{C}([-1,1])$ .(La norme $\|\cdot\|_{2}$ de $L^{2}([-1,1],\lambda;\mathbb{R})$ est défini par $\parallel x\parallel^{2}_{2}=<x,x>$ .)
3. (c)
  
  En utilisant l’inégalité de Minkowski montrer que la suite $(\phi_{n})$ ne converge pas dans $\mathcal{C}([-1,1])$ .
4. (d)
  
  Conclure.
3.

Est-ce que $\mathcal{C}([-1,1])$ fermé dans $L^{2}([-1,1],\lambda;\mathbb{R})$ ?

Exercice 7 Soient $H$ un espace de Hilbert (complexe) et $T\in L(H,H)$ une application linéaire continue.

1.

Soit $x\in H$ , montrer (en utilisant le théorème de Riesz) qu’il existe un unique $z\in H$ , tel que pour tout $y\in H$ :

$\langle z,y\rangle=\langle x,Ty\rangle.$
2.

En utilisant le même théorème, montrer que la norme subordonnée est donnée par:

$|||T|||=\sup_{||y||\leq 1}\sup_{||x||\leq 1}|\langle x,Ty\rangle|.$
3.

Montrer qu’il existe une unique application linéaire: $T^{*}:H\to H$ (appelée adjoint de $T$ ) telle que:

$\forall x,y\in H:\langle x,Ty\rangle=\langle T^{*}x,y\rangle.$
4.

Montrer que $T^{*}\in L(H,H)$ et que la norme subordonnée de l’adjoint est la même :

$|||T^{*}|||=|||T|||.$
5.

Montrer que $(T^{*})^{*}=T$ .
6.

Si $H=\mathbb{C}^{n}$ et $(e_{i})_{i=1,...,n}$ la base orthonormale canonique, exprimer la matrice de $T^{*}$ dans la base canonique en fonction de la matrice $A=(a_{i,j})$ de $T$ .

Exercice 8 Polynômes de Legendre On se place dans l’espace de Hilbert

H=(L^{2}([-1,1],\lambda;\mathbb{R}),\|\cdot\|_{2}).

1.

En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, montrer qu’il existe une famille orthonormale de polynômes $(p_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ , telle que pour chaque $n\in\mathbb{N}$ , la fonction $p_{n}$ est une fonction polynomiale de degré $n$ .
2.

En utilisant le théorème d’approximation de Weierstrass, montrer que la famille de polynômes de la question précédente $(p_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une base hilbertienne de $H$ .
3.
Pour $n\in\mathbb{N}$ , on considère la fonction polynomiale $l_{n}$ définie par

$l_{n}(t)=\cfrac{1}{2^{n}n!}\ \cfrac{d^{n}}{dt^{n}}(t^{2}-1)^{n}$

pour $t\in[-1,1]$ (polynômes de Legendre).
1. (a)
  
  Déterminer le degré de $l_{n}$ pour chaque $n$ .
2. (b)
  
  Montrer que la famille $(l_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une famille orthogonale (Indication: calculer par intégration par partie $\langle l_{n},P\rangle$ avec $P$ polynôme de $deg(P)<n$ ).
3. (c)
  
  En déduire que pour chaque $n$ , on a $p_{n}=\cfrac{l_{n}}{\|l_{n}\|_{2}}$ .

Exercice 9 Soient $H$ un espace de Hilbert (complexe) et $u\in L(H,H)$ une application linéaire continue. Montrer l’équivalence entre

1.

$u$ est une isométrie, c’est à dire $||u(x)||_{2}=||x||_{2}$ pour tout $x\in H.$
2.

Pour tout $x,y\in H$ , $\langle ux,uy\rangle=\langle x,y\rangle$
3.

$u^{*}u=Id$ ( $u^{*}$ est l’adjoint de l’exercice 7)

(Indication :penser à l’identité de polarisation).

Exercice 10 Soit $H=L^{2}([-\pi,\pi],\frac{1}{2\pi}\lambda;\mathbb{C})$ . Soit $e_{n}(x)=exp(inx)$ . On rappelle que $(e_{n})_{n\in\mathbb{Z}}$ est une base orthonormale de $H$ . Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x$ .

1.

Calculer les nombres $c_{n}(f)=\langle e_{n},f\rangle$ (ce sont les coefficients de Fourier complexes de la fonction $f$ )
2.

En déduire une formule pour $f$ en terme des $(c_{n}(f))$ .
3.

En utilisant l’égalité de Parseval, en déduire que:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\ .$

Exercices plus difficiles

Exercice 11 Une autre Identité du parallélogramme généralisée Soient $H$ un espace de Hilbert et $x_{1},...,x_{n}\in H$

Montrer que

\frac{1}{2^{n}}\displaystyle\sum_{(\epsilon_{1},...,\epsilon_{n})\in\{-1,1\}^{% n}}||\epsilon_{1}x_{1}+\cdots+\epsilon_{n}x_{n}||^{2}=||x_{1}||^{2}+\cdots+||x% _{n}||^{2}.

Exercice 12 Soit $H=L^{2}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{R})$ . On pose $C=\{f\in H:f\geq 0\ \mu-p.p.\}.$

Montrer que $C$ est un convexe fermé et que $P_{C}(f)=f1_{\{f\geq 0\}}.$

Exercice 13 Soit $H=L^{2}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{R})$ . On pose $K=\{f\in H:1\geq f\geq 0\ \mu-p.p.\}.$

Montrer que $K$ est un convexe fermé et que $P_{K}(f)=f1_{\{1\geq f\geq 0\}}.$

Exercice 14 Soient $H$ un espace de Hilbert et $F\subset H$ un sous-espace fermé différent de $\{0\}$ . Soit $P$ une projection de $H$ sur $F$ , c’est à dire une application linéaire $P:H\to H$ telle que $P^{2}=P$ d’image $F$ . On rappelle qu’on munit l’espace vectoriel des applications linéaires continues $L(H,H)$ de la norme subordonnée $|||.|||$ .

Montrer l’équivalence entre

1.

$P$ est la projection orthogonale $P_{F}$
2.

$P$ est continue et $|||P|||=1$
3.

$|\langle P(x),x\rangle|\leq||x||^{2}$ pour tout $x\in H.$

Exercice 15 Polynômes de Laguerre On se place dans l’espace de Hilbert $H=(L^{2}([0,\infty[,\mu;\mathbb{C}),\|\cdot\|_{2})$ avec $\mu$ la mesure sur la tribu borélienne de $[0,\infty[$ de densité $e^{-x}$ par rapport à la mesure de Lebesgue c’est-à-dire $\mu(A)=\int_{A}e^{-x}dx.$

Soit

L_{n}=\frac{e^{x}}{n!}\left(\frac{d}{dx}\right)^{n}(e^{-x}x^{n}).

1.

Montrer que $L_{n}$ est une fonction polynomiale de la forme :

$L_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{n}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k}.$
2.

Soit $Q$ un polynôme de degré $m<n$ montrer que $\langle L_{n},Q\rangle=0$ (Indication: intégrer par partie).
3.

Montrer que $L_{n}$ est une famille orthonormale de $H$ .
4.

Soit $t\in\mathbb{R}$ . Calculer la norme de $S_{N}=\displaystyle\sum_{n=0}^{N}\frac{t^{n}}{(t+i)^{n}}L_{n}$ . En déduire que $S_{N}$ converge dans $H$ .
5.

Soit

$f_{t}(x)=\frac{i+t}{i}e^{ixt}.$

Montrer que $\langle L_{n},f_{t}\rangle=\frac{t^{n}}{(i+t)^{n}}$ .
6.

Montrer que $S_{N}$ converge dans $H$ vers $f_{t}$ .
7.

En déduire que $(L_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une base orthonormale de $H$ . (Indication: montrer que tout $f$ orthogonal aux $L_{n}$ a une transformée de Fourier nulle et utiliser le théorème d’inversion de Fourier).