5 Suite de Cauchy, Complétude

Définition 2.9.

Une suite $(u_{n})$ de $X$ est dite de Cauchy si :

\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall(p,q)\in\mathbb{N}^{2},p\geq N% \ \mathrm{et}\ q\geq N\Rightarrow d(u_{p},u_{q})\leq\epsilon.

La proposition suivante est similaire au cas réel (cf. cours de L2).

Proposition 2.5.

Toute suite convergente est de Cauchy. Toute suite de Cauchy est bornée. Toute suite de Cauchy possédant une valeur d’adhérence est convergente.

Définition 2.10.

Un espace métrique $X$ est dit complet si toute suite de Cauchy de $X$ converge dans $X$ . Si un evn E est complet on dit que c’est un espace de Banach.

On a vu en première année que $\mathbb{K}$ est complet (mais pas $\mathbb{Q}$ ). Vous avez vu en L2 que $(\mathbb{R}^{n},||\cdot||_{2})$ est complet. On verra que tout evn de dimension finie est complet.

$\bigstar$ Proposition 2.6.

Un evn $E$ est complet si et seulement si toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration :

Si E est complet et $(x_{i})$ est absolument convergente, la suite des sommes partielles $S_{p}=\displaystyle\sum_{i=1}^{p}x_{i}$ vérifie, pour $q>p$ , $||S_{p}-S_{q}||\leq\displaystyle\sum_{k=p}^{q-1}||x_{i}||$ donc comme $\displaystyle\sum_{k=1}^{q}||x_{i}||$ est convergente donc de Cauchy, on déduit que $(S_{p})$ est de Cauchy donc converge.

Réciproquement, si toute suite absolument convergente converge, soit $(x_{i})$ une suite de Cauchy. Il suffit de montrer qu’elle admet une sous-suite convergente pour voir qu’elle converge. Par la propriété de Cauchy, on trouve par induction $||x_{n_{k+1}}||$ avec $||x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}||\leq\frac{1}{2^{k}}$ de sorte que la série télescopique $\displaystyle\sum x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}$ est absolument convergente donc converge, et donc la sous-suite $(x_{n_{k}})$ converge. □

Exemple 2.7.

Dans le cadre de l’exemple 2.3, vous avez vu en L2 que toute série normalement convergente de $(C^{0}([a,b],\mathbb{R}),||.||_{\infty}$ ) converge uniformément. D’après le résultat précédent, c’est équivalent à dire que $(C^{0}([a,b],\mathbb{R}),||.||_{\infty})$ est un espace de Banach (aussi vu directement en L2 en analyse 2 Prop 7.6). Par contre ce n’est pas le cas de $(C^{0}([a,b],\mathbb{R}),||.||_{i})$ , $i=1,2$ . On verra qu’ils sont denses dans les espaces de Lebesgue $L^{i}([a,b],\mathbb{R})$ qui seront eux complets, et sont les constructions de base de la théorie de l’intégration de Lebesgue.

Proposition 2.7.

Si $X, Y$ sont des espaces métriques complets. Alors $X\times Y$ (munie de la distance produit de l’exemple 2.4) est complet.

Démonstration :

Si $(u_{n},v_{n})$ est de Cauchy dans $X\times Y$ , de même, $(u_{n})$ est de Cauchy dans $X$ , et $(v_{n})$ dans $Y$ , donc par complétude $(u_{n})$ converge vers $u$ et $(v_{n})$ vers $v$ . En conséquence $(u_{n},v_{n})$ converge vers $(u,v)$ vu $d((u_{n},v_{n}),(u,v))=\max(d(u_{n},u),d(v_{n},v))\to 0$ . □

5.1 Théorème de Point fixe

$\bigstar$ Théorème 2.8 (du point fixe de Banach).

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet, et $f\colon X\to X$ une application telle que

\exists k<1\ \forall x\neq y\in X\quad d(f(x),f(y))\leq kd(x,y)\ .

Alors $f$ admet un unique point fixe.

Démonstration :

Soit $x_{0}\in X$ on définit par récurrence $x_{n}=f(x_{n-1})=f^{\circ n}(x_{0})$ . Donc

d(x_{n+1},x_{n})=d(f(x_{n}),f(x_{n-1}))\leq kd(x_{n},x_{n-1})\leq k^{n}d(x_{1}% ,x_{0}).

(2.1)

Montrons que $x_{n}$ est bornée en voyant par récurrence que $d(x_{n},x_{0})\leq\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}k^{i}d(x_{1},x_{0})$ . C’est évident pour $n=1$ . Et par l’inégalité triangulaire et (2.1):

d(x_{n+1},x_{0})\leq d(x_{n+1},x_{n})+d(x_{n},x_{0})\leq k^{n}d(x_{1},x_{0})+% \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}k^{i}d(x_{1},x_{0})=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}k^% {i}d(x_{1},x_{0})

Or on reconnaît une série géométrique convergente, d’où la borne: $d(x_{n+1},x_{0})\leq\frac{1}{1-k}d(x_{1},x_{0})$ .

Montrons que $x_{n}$ est de Cauchy. En effet, pour $m>n$ ,

d(x_{n},x_{m})=d(f^{\circ n}(x_{0}),f^{\circ n}(x_{m-n}))\leq k^{n}d(x_{0},x_{% m-n})\leq k^{n}\frac{1}{1-k}d(x_{1},x_{0})

Comme $k^{n}\frac{1}{1-k}\to 0$ , on déduit que pour $N$ grand et $m>n\geq N$ $d(x_{n},x_{m})$ est arbitrairement petit, donc $x_{n}$ est de Cauchy. Par complétude de $X$ , on obtient donc que $x_{n}$ converge, disons vers $x$ . Maintenant, en passant à la limite dans (2.1), on obtient $d(f(x),x)=\lim_{n}d(f(x_{n}),x_{n})\leq\limsup_{n}d(f(x_{n}),x_{n})\leq\limsup% _{n}k^{n}d(x_{1},x_{0})=0$ donc par séparation $f(x)=x$ et $x$ est le point fixe cherché.

□

5 Suite de Cauchy, Complétude

Définition 2.9.

Proposition 2.5.

Définition 2.10.

★ Proposition 2.6.

Exemple 2.7.

Proposition 2.7.

5.1 Théorème de Point fixe

★ Théorème 2.8 (du point fixe de Banach).

$\bigstar$ Proposition 2.6.

$\bigstar$ Théorème 2.8 (du point fixe de Banach).