2 Projection sur un convexe fermé

On va généraliser l’existence de projection orthogonale sur un sous-espace d’un espace euclidien d’abord au cas des convexes fermés et en dimension infinie.

$\bigstar$ Théorème 7.3.

Soit $H$ un espace de Hilbert et $C\subset H$ un convexe fermé non-vide. Pour tout $f\in H$ il existe un unique $u=P_{C}(f)\in C$ tel que

||f-u||=\inf_{v\in C}||f-v||.

De plus c’est l’unique vecteur $u\in C$ vérifiant la propriété caractéristique:

\forall v\in C,\ \ \ \Re(\langle f-u,v-u\rangle)\leq 0

Enfin, $P_{C}$ est une application $1$ -lipschitzienne appelée projection sur $C$ .

Remarque 7.2.

Un théorème de projection similaire sur un convexe fermé est valide dans $L^{p}(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ pour tout $1<p<\infty$ (et pas seulement $p=2$ ), mais il n’y a pas de caractérisation aussi simple de la projection $P_{C}$ (en l’absence de produit scalaire) et la projection $P_{C}$ est seulement uniformément continue (et plus nécessairement Lipschitz). Mais ce résultat est beaucoup plus dur (un exercice difficile de M1 Math).

Démonstration :

On fait une preuve directe, utilisant l’identité du parallélogramme.

Soit $v_{n}\in C$ tel que $||f-v_{n}||\to d=\inf_{v\in C}||f-v||$

En appliquant l’identité à $a=f-v_{n},b=f-v_{m}$ , on trouve :

\left\|f-\frac{v_{n}+v_{m}}{2}\right\|^{2}+\left\|\frac{v_{n}-v_{m}}{2}\right% \|^{2}=\frac{1}{2}(||f-v_{n}||^{2}+||f-v_{m}||^{2})\to d^{2}.

Or par convexité $\frac{v_{n}+v_{m}}{2}\in C$ donc $\left\|f-\frac{v_{n}+v_{m}}{2}\right\|^{2}\geq d^{2}$ donc

\left\|\frac{v_{n}-v_{m}}{2}\right\|^{2}\leq\frac{1}{2}(||f-v_{n}||^{2}+||f-v_% {m}||^{2})-d^{2}\to 0.

On déduit donc que $v_{n}$ est de Cauchy, donc converge vers $u$ et par continuité de la norme $d=||f-u||.$

Soit $g:v\mapsto||f-v||_{2}^{2}$ . On peut calculer la différentielle $dg(u)=\Re(\langle f-u,.\rangle)$ . Or si $g$ atteint son minimum en $u$ , pour $v\in C$ , $t\in[0,1]$ ,

||f-tv-(1-t)u||_{2}^{2}=||f-u||_{2}^{2}+t^{2}||v-u||_{2}^{2}-2t\Re(\langle f-u% ,v-u\rangle)\geq||f-u||_{2}^{2}

donc $2\Re(\langle f-u,t-u\rangle)\leq t||v-u||_{2}^{2}$ et la limite $t\to 0$ donne l’inégalité caractéristique. Réciproquement, on a en $t=1$ , l’inégalité qui conclut:

||f-u||_{2}^{2}-||f-v||_{2}^{2}=2\Re(\langle f-u,v-u\rangle)-||v-u||_{2}^{2}% \leq 0.

Pour voir l’unicité, si $u_{1},u_{2}\in C$ , on peut utiliser la convexité stricte sous la forme de l’identité du parallélogramme, on a

\left\|f-\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\right\|^{2}+\left\|\frac{u_{1}-u_{2}}{2}\right% \|^{2}=\frac{1}{2}(||f-u_{1}||^{2}+||f-u_{2}||^{2})=d^{2}

soit comme $\left\|f-\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\right\|^{2}\geq d^{2}$ on déduit $\left\|\frac{u_{1}-u_{2}}{2}\right\|^{2}\leq 0$ donc $u_{1}=u_{2}.$

Par l’unicité, $P_{C}$ est bien définie et il ne reste qu’à voir la lipschitizianité. En appliquant la propriété caractéristique pour $f_{1},f_{2}$ :

\Re(\langle f_{1}-P_{C}(f_{1}),P_{C}(f_{2})-P_{C}(f_{1})\rangle)\leq 0,

\Re(\langle f_{2}-P_{C}(f_{2}),P_{C}(f_{1})-P_{C}(f_{2})\rangle)\leq 0,

soit en additionnant :

\Re(\langle f_{1}-f_{2}+P_{C}(f_{2})-P_{C}(f_{1}),P_{C}(f_{2})-P_{C}(f_{1})% \rangle)\leq 0

soit en utilisant Cauchy-Schwarz :

||P_{C}(f_{2})-P_{C}(f_{1})||^{2}\leq\Re(\langle f_{1}-f_{2},P_{C}(f_{2})-P_{C% }(f_{1})\rangle)\leq||f_{1}-f_{2}||\ ||P_{C}(f_{2})-P_{C}(f_{1})||.

□

$\bigstar$ Théorème 7.4.

Soit $H$ un espace de Hilbert et $K\subset H$ un sous espace vectoriel fermé. Pour tout $f\in H$ , il existe un unique $u=P_{K}(f)\in K$ tel que

||f-u||_{2}=\inf_{v\in K}||f-g||_{2}.

De plus c’est l’unique vecteur $u\in K$ tel que

\forall v\in K,\ \ \ \langle v,f-u\rangle=0

Enfin, $P_{K}$ est une application linéaire bornée appelée projection orthogonale sur $K$ .

Démonstration :

Il reste à voir la nouvelle caractérisation équivalente car celle-ci étant une relation linéaire, elle impose la linéarité de $P_{K}$ ( $\lambda P_{K}(f)+P_{K}(g)$ vérifie la relation pour $\lambda f+g$ et doit donc être par unicité $P_{K}(\lambda f+g)$ ). La nouvelle caractérisation est plus forte. Réciproquement, si $\Re(\langle f-u,v-u\rangle)\leq 0$ , en prenant $v=2u$ et $v=0$ , on trouve $\Re(\langle f-u,u\rangle)=0$ donc $\Re(\langle f-u,v\rangle)\leq 0$ pour tout $v$ dans $K$ donc aussi pour $-v$ par linéarité d’où l’égalité à $0$ . □

Exemple 7.5.

Si $H=L^{2}(\Omega,\mu,\mathbb{R})$

C=\{f\geq 0\ p.p.\}.

Alors $P_{C}(f)=f1_{\{f\geq 0\}}.$ (exo) Trouver aussi de même la projection sur l’ensemble de $f:\Omega\to[0,1].$

2 Projection sur un convexe fermé

★ Théorème 7.3.

Remarque 7.2.

★ Théorème 7.4.

Exemple 7.5.

$\bigstar$ Théorème 7.3.

$\bigstar$ Théorème 7.4.