3 Applications: Orthogonalité et Dualité

3.1 Orthogonalité

On peut définir dans un espace de Hilbert une notion d’orthogonal comme en dimension finie.

$\bigstar$ Définition 7.3.

Si $F\subset H$ est un sous-espace, alors l’orthogonal de $F$ est

F^{\perp}=\{x\in H,\forall y\in F,\langle x,y\rangle=0\}

On dit que $x$ est orthogonal à $F$ si $x\in F^{\perp}.$ On remarque que

F^{\perp}=\bigcap_{y\in F}(\langle y,\cdot\rangle)^{-1}(\{0\})

est toujours un sous-espace fermé comme intersection de sous-espaces fermé, comme image inverse d’un sous-espace fermé par une application linéaire continue (le produit scalaire). La proposition suivante décrit la décomposition en somme directe orthogonale. Tout se passe comme en dimension finie pour les sous-espaces fermés, et sinon, il faut ajouter une adhérence.

$\bigstar$ Proposition 7.5.

Si $F$ est un sous-espace de l’espace de Hilbert $H$ alors $F^{\perp\perp}=\overline{F},$ et on a la somme directe orthogonale

H=\overline{F}\oplus F^{\perp}

et alors $p_{F}$ et $p_{F^{\perp}}=1-p_{\overline{F}}$ sont les projections associées à cette décomposition.

Ici $F^{\perp\perp}=(F^{\perp})^{\perp}$ est l’orthogonal de l’orthogonal.

Démonstration :

1.

On remarque d’abord que $F\subset F^{\perp\perp}$ . En effet par définition de $F^{\perp}$ si $x\in F,y\in F^{\perp}$ , $\langle x,y\rangle=0$ et donc comme c’est pour tout $y\in F^{\perp}$ la définition du biorthogonal donne $x\in F^{\perp\perp}.$
2.

On remarque ensuite que $F^{\perp\perp}\cap F^{\perp}=\{0\}$ . En effet, si $x\in F^{\perp\perp}\cap F^{\perp}$ alors $\langle x,x\rangle=0$ donc $x=0$ (par l’axiome de séparation).
3.

Montrons ensuite que $p_{F^{\perp}}=1-p_{\overline{F}}$ (les projections sont bien définies car on a des sous-espaces fermés l’espace de Hilbert $H$ donc on peut utiliser le théorème de projection). En effet, si $y\in H$ la relation caractéristique de la projection othogonale dit que $y-p_{\overline{F}}(y)$ est orthogonal à $\overline{F}$ donc dans $F^{\perp}$ et comme $y-(y-p_{\overline{F}}(y))=p_{\overline{F}}(y)$ est orthogonal à $F^{\perp}$ , on doit avoir $y-p_{\overline{F}}(y)=p_{F^{\perp}}(y)$ par caractérisation de la projection.
4.

On en déduit la somme $H=\overline{F}+F^{\perp}$ (par l’inclusion du 1 et l’intersection du 2, on sait que cette somme doit être directe). Le point précédent donne la relation

$y=p_{F^{\perp}}(y)+p_{\overline{F}}(y)$

ce qui montre que tout vecteur $H$ se décompose comme somme d’un vecteur de $\overline{F}$ et d’un vecteur de $F^{\perp}$ . L’énoncé sur les projections associées à la décomposition est évident à partir de là.
5.

Il reste à voir que $F^{\perp\perp}\subset F$ ce qui donne l’égalité avec le point 1. Mais si $y\in F^{\perp\perp}$ , $y-P_{\overline{F}}(y)\in F^{\perp\perp}$ par 1 et le fait fait que $F^{\perp\perp}$ est un sous-espace vectoriel. Mais on vient de voir au 3 que $y-P_{\overline{F}}(y)=p_{F^{\perp}}(y)\in F^{\perp}.$ Donc $y-P_{\overline{F}}(y)\in F^{\perp\perp}\cap F^{\perp}=\{0\}$ par le 2. donc $y=P_{\overline{F}}(y)\in\overline{F}$ , ce qui conclut.

□

3.2 Dualité: le théorème de représentation de Riesz

On en déduit maintenant le calcul du dual de $H$ (voir sous-section 9 pour des rappels).

$\bigstar$ Théorème 7.6 (théorème de représentation de Riesz).

Soit $\phi$ une forme linéaire continue sur un espace de Hilbert $H$ alors il existe un unique $f\in H$ tel que

\forall v\in H,\phi(v)=\langle f,v\rangle.

De plus, on a l’expression duale pour la norme :

||f||=\sup_{||v||\leq 1}|\langle f,v\rangle|.

Remarque 7.3.

(facultative) Dans le cas complexe, $f\mapsto\langle f,.\rangle$ est une isométrie antilinéaire identifiant $H$ et $H^{\prime}$ (et donc identifiant linéairement H’ au conjugué $\overline{H}$ ayant la même structure normique et de groupe mais $\lambda.\overline{v}=\overline{\overline{\lambda}v}$ si $v\mapsto\overline{v}$ est la bijection/identité de $H\to\overline{H}$ notée $\overline{.}$ pour le caractère suggestif de la relation à la conjugaison complexe). Dans la cas complexe on a donc $H^{\prime}\simeq\overline{H}$ et dans le cas réel $H^{\prime}\simeq H.$

Démonstration :

Soit $K=\phi^{-1}(\{0\})$ le noyau de $\phi$ . Si $K=H$ alors $f=0$ convient. On suppose donc $K\neq H$ . Soit donc $g_{0}\not\in K$ et $g=\frac{g_{0}-P_{K}(g_{0})}{||g_{0}-P_{K}(g_{0})||_{2}}$ un vecteur de norme $1$ et orthogonal à $K$ . Comme $\phi$ est une forme linéaire, on s’attend à ce que $K$ et $g$ engendrent $L^{2}$ , sorte de généralisation du théorème du rang (on va voir cela plus loin en utilisant l’orthogonalité). En effet, soit $v\in H$ , $w=v-\frac{\phi(v)}{\phi(g)}g$ vérifie $\phi(w)=\phi(v)-\frac{\phi(v)}{\phi(g)}\phi(g)=0$ donc $w\in K=Ker\phi$ et $v=\lambda g+w$ avec $\lambda=\frac{\phi(v)}{{\phi(g)}}.$

On montre donc que $f=\overline{\phi(g)}g$ convient, en montrant l’égalité sur un $v$ quelconque en utilisant la forme précédente :

\langle f,v\rangle={\phi(g)}\langle g,v\rangle={\phi(g)}\langle g,\lambda g+w% \rangle={\phi(g)}\lambda||g||_{2}^{2}={\phi(g)}\lambda=\phi(v).

L’égalité des normes vient de Cauchy Schwarz qui implique que $\geq$ avec égalité en prenant $v=f/||f||$ si $f\neq 0$ . □

Remarque 7.4.

(facultative) Il n’est parfois pas judicieux d’identifier un espace de Hilbert à son dual, notamment quand plusieurs espaces de Hilbert sont considérés et que les identifications sont incompatibles à des relations de sous-espaces. Soit $H=\ell^{2}(\mathbb{N})$ et $K=\{u\in H,\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}n^{2}|u_{n}|^{2}<\infty\}$ Si on considère l’ensemble des suites telles que $L=\{(u_{n})\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n^{2}}|u_{n}|^{2}<\infty\}$ . Il est facile de voir que $K\subset H\subset L$ et que La transposé de l’inclusion $K\subset H$ s’identifie à $H\simeq H^{\prime}\subset K^{\prime}\simeq L$ . Il vaut alors mieux identifier $K^{\prime}$ à $L$ (et pas $K$ ) en ayant une identification compatible avec les inclusions avec $H$ .