5 Une Application: Le théorème de convergence des martingales bornées dans $L^{2}(\Omega,\mathscr{T},P)$ (facultatif)

Dans cette section, on conclut par une application en probabilité. On prend $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace de probabilité. Une filtration est une suite croissante de sous-tribu $(\mathscr{T}_{n})_{n\geq 0}.$ Un exemple de telle suite est $\mathscr{T}_{n}=\mathscr{T}((X_{0},...,X_{n}))$ de la tribu engendrée par un vecteur aléatoire. On peut considérer les espaces de Hilbert $H_{n}=L^{2}(\Omega,\mathcal{T}_{n},P)\subset L^{2}(\Omega,\mathcal{T},P).$ C’est un sous-espace fermé car si $H_{n}\ni X_{m}\to_{m\to\infty}X$ on a vu au chapitre précédent, que quitte à extraire $X_{m_{k}}$ converge p.p. vers $X$ et donc $X$ est aussi $\mathcal{T}_{n}$ -mesurable et donc est dans $H_{n}$ . Par caractérisation séquentielle cela dit $H_{n}$ fermé. On dispose donc de la projection orthogonale $P_{H_{n}}$ . EN probabilité, vous noterez $P_{H_{n}}(X)=E(X|\mathscr{T}_{n})$ et vous interpréterez cette projection comme une espérance conditionnelle.

Définition 7.6.

Une suite $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une martingale dans $L^{2}$ (pour la filtration $(\mathscr{T}_{n})_{n\geq 0}$ si pour tout $m\geq n$ $P_{H_{n}}(X_{m})=X_{n}$ .

Cette condition dit que la moyenne de la future variable $X_{m}$ , conditionnellement au présent $H_{n}$ , est égale à $X_{n}$ (si $X_{n}$ est la valeur d’un gain au temps $n$ , en moyenne on n’a rien gagné à attendre le temps $m>n$ ). Une somme de v.a. i.i.d. dans $L^{2}$ d’espérance nulle est une telle martingale. Par exemple, la somme des $n$ premiers termes d’une suite de variables gaussiennes centrées indépendantes donne une martingale dans $L^{2}$ . On va montrer un théorème de convergence pour les martingales bornées dans $L^{2}$ .

Théorème 7.13.

Soit $(\mathscr{T}_{n})_{n\geq 0}$ .Soit $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une martingale dans $H=L^{2}(\Omega,\mathscr{T},P)$ qui est une suite bornée, c’est-à-dire, qu’il existe $M>0$ telle que $\sup_{n}||X_{n}||_{2}\leq M$ . Alors $X_{n}$ converge dans $L^{2}(\Omega,\mathscr{T},P)$ vers une variable $X$ et $X_{n}=P_{H_{n}}(X).$

Ce théorème se généralise à un théorème de convergence des martingales bornées dans $L^{p}$ , $1<p<\infty$ . Il y a aussi une version pour les martingales $L^{1}$ mais il faut une hypothèse technique plus compliquée (dite d’uniforme intégrabilité). (On dit que $X_{n}$ est une martingale fermée quand $X_{n}=P_{H_{n}}(X)$ comme ci-dessus).

Démonstration :

On considère la décomposition orthogonale $H_{n+1}=K_{n}\oplus H_{n}$ avec $H_{0}=K_{0}$ On voudrait dire que $L^{2}(\Omega,\mathcal{T}(\cup_{n\geq 0}\mathscr{T}_{n}),P)=\oplus_{n\geq 0}K_{n}$ est une somme orthogonale infinie, mais comme on n’a pas introduit la notion,on va donc faire une preuve directe.

Remarquez déjà que $X_{n+1}-X_{n}=X_{n+1}-P_{H_{n}}(X_{n+1})\in K_{n}$ par la condition de martingale. Donc par le théorème de Pythagore et une récurrence triviale, on obtient:

||X_{n+1}||_{2}^{2}=||X_{n+1}-X_{n}||_{2}^{2}+||X_{n}||_{2}^{2}=||X_{0}||_{2}^% {2}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}||X_{k+1}-X_{k}||_{2}^{2}.

On déduit donc de la bornitude en prenant la limite $||X_{0}||_{2}^{2}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}||X_{k+1}-X_{k}||_{2}^{2}% \leq M^{2}$ et donc la série est convergente. On déduit aussi que pour $p\geq q\geq N$

||X_{p+1}-X_{q}||_{2}^{2}=\displaystyle\sum_{k=q}^{p}||X_{k+1}-X_{k}||_{2}^{2}% \leq\displaystyle\sum_{k=N}^{\infty}||X_{k+1}-X_{k}||_{2}^{2}\to_{N\to\infty}0.

Donc $(X_{n})$ est de Cauchy dans un espace de Hilbert donc converge vers $X$ . Comme $P_{H_{n}}$ est $1$ -lipschitz donc continue, on déduit en passant à la limite dans la relation $X_{n}=P_{H_{n}}(X_{m})\to_{m\to\infty}P_{H_{n}}(X)=X_{n}$

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5 Une Application: Le théorème de convergence des martingales bornées dans L2⁢(Ω,𝒯,P) (facultatif)

Définition 7.6.

Théorème 7.13.

5 Une Application: Le théorème de convergence des martingales bornées dans $L^{2}(\Omega,\mathscr{T},P)$ (facultatif)