1 Généralités

Soit $H$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$

$\bigstar$ Définition 7.1.

Un produit scalaire sur $H$ est une application

\langle.,.\rangle:H\times H\to\mathbb{K}

telle que:

1.

pour tout $y\in H$ , $\langle y,.\rangle:H\to\mathbb{K}$ est linéaire
2.

- Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ $\forall x,y\in H,\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$ (symétrie)

- Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ $\forall x,y\in H,\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$ (symétrie hermitienne)
3.

pour $x\in H$ , $\langle x,x\rangle\in\mathbb{R}^{+}$
4.

pour $x\in H$ , $\langle x,x\rangle=0$ si et seulement si $x=0.$

Un espace $H$ avec un tel produit scalaire est un espace préhilbertien réel (si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ) et complexe (si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ).

On remarque que dans le cas complexe, $\langle.,y\rangle$ est antilinéaire, c’est-à-dire avec $\overline{\lambda}$ le conjugué complexe,

\forall x,y,z\in H,\lambda\in\mathbb{C},\ \ \langle\lambda x+z,y\rangle=% \overline{\lambda}\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle.

Exemple 7.1.

Sur $H=\ell^{2}(\mathbb{N},\mathbb{C}):=L^{2}(\mathbb{N},\nu;\mathbb{C})$ (espace $L^{2}$ avec la mesure de comptage $\nu$ ) on a le produit scalaire (hermitien canonique):

\langle x,y\rangle=\displaystyle\sum_{i\in I}\overline{x_{i}}y_{i}

Dans le cas réel, la même formule sans conjugaison complexe fonctionne.

Exemple 7.2.

Sur $H=L^{2}(\Omega,\mu;\mathbb{C})$ avec $(\Omega,\mu)$ un espace mesuré $\sigma$ -fini, on a le produit scalaire (hermitien canonique):

\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x).

Exemple 7.3.

Sur $H=C^{0}([a,b],\mathbb{C})$ on a le produit scalaire:

\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}\overline{f(x)}g(x)dx).

Proposition 7.1.

Si $H$ est muni d’un produit scalaire on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

|\langle x,y\rangle|^{2}\leq\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle

avec égalité si et seulement si $x, y$ sont liés. De plus $||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ est une norme sur $H$ vérifiant l’identité du parallélogramme :

\left\|\frac{x+y}{2}\right\|^{2}+\left\|\frac{x-y}{2}\right\|^{2}=\frac{1}{2}(% ||x||^{2}+||y||^{2}).

Démonstration :

On a

\langle x+ty,x+ty\rangle=||x||^{2}+t^{2}||y||^{2}+2t\Re(\langle x,y\rangle)\geq 0

c’est un polynôme de degré 2 qui est toujours positif ou nul, donc son discriminant $\Delta=4\Re(\langle x,y\rangle)^{2}-4||x||^{2}||y||^{2}\leq 0.$ En remplaçant $y$ par $u y$ avec $u=\frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{|\langle x,y\rangle|}$ si $\langle x,y\rangle\neq 0$ on obtient

\Re(\langle x,y\rangle u)=|\langle x,y\rangle|\leq||x||^{2}\langle uy,uy% \rangle=||x||^{2}||y||^{2}\overline{u}u=||x||^{2}||y||^{2}.

Le même calcul donne pour $u$ de module $1$ la norme de

\Big{\|}\ ||y||x-u||x||y\ \Big{\|}^{2}=2||y||^{2}||x||^{2}-2||x||||y||\Re(% \langle x,uy\rangle)

qui vaut $0$ si on choisit $u$ tel que $\langle x,y\rangle u=|\langle x,y\rangle|$ et que l’on est dans le cas d’égalité de C-S, ce qui donne la relation de dépendance linéaire cherchée $||y||x-u||x||y=0$ . (La réciproque, c’est à dire l’égalité en cas de dépendance linéaire, est évidente).

Pour vérifier que l’on a une norme, la positivité vient de l’axiome 3, la séparation vient du dernier axiome, l’homogénéité vient de

\langle\lambda y,\lambda y\rangle=\overline{\lambda}\lambda\langle y,y\rangle=% |\lambda|^{2}\langle y,y\rangle

et l’inégalité triangulaire vient d’une application de C-S :

\langle x+y,x+y\rangle=||x||^{2}+||y||^{2}+2\Re\langle x,y\rangle\leq||x||^{2}% +||y||^{2}+2||x||||y||=(||x||+||y||)^{2}.

Enfin, on a aussi la relation :

\langle x-y,x-y\rangle=||x||^{2}+||y||^{2}-2\Re\langle x,y\rangle

soit en faisant la somme (avec l’égalité débutant le calcul pour l’inégalité triangulaire), on obtient l’identité du parallélogramme. □

Remarque 7.1.

L’identité du parallélogramme implique que $\left\|\frac{x+y}{2}\right\|^{2}\geq\frac{1}{2}(||x||^{2}+||y||^{2})$ avec égalité si et seulement si $x=y$ ce qui donne un résultat de convexité (en faite stricte car l’inégalité est stricte si $x\neq y$ ). (On a vu en TD que par continuité la convexité à mi point implique la convexité).

Une autre identité importante s’établit en prenant la différence des égalités donnant la preuve de l’identité du parallélogramme ci-dessus, c’est l’identité de polarisation :

\Re\langle x,y\rangle=\frac{||x+y||^{2}-||x-y||^{2}}{4}

On retrouve aussi

\Im\langle y,x\rangle=\Re\langle iy,x\rangle=\frac{||x+iy||^{2}-||x-iy||^{2}}{4}

d’où la formule de polarisation complexe :

\langle y,x\rangle=\frac{||x+y||^{2}-||x-y||^{2}+i||x+iy||^{2}-i||x-iy||^{2}}{4}

ou encore en bref

\langle y,x\rangle=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}

(7.1)

$\bigstar$ Définition 7.2.

Un espace pré-hilbertien complet est appelé espace de Hilbert.

$\bigstar$ Théorème 7.2.

Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré. Alors $H=L^{2}(\Omega,\mathcal{T},\mu;\mathbb{K})$ est un espace de Hilbert sur $\mathbb{K}$ avec le produit scalaire défini pour $f,g\in H$ par:

\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}\overline{f}gd\mu.

Démonstration :

On ne traite que le cas $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ . Si $f,g\in H$ , l’inégalité de Hölder avec $p=q=2$ donne $\overline{f}g\in L^{1}(\Omega,\mathcal{T},\mu;\mathbb{K})$ et donc l’intégrale définissant le produit scalaire est bien définie. On vérifie les axiomes des produits scalaires: 1/ $\langle f,g\rangle$ est linéaire en la deuxième variable $g$ par linéarité de l’intégrale.

2/ la symétrie hermitienne vient du calcul suivant:

\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}\overline{f}gd\mu=\int_{\Omega}\overline{f% \overline{g}}d\mu=\overline{\int_{\Omega}f\overline{g}d\mu}=\overline{\langle g% ,f\rangle}.

\langle f,f\rangle=\int_{\Omega}|f|^{2}d\mu=||f||_{2}^{2}\in[0,+\infty[

4/ Comme on sait déjà que $||.||_{2}$ la séparation de la norme implique que si — $|f||_{2}=0$ alors $f=0$ ( $\mu$ -presque partout c’est à dire) dans $H=L^{2}(\Omega,\mathcal{T},\mu;\mathbb{K}).$

On a donc bien un espace pré-hilbertien, et le Théorème de Riesz-Fischer 6.7 dit que $L^{2}(\Omega,\mathcal{T},\mu;\mathbb{K})$ est complet, donc un espace de Hilbert. □

Exemple 7.4.

$\ell^{2}(\mathbb{N};\mathbb{C})$ sont des espaces de Hilbert (cf. chapitre 6 pour la complétude), mais pas $C^{0}([a,b],\mathbb{C})$ dont la complétion est l’espace de Hilbert $L^{2}([a,b],\lambda;\mathbb{C}).$ La complétion d’un espace préhilbertien en tant qu’e.v.n. (cf. annexe A section 3) est toujours un espace de Hilbert.