Mots-clés pour les dernières épreuves d’analyse
- 2012 : valeur d’adhérence d’une suite,
- 2011 : équation différentielle non linéaire, opérateurs, espaces normés,
- 2010 : équation fonctionnelle, série entière, polynômes de Bernoulli,
- 2009 : transformée de Fourier, convolution, fonctions à décroissance rapide,
- 2008 : étude asymptotique de suites, séries, réversion de Lagrange.
Écrit d’analyse 2012
- Réponses pour l’écrit 2 de 2012
Il serait bien surprenant que tout soit à la fois juste et bien rédigé car personne n’a relu ce texte. Me contacter pour toute récrimination.
Des exercices de majoration
- Exercices : majorer, pinailler
Feuille fabriquée pour le CAPES il y a longtemps mais bon, des outils « de base » qui peuvent toujours être utiles.
Un problème
Le problème ci-dessous provient du concours de l’École normale supérieure (1983). Il ressemble plus à une succession d’exercices indépendants sur un thème qu’à un problème constitué. Revue de demi-détail :
- la partie I est totalement élémentaire : question 1 à savoir faire, question 2 amusante ;
- la partie II exhibe une suite de polynômes qui converge uniformément vers une fonction continue sur un intervalle compact (ce n’est pas très difficile et ça reste mystérieux même à la fin de la démonstration)
- la partie III permet de réviser les séries positives au prétexte d’une façon d’écrire les réels ;
- la partie IV est peut-être plus tricky ; on en retiendra l’énoncé de IV.4.a, qui exprime que $\sqrt{2}$ est « mal approchable » par des rationnels.
- Un joli problème élémentaire
Indication pour III.1 :
- Unicité : par récurrence sur $r$ ; si $\sum_{k=1}^r\frac{a_k}{k!}=\sum_{k=1}^r\frac{a'_k}{k!}$, alors on obtient en multipliant par $(r-1)!$ :
$$\sum_{k=1}^{r-1}(a_k-a'_k)\frac{(r-1)!}{k!}=\frac{a'_r-a_r}{r}.$$
Dans le membre de gauche, un entier ; dans le membre de droite, un rationnel compris entre $\frac{1-r}{r}$ et $\frac{r-1}{r}$. - Existence : un algorithme glouton doit faire l’affaire : $a_1$ est la partie entière de $p/q$ ; si on a déjà construit $a_1,\dots,a_{r-1}$, prendre $a_r$ maximal tel que $\sum_{k=1}^r\frac{a_k}{k!}\le\frac{p}{q}$. Pour justifier que ça termine, une inégalité du genre : $\left|\frac{p}{q}-\sum_{k=1}^r\frac{a_k}{k!}\right|<\frac{1}{r!}$ doit donner l’annulation du membre de gauche pour $r\ge q$ (rationnel dont le dénominateur est au pire $r!$ et strictement plus petit que $1/r!$).
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