Bonjour
nous sommes quelques uns sur l’académie de Clermont à nous interroger sur la dernière interrogation de la question 2) de l’exercice d’Hélène :
En effet la différentielle du déterminant semble s’annuler en toute matrice dont tous les Cofacteurs sont nuls, autrement dit en tout matrice de rang inférieur à n-2.
De plus la différentielle semble être surjective en toute matrice de rang supérieur ou égal à n-1.
Pour autant, on n’arrive pas à trouver ce qu’il faut en déduire sur l’ensemble des matrices non inversibles (matrices de rang inférieur à n-1) ; on pourrait être tenté de penser, que l’ensemble se "partitionne " entre deux sous ensembles : un où la différentielle est surjective, et l’autre où elle ne l’est pas.
L’ensemble des matrices de rang inférieur à n-2 étant un fermé (image réciproque de 0 par la différentielle du déterminant , qui est continue).
Malheureusement l’ensemble des matrices de rang exactement n-1 n’est pas fermé (on construit facilement une suite de matrices de rang n-1 qui convergent vers 0) : c’est dommage, ça nous aurait éventuellement permis de conclure que l’ensemble des matrices non inversibles n’est pas connexe (partition en deux fermés...)
Pourriez vous s’il vous plait, le cas échéant, nous donner des éléments de correction
Michel Ré (un suiveur de loin)
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