Deux joueurs sont devant une table sur laquelle sont posés des tas d'allumetes. À tour de rôle chacun d'eux choisit l'un des paquets et en retire une ou plusieurs allumettes, éventuellement toutes. Celui qui prend la dernière gagne. Ce jeu est une excellente occasion de s'initier à l'écriture des nombres en base 2. Voici un lien jeu de Nim sur une page consacrée à ce jeu.
Lors d'une visite au musée Lumière à Lyon, j'ai été emerveillé par la contemplation de quelques autochromes illustrant la vie de cette famille aisée du début du 20 ème siècle. Désireux de comprendre le procédé de fabrication de ces images, j'ai passé quelques heures à clarifier les vagues notions que j'avais à propos de la lumière et des couleurs, et préparer ce document, Lumières, couleurs et autochromes, à l'intention de mes petits enfants ou d'autres curieux.
Dans le document pdf Partitions binaires et jeu 2048, d’un niveau élémentaire, on s’ intéresse aux partitions des entiers en puissances de 2 et à leur écriture en base 2. On y donne enfin une preuve de ce que le plus grand entier qui puisse apparaître sur une case du jeu 2048 est 217 = 131 072.
Le jeu de Dobble, édité par Asmodée est un jeu s'adressant aux grands et aux petits. Il est constitué de 55 cartes. Sur chacune d'elles sont dessinées 8 petites images. La propriété remarquable de ce jeu est que deux cartes quelconques ont une, et une seule image en commun.
Dans le monde qui nous entoure, chaque droite a exactement autant de points qu'il existe de nombre réeels, et deux droites distinctes ont un point commun, sauf si elles sont parallèles. Si l'on rajoute un point à l'infini dans chaque direction de droite on obtient un nouvel espace, le plan projectif réel, avec la propriété plus élégante: deux droites distinctes on un unique point commun (éventuellement à l'infini).
A tout nombre premier p on peut associer un ensemble fini de p éléments, appelé le corps Fp, muni d'une multiplication et d'une addition avec les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres réels. A partir de cet ensemble Fp, on construit un plan projectif de la même manière qu'on a construit le plan projectif réel. C'est le plan projectif sur Fp. Ce plan n'a qu'un nombre fini de points égal à p2 + p + 1. Chaque droite est un ensemble de p+1 points, et il y a exactement p2 + p + 1 droites. Deux droites distinctes ayant toujours exactement un point commun.
Les deux cartes ci-dessus sont deux cartes d'un jeu de Dobble formé de 133 cartes de 12 images. Pour construire ce jeu on a construit P11, le plan projectif sur le corps F11 et associé une image à chacun des 133 points de P11. Puis, pour chaque droite, on a dessiné la carte, formée des images associées aux points de cette droite. En choisissant p=7 on aurait construit un jeu de 72 + 7 + 1 = 57 cartes, chaque carte contenant 7 + 1 = 8 images, comme les cartes du jeu de Dobble d'Asmodée. Pourquoi n'y a-t-il que 55 cartes dans le jeu d'Asmodée alors qu'il est tout naturel d'en obtenir 57? Je ne sais pas.
Ceci est une excellente occasion d'introduire l'arithmétique modulaire, les nombres premiers, les corps finis et les plans projectifs. Le document dobble.pdf, 11 pages à la portée d'un bon élève de classe terminale, explicite les détails de cette construction. Vous pouvez jouer en ligne en suivant le lien mode telephone mobile ou paysage ou paysage large. Pour chaque nouvelle paire de cartes vous devez cliquer sur l'une des 2 images communes aux deux cartes présentées. Le jeu est terminé après 8 succès. Le score affiché est la durée de la partie, augmentée d'une pénalité de 5 secondes par erreur.
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