3 Bidual, Complété (niveau début de M1)

Le dual du dual $E^{\prime\prime}=(E^{\prime})^{\prime}$ est appelé bidual de $E$ .

Définition A.2.

L’application $J:E\to E^{\prime\prime}$ qui envoie $J(x)(f)=f(x)$ pour $f\in E^{\prime}$ est appelée injection canonique de $E$ dans $E^{\prime\prime}$ .

Proposition A.4.

L’injection canonique $J:E\to E^{\prime\prime}$ est une isométrie (c’est pour cela que c’est une injection).

Démonstration :

En appliquant la définition de la norme du dual puis la conséquence de Hahn-Banach de la section précédente (proposition A.1), on obtient:

||J(x)||_{E^{\prime\prime}}=\sup_{||f||_{E^{\prime}}\leq 1}|J(x)(f)|=\sup_{||f% ||_{E^{\prime}}\leq 1}|f(x)|=||x||_{E}.

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On donne un exemple :

Proposition A.5.

(c_{0}(I))^{\prime\prime}\simeq(\ell^{1}(I))^{\prime}\simeq\ell^{\infty}(I).

Démonstration :

On définit $T:\ell^{\infty}(I)\to(\ell^{1}(I))^{\prime}$ par :

T((u_{i}))[(v_{i})]=\displaystyle\sum_{i\in I}u_{i}v_{i}.

Bien sûr, on a l’inégalité montrant que $T$ est bien défini et contractant :

|T((u_{i}))[(v_{i})]|\leq\displaystyle\sum_{i\in I}|u_{i}|\ |v_{i}|\leq||c\|_{% \infty}\displaystyle\sum_{i\in I}|u_{i}|.

Montrons que $T$ est surjectif. Soit $f\in(\ell^{1}(I))^{\prime}$ et $e_{i}$ la suite valant 1 en i et 0 ailleurs. Soit $u_{i}=f(e_{i})$ , alors $|u_{i}|\leq||f||_{\ell^{1}}$ donc $(u_{i})\in\ell^{\infty}(I)$ , montrons que $f=T((u_{i}))$ .

En effet, si $v$ est à support fini, $f(v)=T((u_{i}))(v)$ par linéarité mais comme les deux côtés sont continus en $v$ et que (par définition) les suites à support fini sont denses dans $\ell^{1}(I)$ , on obtient $f=T((u_{i}))$ .

Montrons que $T$ est isométrique. Mais $||T(u_{i})||\geq|T(u_{i})(e_{i})|=|u_{i}|$ donc $||T(u_{i})||\geq||(u_{i})||_{\ell^{\infty}(I)}$ et on obtient donc l’égalité.

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Définition A.3.

L’adhérence $\widehat{E}:=\overline{J(E)}^{E^{\prime\prime}}$ $E$ dans $E^{\prime\prime}$ est appelée complété de $E$ .

Comme c’est un espace fermé d’un espace complet, c’est un espace de Banach muni d’une injection $i:E\to\widehat{E}$ (qui est id si $E$ est déjà n espace de Banach). Il est caractérisé par la propriété universelle suivante. Contrairement à la compacité qui est dure à trouver en dimension infinie, la complétude est simple grâce à cette construction, car il suffit de passer au complété (mais, dans des espaces de fonctions, il faut travailler pour décrire plus explicitement ce complété, comme espace de fonctions concrètes).

Proposition A.6.

Soit $F$ un espace de Banach et $u:E\to F$ une application linéaire continue, il existe une unique extension $\widehat{u}:\widehat{E}\to F$ telle que $\hat{u}\circ i=u.$ De plus, on a $|||\hat{u}|||=|||u|||.$

Démonstration :

pour l’existence on considère $(u^{t})^{t}:E^{\prime\prime}\to F^{\prime\prime}$ et on regarde sa restriction $\widehat{u}$ à $\widehat{E}$ . Sur $E$ , $\widehat{u}$ coincide avec $u$ donc est à valeur dans $F$ . Par densité de $E$ , l existe une suite $u_{n}\to u\in\widehat{E}$ et donc $\widehat{u}(\widehat{E})\subset\widehat{F}$ . Or comme $F$ est complet il est fermé dans son bidual donc $\widehat{F}=F$ . Cela donne l’existence. L’unicité vient de la densité de $E$ dans $\widehat{E}$ . Par la construction on a $|||\hat{u}|||\leq|||u|||.$ L’autre inégalité vient par densité. □