6 Un résultat de compacité : le Théorème d’Ascoli (niveau L3 Math)

Les compacts sont difficiles à trouver en dimension infinie, et la moitié viennent (ou sont des variantes) du résultat suivant (l’autre moitié sont des conséquences du Théorème de Tychonov), que l’on va déduire de la relation entre complétude et compacité.

Remarque A.2.

Soit $(Y,d)$ un espace métrique borné, $d_{y}\in(C^{0}_{b}(Y,\mathbb{R})),d_{y}(x)=d(y,x)$ la distance à $y$ . $||d_{y}-d_{z}||=\sup_{x\in Y}|d(y,x)-d(z,x)|=d(y,z)$ (car $\leq$ par l’inégalité triangulaire inverse et $\geq$ en prenant $x=y$ ou $x=z$ ) Donc $d:Y\to C^{0}_{b}(Y,\mathbb{R})$ est une isométrie.

Définition A.5.

Soient $X, Y$ des espaces métriques, une partie $F\subset C^{0}(X,Y)$ est équicontinue si pour tout $\epsilon>0$ , il existe $\delta=\delta(\epsilon)>0$ , tel que $\forall x,y\in X,\forall f\in F$ , si $d(x,y)\leq\delta$ alors $d(f(x),f(y))\leq\epsilon$ .

Par exemple une famille d’application $K$ -lipschitziennes (comme une famille de la boule unité fermé de rayon $K$ des applications linéaires continues entre espaces de Banach) forme une famille équicontinue.

Théorème A.11 (d’Ascoli).

Soient $X, Y$ des espaces métriques compacts, si une partie $F$ est équicontinue alors $\overline{F}$ est compacte (pour la topologie de la convergence uniforme donnée par la distance $d(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))$ ).

Exercice A.3.

Montrer la réciproque facile.

Démonstration :

Comme $Y$ compact il est complet borné donc $d:Y\to C^{0}_{b}(Y,\mathbb{R})$ est une isométrie et $d(Y)$ est complet donc fermé. Elle induit une isométrie de $C^{0}(X,Y)\to C^{0}(X,C^{0}_{b}(Y,\mathbb{R}))$ qui est un espace de Banach. Les équations $f(x)\in d(Y),x\in X$ montrent que l’image de l’isométrie est fermé (comme intersection de fermés $\cap_{x\in X}ev_{x}^{-1}(d(Y))$ , $ev_{x}(f)=f(x)$ ) donc complet. Donc $C^{0}(X,Y)$ est aussi complet (on aurait aussi pu reprendre la preuve du cas $Y$ Banach) et $\overline{F}$ aussi.

Il reste à voir que $\overline{F}$ est précompact. Or en recouvrant $F$ par des boules de rayon $\epsilon/2$ , $\overline{F}$ est recouvert par les boules de même centre et rayon $\epsilon$ , donc il suffit de voir $F$ précompact. Soit $\epsilon>0$ , on fixe $\delta(\epsilon)>0$ donné par l’équicontinuité et $R$ les centres d’un recouvrement de $X$ par des boules de rayons $\delta(\epsilon)$ donné par sa précompacité.

Remarquons que si $d(f(r),g(r))\leq\epsilon$ pour tout $r\in R$ , en prenant $r$ avec $d(x,r)\leq\delta(\epsilon)$ , on a par l’équicontinuité et l’inégalité triangulaire:

d(f(x),g(x))\leq d(f(x),f(r))+d(f(r),g(r))+d(g(r),g(x))\leq 3\epsilon% \Rightarrow d(f,g)\leq 3\epsilon.

Soit enfin $S$ les centres des boules de rayon $\epsilon/2$ recouvrant $Y$ . Nous allons indicer les boules d’un $4\epsilon$ recouvrement par les applications $S^{R}$ de $R$ vers $S$ en nombre fini. Pour $\phi\in S^{R}$ , soit

F_{\phi}=\{f\in F,\forall r\in R,d(\phi(r),f(r))\leq\epsilon/2\}

Si $f,g\in F_{\phi}$ alors l’inégalité triangulaire donne, $d(g(r),f(r))\leq\epsilon$ pour tout $r$ donc $d(f,g)\leq 3\epsilon$ et si $F_{\phi}$ est non-vide il est inclus dans $B(b_{\phi},4\epsilon)$ .

Enfin, il suffit donc de voir que $F\subset\cup_{\phi\in S^{R}}F_{\phi}$ . Or chaque valeur possible de $f(r)$ est à distance inférieure à $\epsilon/2$ d’un $s=\phi(r)\in S$ pour un certain $\phi$ , ce qui conclut. □

Théorème A.12 (d’Ascoli).

Soient $X$ un espace métrique compact et $E$ un e.v.n. de dimension finie, si une partie $F$ est équicontinue et bornée de $C^{0}(X,E)$ alors $\overline{F}$ est compacte (pour la topologie de la convergence uniforme donnée par la norme $||.||_{\infty}$ ).

Démonstration :

Si $M=\sup\{||f||_{\infty},f\in F\}$ , $F\subset C^{0}(X,B_{F}(0,M))$ et $Y=B_{F}(0,M)$ est fermé borné donc compact comme $E$ est de dimension finie. Le théorème précédent conclut. □