4 Compléments sur la compacité et complétude (niveau L2-L3)

L’implication, compact implique précompact vient de la définition. L’implication compact implique complet vient de Bolzano-Weierstrass (vu qu’une suite de Cauchy ayant une sous-suite convergente converge).

Réciproquement, on utilise aussi Bolzano-Weierstrass. On va construire une suite extraite de Cauchy par extraction diagonale. Soit $\left(x_n\right)$ suite de $X$.$X$ est recouvert par un nombre fini de boules $B\left(a\mathrm{,1}\right)$ donc par principe des tiroirs, il existe une sous-suite $\left(x_{{\varphi }_0\left(n\right)}\right)$ de $\left(x_n\right)$ contenu dans une de ces boules $B\left(a_0\mathrm{,1}\right)$. Par récurrence, on obtient une suite extraite $\left(x_{{\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_p\left(n\right)}\right)$ contenu dans $B\left(a_p\mathrm{,1}/2^p\right)$ en ayant choisi un recouvrement fini $B\left(a\mathrm{,1}/2^p\right)$ de $B\left(a_{p-1}\mathrm{,1}/2^{p-1}\right)$ et un terme de ce recouvrement contenant une sous-suite de la suite-extraite précédente $\left(x_{{\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_{p-1}\left(n\right)}\right)$. On considère l’extraction diagonale $y_n=x_{{\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_n\left(n\right)}$. Vu que ${\varphi }_i\left(n\right)\ge n$ car les ${\varphi }_i$ sont strictement croissantes, $\psi \left(n\right)={\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_n\left(n\right)\ge {\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_{n-1}\left(n\right)>{\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_{n-1}\left(n-1\right)=\psi \left(n-1\right)$ donc $y_n=x_{\psi \left(n\right)}$ est bien une suite extraite telle que à partir du rang $n$, ${\left(y_k\right)}_{k\ge n}$ extraite de $\left(x_{{\varphi }_0\circ \mathrm{\dots }\circ {\varphi }_n\left(k\right)}\right)$ est dans la boule $B\left(a_n\mathrm{,1}/2^n\right)$. Donc $y_k$ est de Cauchy donc converge par complétude.   □