5 Théorème d’approximation de Weierstrass (niveau L3-M1)

Théorème A.9 (de Bernstein).

Soit $f:[0,1]^{n}\to\mathbb{C}$ continue et définissons le polynôme de Bernstein :

B_{N}(f)(x_{1},...,x_{n})=\displaystyle\sum_{k_{1}=0}^{N}\cdots\displaystyle% \sum_{k_{n}=0}^{N}C_{N}^{k_{1}}...C_{N}^{k_{n}}f(\frac{k_{1}}{N},...,\frac{k_{% n}}{N})x_{1}^{k_{1}}(1-x_{1})^{N-k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}(1-x_{n})^{N-k_{n}}

Alors $B_{N}(f)$ converge uniformément sur $[0,1]^{n}$ vers $f$

Démonstration :

On interprète de façon probabiliste $B_{N}(f)$ . Soit $\Omega=\{0,1\}^{Nn}$ avec la mesure de probabilité

P(\omega_{1}=i_{1},...,\omega_{Nn}=i_{n})=x_{1}^{k_{1}}(1-x_{1})^{N-k_{1}}...x% _{n}^{k_{n}}(1-x_{n})^{N-k_{n}}

avec $k_{i}$ le nombre de $1$ parmi $i_{N(i-1)+1},...,i_{Ni}.$ On note $S_{1}(\omega)=\frac{\omega_{1}+...+\omega_{N}}{N},...,S_{n}(\omega)=\frac{% \omega_{N(n-1)+1}+...+\omega_{Nn}}{N},S=(S_{1},...,S_{n})$ qui sont des variables de loi binomiales indépendantes du point de vue probabiliste. Alors $\int dPf(S_{1},...,S_{n})=B_{N}(f)(x_{1},...,x_{n}),$ donc si $\omega(h)=\sup\{|f(x)-f(y)|:|x-y|\leq h\}$ est le module d’uniforme continuité de $f$ , on a:

|f(x_{1},...,x_{n})-B_{N}(f)(x_{1},...,x_{n})|\leq||f(x_{1},...,x_{n})-f(S)||_% {1}\leq\omega(\delta)+2||f||_{\infty}P\left(|(x_{1},...,x_{n})-S|\geq\delta\right)

Or par union disjointe et l’inégalité de Markov:

P\left(|(x_{1},...,x_{n})-S|\geq\delta\right)\leq\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P% \left(|x_{i}-S_{i}|\geq\delta\right)\leq\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{E(|x_% {i}-S_{i}|^{2})}{\delta^{2}}

Or un calcul simple donne $E(|x_{i}-S_{i}|^{2})=Var(S_{i})=\frac{x_{i}(1-x_{i})}{N}\leq\frac{1}{4N}$ donc

\limsup_{N\to\infty}\sup_{(x_{1},...,x_{n})\in[0,1]^{n}}|f(x_{1},...,x_{n})-B_% {N}(f)(x_{1},...,x_{n})|\leq\limsup_{N\to\infty}\omega(\delta)+\frac{2n||f||_{% \infty}}{4N\delta^{2}}=\omega(\delta)\to_{\delta\to 0}0.

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Corollaire A.10 (Théorème d’approximation de Weierstrass).

Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^{n}$ les polynômes (à coefficients complexes) sont denses dans $C^{0}(K,\mathbb{C})$ . En conséquence, $C^{0}(K,\mathbb{C})$ est séparable.

Démonstration :

Comme $K$ est fermé borné, $K\subset[-N,N]^{n}$ et par le théorème de Tietze D.3, $f$ continue sur $K$ se prolonge en une fonction continue sur $[-N,N]^{n}$ , il suffit donc du cas $K=[-N,N]^{n}$ que l’on obtient par translation et dilatation (qui conservent les polynômes) du résultat précédent. Comme $\mathbb{Q}[i]:=\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{C}$ , on voit facilement que les polynômes à coefficients dans $\mathbb{Q}[i]$ sont aussi denses, et forment un ensemble dénombrable, comme union dénombrable des polynomes de degré au plus $m$ en chaque variable (c’est plus simple à décrire qu’en terme de degré total) qui s’écrivent sous la forme $\displaystyle\sum_{i_{1},...,i_{n}=0}^{m}\lambda_{i}x_{1}^{i_{1}}...x_{n}^{i_{% n}}$ et qui s’identifient donc au produit $\mathbb{Q}[i]^{m^{n}}\simeq\mathbb{Q}^{2m^{n}}$ , qui est dénombrable comme produit fini d’ensembles dénombrables. □

Remarque A.1.

Plus généralement, le théorème de Stone Weierstrass indique que toute sous-algèbre $A$ (stable par conjugaison complexe) de $C^{0}(K,\mathbb{C})$ avec $K$ compact qui contient les fonctions constantes et sépare les points (au sens pour $x\neq y$ il existe $P\in A$ avec $P(x)\neq P(y)$ ) est dense pour la norme uniforme: $\overline{A}=C^{0}(K,\mathbb{C})$ .