2 Complément sur l’Espace dual (niveau début de M1)

Définition A.1.

L’espace $E^{\prime}:=L(E,\mathbb{K})$ des formes linéaires continues sur un e.v.n. $E$ est munie de la norme duale

||f||_{E^{\prime}}:=\sup_{x\in E,||x||\leq 1}|f(x)|.

On a vu dans la section précédente que c’est toujours un espace de Banach. Il sera très utile dans ce cours pour étudier $E$ lui-même.

Le résultat suivant, conséquence de Hahn-Banach permet de décrire réciproquement la norme de $E$ en terme de celle de $E^{\prime}$ (cela ressemble à la définition de $||f||_{E^{\prime}}$ mais c’est un théorème difficile ! que l’on exploitera pour relier E au dual du dual dans la section suivante):

Proposition A.1.

Soit $(E,||.||_{E})$ un e.v.n., alors

\|x\|_{E}=\sup_{f\in E^{\prime},||f||_{E^{\prime}}\leq 1}|f(x)|=\max_{f\in E^{% \prime},||f||_{E^{\prime}}\leq 1}|f(x)|.

Démonstration :

Par définition, on a

\sup_{f\in E^{\prime},||f||_{E^{\prime}}\leq 1}|f(x)|\leq\sup_{f\in E^{\prime}% ,||f||_{E^{\prime}}\leq 1}||f||_{E^{\prime}}\|x\|_{E}=\|x\|_{E}.

Inversement, on applique le Théorème de Hahn-Banach B.9 à $G=\mathbb{R}x$ en posant $g(tx)=t||x||_{E}$ de sorte que $g(tx)||\leq||tx||_{E}$ . Donc, il existe $f\in E^{\prime}$ tel que $f(x)=g(x)=||x||_{E}$ et $f(y)\leq||y||_{E}$ c’est-à-dire $||f||_{E^{\prime}}\leq 1$ . En particulier, le sup est atteint en $f$ et est donc un maximum. □

On rappelle deux exemples d’espaces classiques.

Exemple A.1.

$c_{0}(I)$ est l’ensemble des suites $(x_{i})_{i\in I}$ qui tendent vers 0 dans le sens où si $\epsilon>0$ , il existe une partie $F$ finie telle que $|x_{i}|\leq\epsilon$ pour tout $i\not\in F.$ On munit $c_{0}(I)$ de la norme sup :

||x||_{\infty}=\sup_{i\in I}|x_{i}|<\infty.

$\ell^{\infty}(I)$ est l’ensemble des suites bornée $(x_{i})_{i\in I}$ avec la même norme $||x||_{\infty}$ .

Exemple A.2.

$\ell^{1}(I)$ est l’ensemble des suites $(x_{i})_{i\in I}$ sommables, tel qu’il existe une constante $C$ , tel que pour toute partie $F$ finie telle que $\displaystyle\sum_{i\in F}|x_{i}|\leq C$ . On munit $\ell^{1}(I)$ de la norme :

||x||_{1}=\sup_{F}\displaystyle\sum_{i\in F}|x_{i}|=:\displaystyle\sum_{i\in I% }|x_{i}|<\infty.

On étudiera la dualité des espaces $L^{p}$ dans un chapitre ultérieur. Le résultat suivant donne un exemple de calcul de dual :

Proposition A.2.

Le dual de $c_{0}(I)$ est isométrique à

\ell^{1}(I)\simeq(c_{0}(I))^{\prime}.

Démonstration :

On définit $T:\ell^{1}(I)\to(c_{0}(I))^{\prime}$ par :

T((u_{i}))[(v_{i})]=\displaystyle\sum_{i\in I}u_{i}v_{i}.

Bien sûr, on a l’inégalité montrant que $T$ est bien défini et contractant :

|T((u_{i}))[(v_{i})]|\leq\displaystyle\sum_{i\in I}|u_{i}|\ |v_{i}|\leq||c\|_{% \infty}\displaystyle\sum_{i\in I}|u_{i}|.

Montrons que $T$ est isométrique. Comme les suites à support fini sont denses dans $\ell^{1}(I)$ il suffit de montrer l’égalité dans ce cas, et cela vient en posant $(v_{i})=1_{\{v_{i}\neq 0\}}\frac{\overline{v_{i}}}{|v_{i}|}\in c_{0}(I)$ si $(u_{i})$ à support fini de $T((u_{i}))(v_{i})=||(u_{i})||_{\ell^{1}}.$ Donc comme $||(v_{i})||_{c_{0}}\leq 1$ on a l’inégalité manquante :

||T((u_{i}))||_{(c_{0})^{\prime}}\geq||(u_{i})||_{\ell^{1}}.

Montrons que $T$ est surjectif. Soit $f\in(c_{0}(I))^{\prime}$ et $e_{i}$ la suite valant 1 en i et 0 ailleurs. Soit $u_{i}=f(e_{i})$ , montrons que $(u_{i})\in\ell^{1}(\mathbb{N})$ . Or par l’isométrie

||(u_{i}1_{i\in F})||_{\ell^{1}}\leq||T((u_{i}1_{i\in F}))||_{(c_{0})^{\prime}% }=||T((u_{i}))\circ v_{F}||_{(c_{0})^{\prime}}=||f\circ v_{F}||_{(c_{0})^{% \prime}}\leq||f||_{(c_{0})^{\prime}}

car $v_{F}((x_{i}))=(1_{i\in F}x_{i})$ est une contraction sur $c_{0}$ pour $F$ fini (et par le calcul à support fini qui suit qui implique $f\circ v_{F}=T((u_{i}))\circ v_{F}$ ). Donc pour tout $F$ fini :

\displaystyle\sum_{i\in F}|u_{i}|\leq||f||_{(c_{0})^{\prime}}

ce qui donne la sommabilité $u\in\ell^{1}(I).$

Montrons enfin que $f=T((u_{i}))$ .

En effet, si $v$ est à support fini, $f(v)=T((u_{i}))(v)$ par linéarité mais comme les deux côtés sont continus en $v$ et que (par définition) les suites à support fini sont denses dans $c_{0}(I)$ , on obtient $f=T((u_{i}))$ .

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Un autre résultat de base permet d’associer à une application continue $u:E\to F$ une application (dite transposée ou adjoint) entre les duaux $u^{t}:F^{\prime}\to E^{\prime}.$

Proposition A.3.

Si $u:E\to F$ est une application linéaire continue $u^{t}(f)=f\circ u$ définie une application linéaire continue $u^{t}:F^{\prime}\to E^{\prime}$ et on a

|||u^{t}|||=|||u|||.

Démonstration :

Par composition, si $f\in F^{\prime}$ , u linéaire continue, $f\circ u$ est linéaire continue donc appartient à $E^{\prime}$ . La linéarité en $f$ est évidente. de plus $||u^{t}(f)(x)||\leq||f||_{F^{\prime}}|||u|||||x||_{E}$ donc

||u^{t}(f)||_{E^{\prime}}\leq||f||_{F^{\prime}}|||u|||.

Ceci donne $|||u^{t}|||\leq|||u|||.$

Réciproquement on utilise la proposition précédente pour obtenir :

||u(x)||_{F}=\sup_{||f||_{F^{\prime}}\leq 1}|(u^{t}(f)(x))|\leq\sup_{||f||_{F^% {\prime}}\leq 1}||(u^{t}(f)||_{E^{\prime}}||x||_{E}\leq|||u^{t}|||||x||_{E}.

Ceci donne par définition de la norme subordonnée, l’autre inégalité : $|||u|||\leq|||u^{t}|||$ .

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