3 Intégrale des fonctions mesurables positives

On peut maintenant définir l’intégrale des fonctions mesurables positives:

$\bigstar$ Définition 4.12.

Soit $f:\Omega\to[0,+\infty]$ une fonction mesurable positive sur un espace mesuré $(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ , on définit l’intégrale de $f$ sur $B\in\mathscr{T}$ par rapport à $\mu$ par:

\int_{B}fd\mu\equiv\int_{B}f(\omega)d\mu(\omega)=\sup\Big{\{}\int_{B}gd\mu:g\ % \mathrm{\acute{e}tag\acute{e}e,}\ 0\leq g\leq f\Big{\}}\in[0,+\infty].

Remarque 4.3.

Pour la mesure de comptage $\nu$ sur $I$ , toute suite $a:I\to[0,+\infty]$ est mesurable positive et l’intégrale correspond à la définition de la somme d’une famille sommable:

\int_{I}fd\nu=\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}=\sup\left\{\displaystyle\sum_{j% \in J}a_{j}:J\subset I,\ \mathrm{fini}\ \right\}.

Remarque 4.4.

Si $f$ est étagée positive, pour chaque $g\leq f$ étagée positive, on a vu au lemme 4.20, $\int_{B}gd\mu\leq\int_{B}fd\mu$ donc

\int_{B}fd\mu\geq\sup\Big{\{}\int_{B}gd\mu:g\ \mathrm{\acute{e}tag\acute{e}e,}% \ 0\leq g\leq f\Big{\}}.

Et comme $f$ fait parti des $g$ du sup, on a en fait égalité, et la valeur de la définition du cas étagé positif coïncide avec la nouvelle valeure.

3.1 Premières propriétés

On reporte à l’annexe C section 4.3 la preuve facile mais fastidieuse du lemme suivant:

Lemme 4.22.

Soit $(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ un espace mesuré, et $f,h:(\Omega,\mathscr{T})\to[0,+\infty]$ mesurable positive, $A,B\in\mathscr{T}$ :

1.

(monotonie) Si $0\leq f\leq h$ alors $0\leq\int_{B}fd\mu\leq\int_{B}hd\mu$ .
2.

Si $f\geq 0$ , alors $\int_{B}fd\mu=\int_{\Omega}1_{B}fd\mu$ . En particulier, pour $A\subset B$ , $0\leq\int_{A}fd\mu\leq\int_{B}fd\mu$ .
3.

Si $f\geq 0$ , $c\geq 0$ , alors $\int_{B}cfd\mu=c\int_{B}fd\mu$ .
4.

Si $f=0$ ou $\mu(B)=0$ , alors $\int_{B}fd\mu=0$ .
5.

(sur-additivité) $\int_{B}f+hd\mu\geq\int_{B}fd\mu+\int_{B}hd\mu$ .

La dernière propriété n’est pas optimale, nous verrons l’additivité en utilisant le théorème de convergence monotone. Nous la mentionnons ici pour signaler que l’additivité n’est pas évidente à partir de la définition.

3.2 Théorème de convergence monotone de Beppo Levi

$\bigstar$ Théorème 4.23 (Théorème de convergence monotone ou TCM).

Soit $Z_{n}:(\Omega,\mathscr{T})\to[0,+\infty]$ , une suite croissante de fonctions mesurables positives qui tend simplement vers $Z$ . Alors $Z$ est mesurable et pour tout $B\in\mathscr{T}$ :

\lim_{n\to\infty}\int_{B}Z_{n}d\mu=\int_{B}Zd\mu\equiv\int_{B}\lim_{n\to\infty% }Z_{n}d\mu.

Démonstration :

La mesurabilité de $Z$ vient du théorème 4.18. Posons $\alpha=\sup_{n}\int_{B}Z_{n}d\mu$ .

Comme $Z_{n}\leq Z_{m}\leq Z$ pour $n\leq m$ , la monotonie de l’intégrale (du lemme 4.22) montre que

\int_{B}Z_{n}d\mu\leq\int_{B}Z_{m}d\mu\leq\int_{B}Zd\mu

Donc, comme la suite $\int_{B}Z_{n}d\mu$ est croissante, elle converge vers son sup et :

\lim_{n\to\infty}\int_{B}Z_{n}d\mu=\alpha\leq\int_{B}Zd\mu.

Pour la réciproque, soit $1>\epsilon>0$ et une fonction étagée $g(\omega)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}b_{i}1_{B_{i}}(\omega)\leq Z(\omega)$ . On pose $A_{n}=\{\omega\in\Omega:Z_{n}(\omega)\geq Z(\omega)-\epsilon Z(\omega)\}$ . Par la monotonie de l’intégrale et la formule pour les fonctions étagées:

\int_{B}Z_{n}d\mu\geq\int_{B}Z_{n}1_{A_{n}}d\mu\geq(1-\epsilon)\int_{B}g1_{A_{% n}}d\mu=(1-\epsilon)\displaystyle\sum_{i=1}^{m}b_{i}\mu(B_{i}\cap A_{n}\cap B).

(4.1)

Remarquons finalement que $\displaystyle\displaystyle\bigcup_{n\geq 0}A_{n}=\Omega$ vu que pour tout $\omega\in\Omega$ , $Z_{n}(\omega)\to Z(\Omega)>Z(\omega)-\epsilon Z(\omega)$ . Comme $Z_{n}$ est croissante, $A_{n}$ est aussi croissante donc par la proposition 4.3,

\mu(B_{i}\cap A_{n}\cap B)\to\mu(\displaystyle\bigcup_{n}B_{i}\cap A_{n}\cap B% )=\mu(B_{i}\cap B).

En passant à la limite dans (4.1), on obtient :

\alpha\geq(1-\epsilon)\displaystyle\sum_{i=1}^{m}b_{i}\mu(B_{i}\cap B)=(1-% \epsilon)\int_{B}gd\mu

soit en passant au sup sur $g\leq Z$ puis à la limite $\epsilon\to 0$ , on obtient l’inégalité voulue $\alpha\geq\int_{B}Zd\mu$ .

□

On obtient un résultat concret d’approximation pour $\int_{B}fd\mu$ .

Corollaire 4.24.

Soit $f$ mesurable positive. Pour toute suite croissante de fonctions étagées telle que $f_{n}\to f$ , on a $\int_{B}f_{n}d\mu\to\int_{B}fd\mu$ .

Corollaire 4.25 (Linéarité de l’intégrale: cas positif).

Soient $f, g$ mesurables positives et $\alpha,\beta>0$ , on a:

\int_{B}\alpha f+\beta gd\mu=\alpha\int_{B}fd\mu+\beta\int_{B}gd\mu.

Démonstration :

Par le lemme 4.21, on a des suites croissantes de fonctions étagées $f_{n}\to f,g_{n}\to g$ donc $\alpha f_{n}+\beta g_{n}$ est une suite croissante de fonctions étagées et $\alpha f_{n}+\beta g_{n}\to\alpha f+\beta g.$ Par le TCM ou le corollaire précédent, en passant à la limite dans l’égalité du lemme 4.20:

\int_{B}\alpha f_{n}+\beta g_{n}d\mu=\alpha\int_{B}f_{n}d\mu+\beta\int_{B}g_{n% }d\mu\to\int_{B}\alpha f+\beta gd\mu=\alpha\int_{B}fd\mu+\beta\int_{B}gd\mu.

□

$\bigstar$ Corollaire 4.26 (Interversion Série-intégrale: cas positif).

Soient $f_{n}:\Omega\to[0,+\infty]$ une suite de fonctions mesurables positives alors la somme $\displaystyle\displaystyle\sum_{n\geq 0}f_{n}:\Omega\to[0,+\infty]$ est mesurable et on a pour tout $B\in\mathscr{T}$ :

\int_{B}\displaystyle\sum_{n\geq 0}f_{n}d\mu=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\int_{% B}f_{n}d\mu.

Démonstration :

La suite des sommes partielles $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f_{k}$ est croissante mesurable (par somme finie). Le résultat est donc une application du TCM. □

3.3 Lemme de Fatou

$\bigstar$ Théorème 4.27 (Lemme de Fatou).

Soient $B\in\mathscr{T}$ et $X_{n}:(\Omega,\mathscr{T})\to[0,+\infty]$ , une suite de fonctions mesurables positives alors $\liminf_{n\to\infty}X_{n}$ est mesurable et

\int_{B}\liminf_{n\to\infty}X_{n}d\mu\leq\liminf_{n\to\infty}\int_{B}X_{n}d\mu.

Démonstration :

La mesurabilité de $\liminf_{n\to\infty}X_{n}$ vient du théorème 4.18.

Par définition, $\liminf_{n\to\infty}X_{n}=\sup_{m}Z_{m}$ pour la suite croissante $Z_{m}=\inf_{n\geq m}X_{n}\leq X_{m}$ . En particulier, par monotonie de l’intégrale, $\int_{B}Z_{m}d\mu\leq\int_{B}X_{n}d\mu$ pour $n\geq m$ , donc en passant à l’infimum: $\int_{B}Z_{m}d\mu\leq\inf_{n\geq m}\int_{B}X_{n}d\mu$ .

Par le théorème de convergence monotone, on obtient (en combinant à l’inégalité ci-dessus) :

\int_{B}\liminf_{n\to\infty}X_{n}d\mu=\lim_{m\to\infty}\int_{B}Z_{m}d\mu=\sup_% {m}\int_{B}Z_{m}d\mu\leq\sup_{m}\inf_{n\geq m}\int_{B}X_{n}d\mu\equiv\liminf_{% n\to\infty}\int_{B}X_{n}d\mu.

□

3 Intégrale des fonctions mesurables positives

★ Définition 4.12.

Remarque 4.3.

Remarque 4.4.

3.1 Premières propriétés

Lemme 4.22.

3.2 Théorème de convergence monotone de Beppo Levi

★ Théorème 4.23 (Théorème de convergence monotone ou TCM).

Corollaire 4.24.

Corollaire 4.25 (Linéarité de l’intégrale: cas positif).

★ Corollaire 4.26 (Interversion Série-intégrale: cas positif).

3.3 Lemme de Fatou

★ Théorème 4.27 (Lemme de Fatou).

$\bigstar$ Définition 4.12.

$\bigstar$ Théorème 4.23 (Théorème de convergence monotone ou TCM).

$\bigstar$ Corollaire 4.26 (Interversion Série-intégrale: cas positif).

$\bigstar$ Théorème 4.27 (Lemme de Fatou).