9 Applications linéaires continues

(Preuve facultative) $1.\Rightarrow 2.$, $2.\Rightarrow 3.$,$3.\Rightarrow 4.$,$4.\Rightarrow 5.$ sont évidentes (et n’utilisent pas la linéarité). Si on suppose $5.$, il existe $\eta >0$ tel que si $\Vert x-a\Vert \le \eta$ alors $\Vert u\left(x\right)-u\left(a\right)\Vert \le 1$. Soit $h\in E$, $h\ne 0$, $x=a+h\eta /\Vert h\Vert$ de sorte que $\Vert x-a\Vert \le \eta$, on déduit donc $\Vert u\left(h\right)\Vert \eta /\Vert h\Vert =\Vert u\left(x-a\right)\Vert \le 1$ c’est-à-dire $\Vert u\left(h\right)\Vert \le \Vert h\Vert /\eta$ (ce qui est aussi vrai pour $h=0$). En particulier, si $\Vert h\Vert \le 1$, on obtient donc 6.

Si on suppose 6., on montre finalement 1, on pose et on obtient de même pour $h\ne 0$, $\Vert u\left(h/\Vert h\Vert \right)\Vert \le C$ donc $\Vert u\left(h\right)\Vert \le C\Vert h\Vert$ (ce qui est aussi vrai pour $h=0$). Donc pour tout $x,y$ en utilisant encore la linéarité $u\left(x-y\right)=u\left(x\right)-u\left(y\right)$, on obtient :

donc $u$ est $C$-lipschitzienne.   □

Si $\varphi$ est continue, ${\varphi }^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)$ est fermé comme image inverse d’un singleton, qui est fermé. Réciproquement, supposons $\varphi$ non nulle, soit $e$ tel que $\varphi \left(e\right)=1$. Comme le complémentaire de $H$ est ouvert soit $r>0$ tel que $B(e,r)\subset H^c$.

Montrons par l’absurde que pour tout $x\in B(e,r)$, $\varphi \left(x\right)\in B\left(\mathrm{1,1}\right)$. En effet, sinon soit $x$ avec $\left|\varphi \left(x\right)-1\right|\ge 1$. Si $t=-\varphi \left(x\right)/\left(1-\varphi \left(x\right)\right)$, on $\varphi \left(te+\left(1-t\right)x\right)=t1+\left(1-t\right)\varphi \left(x\right)=t\left(1-\varphi \left(x\right)\right)+\varphi \left(x\right)=0$. Or $\Vert te+\left(1-t\right)x-e\Vert =\left|1-t\right|\Vert x-e\Vert =\Vert x-e\Vert /\left|\varphi \left(x\right)-1\right|\le r$ une contradiction car alors $y=te+\left(1-t\right)x\in B(e,r)\cap H$.

On a donc vu $\varphi \left(B(e,r)\right)\subset B\left(\varphi \left(e\right)\mathrm{,1}\right)$ d’où $\varphi$ continue par la proposition précédente.

□

Soit $B$ la boule fermée de $E$ de centre 0 et de rayon 1 et $i:L(E,F)\to C_b(B,F)$ la restriction à la boule. Par définition des normes, c’est une isométrie qui identifie donc $L(E,F)$ à un sous espace de $C_b(B,F).$ Montrons que ce sous espace est fermé (il sera donc complet par complétude de $C_b(B,F)$ par théorème 2.28).

Montrons que

Cela suffit car cela décrit $i\left(L(E,F)\right)$ comme une intersection de fermé vu que $u\mapsto u\left(y\right)$ est une application continue sur $C_b(B,F)$. L’inclusion $\subset$ est évidente. Réciproquement si $u$ est continue sur $B$ donc en $0$ et dans l’ensemble indiqué, pour $x\in E\setminus \left\{0\right\},$ on pose $u_E\left(x\right)={\Vert x\Vert }_{E}u\left(\frac{x}{{\Vert x\Vert }_E}\right)$ et $u_E\left(0\right)=0$. D’abord, si $\Vert x\Vert \le 1$ on remarque que $u_E$ étend la précédente valeure de $u$ sur $B$ (en prenant $y=0$ dans la relation). De même, $u_E$ est positivement homogène. Donc, si $(x,y)\ne 0,$ on pose $x^{\prime }=x/\max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert ),y^{\prime }=y/\max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert )$, ${\lambda }^{\prime }=\lambda /\left(\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|\right),{\mu }^{\prime }=\mu /\left(\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|\right)$ pour obtenir par homogénéité et la relation appliquée à $x^{\prime },y^{\prime },{\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime }$ :

Donc $u_E$ est linéaire continue en 0, donc linéaire continue et $u=i\left(u_E\right)$ comme souhaité.   □

Si $u\left(x\right)=0$ alors $0=\Vert u\left(x\right)\Vert =\Vert x\Vert$ donc par séparation $x=0.$   □