Calcul différentiel (séance du 9/1/13)
vendredi 28 décembre 2012
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Quelques pages semi-formelles sur le calcul différentiel. Quelques exercices ici et là.
Pour la séance du 9 janvier, vous serez supposés avoir lu ces pages, me les avoir fait corriger et compléter si nécessaire.
Exercice (proposé par Hélène, un peu complété) :
- Déterminer la différentielle du déterminant. [On pourra remarquer que la formule qui permet de développer le déterminant par rapport à une ligne ou à une colonne donne, au signe près, la dérivée partielle par rapport à une variable comme le cofacteur associé.]
- Application. En quels points la différentielle du déterminant s’annule-t-elle/est-elle surjective ? Qu’est-ce que cela nous dit de l’ensemble V des matrices non inversibles ?
Exercices (proposés par Laurent D.) :
- Quels sont les points critiques de la fonction ? Est-ce que admet un extremum en ces points ? Tracer l’allure des courbes de niveau () à partir de cette information — en particulier, la courbe de niveau .
- Quelle est la différentielle de l’application de , ?
- Quelle est la différentielle de l’application de , (où désigne le produit scalaire) ?
Exercices :
- Quelle est la différentielle de l’application , ?
- On montre que toute matrice symétrique admet une valeur propre réelle. Pour cela, on se place dans euclidien standard. Soit une matrice symétrique de taille . On considère l’application , .
- Calculer la différentielle de .
- Montrer que admet un maximum sur , la sphère unité de . On note un point où ce maximum est atteint.
- Soit un vecteur orthogonal à . Montrer qu’il existe une courbe , définie et dérivable sur un voisinage de , telle que et . En déduire que est orthogonal à .
- En utilisant ce qui précède, montrer que est un vecteur propre de .
- Quelle est la différentielle de l’application de dans les endomorphismes de qui, à , associe l’application linéaire ? Même question avec (où la transposée porte sur ).
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