2 Premiers résultats de densité (niveau M1)

On rappelle qu’une fonction étagée intégrable sur $(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ est une combinaison linéaire (finie) de fonctions indicatrices $1_{A}$ avec $\mu(A)<\infty$ .

Lemme D.2.

Soit $(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ un espace $\sigma$ -fini. L’ensemble $S$ des fonctions étagées intégrables est dense dans tous les $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ , $1\leq p<\infty$ . En particulier, $L^{1}(\Omega,\mu,\mathscr{T})\cap L^{\infty}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ est dense dans $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ pour $1\leq p<\infty$ .

Démonstration :

Cela vient de la construction de l’intégrale, et du fait que les fonctions étagées sont dans $L^{1}(\Omega,\mu,\mathscr{T})\cap L^{\infty}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ , mais rappelons une preuve. En décomposant en parties réelle et imaginaire puis parties positive et négative, on se ramène à approcher $f\in L^{p}$ avec $f\geq 0$ . Si $\Omega=\cup A_{n}\mu(A_{n})<\infty$ , on a $||f1_{A_{n}}-f||_{p}\to 0$ par convergence dominée, donc on prend $h=f1_{A_{m}}$ .

On prend

h_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{4^{n}}\frac{k}{2^{n}}1_{[\frac{k}{2^{n}},% \frac{k+1}{2^{n}}[}(h(x))=\displaystyle\sum_{k=0}^{4^{n}}\frac{k}{2^{n}}1_{h^{% -1}([\frac{k}{2^{n}},\frac{k+1}{2^{n}}[)}(x)\leq h(x)

Comme $h$ mesurable, il est facile de voir que $h\in S$ ,

||h-h_{n}||_{p}\leq||h1_{h(x)\geq 2^{n}}||_{p}+||1_{h(x)\leq 2^{n}}1_{A_{m}}||% _{p}\frac{1}{2^{n}}

et le premier terme tend vers 0 par convergence dominée (par $|h|^{p}$ ), le second car $\mu(A_{m})^{1/p}<\infty$ . Donc $h$ puis $f$ sont dans l’adhérence.

□

Pour obtenir un résultat de densité des fonctions continues, on a besoin d’un résultat de continuité sur un grand ensemble pour les fonctions mesurables. On a besoin d’une compatibilité entre théorie de la mesure et topologie qui fait l’objet de la définition suivante. L’essentiel est que la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{n}$ est un exemple de mesure de Radon, ainsi que toutes les mesures à densité par rapport à la mesure de Lebesgue (et aussi les mesures discrètes).

Définition D.1.

Une mesure de Radon positive sur $X$ localement compact est une mesure positive définie sur une tribu $\mathscr{T}$ contenant la tribu borélienne $\mathscr{B}$ et telle que :

1.

$\mu(K)<\infty$ pour $K$ compact (on parle de mesure de Borel).
2.

$\mu$ est extérieurement régulière au sens où pour tout $E\in\mathscr{T}$ , on a :

$\mu(E)=\inf\{\mu(V)|E\subset V,\ V\ \textrm{ouvert}\ \}$
3.

$\mu$ vérifie pour tout $E$ ouvert et $E\in\mathscr{T}$ avec $\mu(E)<\infty$ , on a :

$\mu(E)=\sup\{\mu(K)|E\supset K,\ K\ \textrm{compact }\ \}$
4.

$\mathscr{T}$ est complète pour $\mu$ au sens où si $E\in\mathscr{T}$ , $A\subset E$ et $\mu(E)=0$ alors $A\in\mathscr{T}$ .

On va utiliser deux lemmes topologiques (en fait reliés):

Théorème D.3 (de prolongement de Tietze).

(exo en section A) Soit $X$ un espace métrique, $F$ un fermé de $X$ et $f:F\to\mathbb{R}$ une fonction continue bornée par $C$ , alors il existe une fonction $g:X\to\mathbb{R}$ bornée par $C$ et prolongeant $f$ .

On rappelle qu’un espace topologique est dit localement compact si tout point a un voisinage (d’adhérence) compact. [Rmq: pour nous, un voisinage d’un point n’est pas forcément ouvert, c’est seulement un ensemble contenant un ouvert contenant le point] Par exemple c’est le cas de $X=\mathbb{R}^{n}$ !

Lemme D.4 (d’Urysohn).

Si $X$ est un espace métrique localement compact, $V$ un ouvert contenant un compact $K$ , alors il existe $f$ continue à support compact tel que $1_{K}\leq f\leq 1_{V}$ .

Démonstration :

Pour tout $x\in K$ , soit $U_{x}$ voisinage ouvert d’adhérence compact inclus dans $V$ (pour voir que l’adhérence peut être inclus dans $V$ il suffit d’intersecter le voisinage avec $\{y:d(y,V^{c})>\epsilon/2\}$ pour $\epsilon=d(x,V^{c})$ ). On recouvre $K$ par un nombre fini de $U_{x}$ , $K\subset U:=\cup_{i=1}^{n}U_{x_{i}}$ et $\overline{U}=\cup_{i=1}^{n}\overline{U_{x_{i}}}$ est compact et on trouve un ouvert d’adhérence compact $W$ , $V\supset W\supset\overline{U}$ et on pose $F=W^{c}\cup K.$ On définit $g:F\to\mathbb{R}$ par $g=1_{K}$ . Si $x_{n}\in F$ , $x_{n}\to x\in K$ nécessairement pour $n$ grand $x_{n}\in U$ donc $x_{n}\in K$ donc $g(x_{n})=g(x)=1$ . De même si $x\in W^{c}$ , pour n grand, $x_{n}\in(\overline{U})^{c}$ , donc $x_{n}\in W^{c}$ et $g(x_{n})=g(x)=0$ . Donc $g$ est continue sur $F$ et s’étend en une fonction $f:X\to\mathbb{R}$ continue par le théorème précédent et en centrant on a même, $0\leq f\leq 1$ ( $|f-1/2|\leq 1/2$ ). Donc le support de $f$ est dans $\overline{W}$ compact et $1_{K}\leq f\leq 1_{W}\leq 1_{V}$ ce qui conclut. □

Théorème D.5 (de Lusin).

Soit $X$ un espace métrique localement compact. $\mu$ une mesure de Radon positive. Soit $f$ une fonction complexe mesurable sur $X$ s’annulant en dehors de $A$ avec $\mu(A)<\infty$ . Alors, pour tout $\epsilon>0$ , il existe $g$ continue à support compact avec $\sup_{x\in X}|g(x)|\leq\sup_{x\in X}|f(x)|$ et telle que :

\mu(\{x:f(x)\neq g(x)\})\leq\epsilon.

Démonstration :

Cas $A$ compact, $0\leq f\leq 1$ . On pose

f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2^{n}}\frac{k}{2^{n}}1_{[\frac{k}{2^{n}},% \frac{k+1}{2^{n}}[}(f(x))\leq f_{n+1}(x)\leq f(x).

Remarquons que $t_{n}:=f_{n+1}(x)-f_{n}(x)=\frac{1}{2^{n+1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{2^{n+1}}1% _{[\frac{2k+1}{2^{n+1}},\frac{2k+2}{2^{n+1}}[}(f(x))=\frac{1}{2^{n+1}}1_{T_{n}% },(f_{-1}:=0)$ avec $T_{n}\subset A$ de sorte que:

f(x)=\displaystyle\sum_{n=-1}^{\infty}t_{n}(x).

Comme dans la preuve du lemme d’Urysohn, il existe un ouvert $A\subset V$ avec $\overline{V}$ compact, puis par régularité extérieure, on trouve $V_{n}$ ouvert avec $T_{n}\subset V_{n}\subset V$ et enfin par intérieure régularité sur les ensembles de mesures finies $K_{n}\subset T_{n}$ avec $\mu(V_{n}-K_{n})\leq 2^{-n-2}\epsilon$ . Par le lemme d’Urysohn, on trouve $h_{n}$ continue à support compact avec $1_{K_{n}}\leq h_{n}\leq 1_{V_{n}}.$ On pose

g(x)=\displaystyle\sum_{k=-1}^{\infty}2^{-n-1}h_{n}(x).

Par convergence uniforme (car normale) de la série, $g$ est continue, à support compact car inclus dans $\overline{V}$ . Enfin $2^{-n-1}h_{n}(x)=t_{n}(x)$ sauf sur $V_{n}-K_{n}$ donc $f=g$ sauf sur $\cup_{n}(V_{n}-K_{n})$ qui est de mesure au plus $\epsilon$

Cas $A$ quelconque, $0\leq f\leq 1$ . Par régularité, on prend $A\subset V$ ouvert, $K\subset V$ compact avec $\mu(A\cap K^{c})\leq\mu(V\cap K^{c})\leq\epsilon/2$ et on applique à $f1_{K}$ (vu $\{f1_{K}\neq f\}\subset A\cap K^{c}$ ) le cas précédent en remplaçant $\epsilon$ par $\epsilon/2$ .

Cas général Soit $B_{n}=\{x|f(x)|>n\}$ de sorte que $\cap B_{n}=\emptyset$ , comme $\mu(B_{1})<\infty$ en utilisant le TCM sur $1_{B_{1}}-1_{B_{n}}$ , $\mu(B_{n})\to 0$ , on applique à $(1-1_{B_{n}})f$ en décomposant la fonction en somme de 4n fonctions à valeur $[0,1]$ (4 pour décompositions en parties positives, négatives des parties imaginaires et réelles, et ces fonctions sont dans $[0,n]$ d’où la décomposition en somme de $n$ fonctions à valeurs $[0,1]$ ). Enfin pour avoir l’inégalité on remplace $g$ par $\phi\circ g$ avec $\phi(x)=x,|x|\leq R=\sup_{x\in X}|f(x)|$ , $\phi(x)=Rx/|x|,|x|>R$ . On a $g(x)=\phi\circ g(x)$ pour tout $x$ tel que $f(x)=g(x)$ , donc on n’augmente pas l’ensemble sur lequel $f$ et $g$ diffèrent. □

Corollaire D.6.

Soit $(X,\mu,\mathscr{T})$ un espace métrique localement compact avec $\mu$ mesure de Radon $\sigma$ -finie. L’ensemble $C_{c}(X)$ des fonctions continues à support compact est dense dans tous les $L^{p}(X,\mu,\mathscr{T})$ , $1\leq p<\infty$ . De plus si $f\in L^{p}(X,\mu,\mathscr{T})$ et $\int f\phi=0$ , pour tout $\phi\in C_{c}(X)$ alors $f=0\ p.p.$

Démonstration :

Par le lemme précédent, il suffit d’approcher les éléments de $S$ . Par le théorème de Lusin D.5, pour chaque $f\in S$ , $\epsilon>0$ , on a $g\in C_{c}(X)$ avec $\mu(g\neq f)\leq\epsilon$ et $\sup|g|\leq sup|f|=C$ donc $||f-g||_{p}\leq 2C\mu(g\neq f)^{1/p}$ et cette quantité est arbitrairement petite. Pour le résultat d’annulation, si $p>1$ , On utilise la densité dans $L^{q}$ , q exposant conjugué, pour obtenir $\int fg=0$ pour $g\in L^{q}$ , d’où on déduit $||f||_{p}=0$ par la proposition D.1. Si $p=1$ , on remplace $f$ par $f|_{V}$ avec $V$ ouvert $\overline{V}$ compact, qui couvrent $X$ par locale compacité de sorte qu’on peut supposer $\mu(X)<\infty.$ On peut supposer $f$ réelle. Soit $f_{1}\in C_{c}(X)$ avec $||f-f_{1}||_{1}\leq\epsilon$ , $K_{1}=f_{1}^{-1}([\epsilon,\infty[)$ et $K_{-1}=f_{1}^{-1}(]-\infty,\epsilon])$ sont compacts, on prolonge par le Théorème de Tietze D.3, $u\in C_{c}(X)$ valant $\epsilon$ sur $K_{\epsilon}$ et soit $K=K_{1}\cup K_{-1}$ . Donc

||f_{1}||_{1}=\int_{K}f_{1}u+\int_{X-K}|f_{1}|\leq\int_{X}f_{1}u+2\int_{X-K}|f% _{1}|\leq\epsilon+\int_{X}fu+2\mu(X-K)\epsilon\leq\epsilon+2\mu(X)\epsilon

car $|f_{1}|\leq\epsilon$ sur $X-K$ . Donc $||f||_{1}\leq 2\epsilon+2\mu(X)\epsilon$ pour tout $\epsilon>0$ ce qui donne $f=0$ . □

Donnons une application.

Proposition D.7.

Soit $1\leq p<\infty$ et soit $\tau_{h}f(x):=f(x+h)$ pour $h,x\in\mathbb{R}^{d},f\in L^{p}(\mathbb{R}^{d}).$ La translation $\tau_{h}:L^{p}(\mathbb{R}^{d})\to L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ est isométrique et pour tout $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ $h\mapsto\tau_{h}(f)$ est continue de $\mathbb{R}^{d}\to L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ .

Démonstration :

L’isométrie est évidente par invariance de la mesure de Lebesgue par translation. Montrons que $||\tau_{h}f-f||_{p}\to_{h\to 0}0$ . En effet pour $\epsilon>0$ , par densité du lemme D.6, on trouve $f_{1}\in C_{c}(\mathbb{R}^{d})$ avec $||f_{1}-f||_{p}\leq\epsilon/3$ donc comme $\tau_{h}$ est une isométrie: on obtient :

||\tau_{h}f-f||_{p}\leq||\tau_{h}f_{1}-\tau_{h}f||_{p}+||\tau_{h}f_{1}-f_{1}||% _{p}+||f_{1}-f||_{p}\leq 2\epsilon/3+Leb(B(0,||h||)+\text{Supp}(f_{1}))^{1/p}|% |\tau_{h}f_{1}-f_{1}||_{\infty}

Pour $h$ assez petit, comme $f_{1}$ est uniformément continue (car continue à support compact et par le Théorème de Heine), on peut trouver $1\geq\delta>0$ de sorte que si $||h||\leq\delta$ , $||\tau_{h}f_{1}-f_{1}||_{\infty}=\sup_{x}|f_{1}(x+h)-f_{1}(x)|\leq\epsilon/[3% Leb(B(0,1)+\text{Supp}(f_{1}))^{1/p}]$ ce qui conclut. □