1 Formule alternative de la norme (niveau L3)

On va en déduire l’expression alternative suivante dont l’inégalité triangulaire se déduit facilement. Cette méthode a l’avantage d’être utile pour le calcul du dual.

Proposition D.1.

Soit $\mu$ $\sigma$ -finie, $p\in[1,\infty]$ , $q$ tel que $1/p+1/q=1$ le coefficient conjugué, alors pour tout $g$ mesurable

||g||_{q}=\sup\{\left|\int fgd\mu\right|;||f||_{p}\leq 1,{{}fg\in L^{1}(\Omega% ,\mu),f\in L^{1}(\Omega,\mu)\cap L^{\infty}(\Omega,\mu)}\}.

Démonstration :

Soit $A_{n}$ croissant telle que $\cup A_{n}=\Omega,\mu(A_{n})<\infty.$ On commence par le cas $g\in L^{q}(\Omega,\mu).$

Par Hölder, $fg\in L^{1}$ donc l’intégrale est définie (avec la condition $||f||_{p}\leq 1$ seule) et

\left|\int fgd\mu\right|\leq||fg||_{1}\leq||f||_{p}||g||_{q}

d’où $||g||_{q}$ est plus grand que le sup de l’énoncé. Mais, pour $p\in]1,\infty[,$ si on prend $f=\overline{g}|g|^{q-2}/||g||_{q}^{q-1}$ on a $|f|^{p}=|g|^{p(q-1)}/||g||_{q}^{p(q-1)}=|g|^{q}/||g||_{q}^{q}$ car $p(q-1)=qp(1-1/q)=q$ , donc $f\in L^{p}$ et $||f||_{p}^{p}=E(|f|^{p})=||g||_{q}^{q}/||g||_{q}^{q}=1$ . Donc $||f1_{A_{n}}||_{p}^{p}\leq||f||_{p}^{p}\leq 1$ donc comme $L^{p}(A_{n},\mu)\subset L^{1}(A_{n},\mu)$ car $\mu(A_{n})<\infty$ on a $f1_{A_{n}}\in L^{1}(\Omega,\mu)$ et donc

g_{n,m}(f)=1_{\{f1_{A_{n}}\neq 0\}}\frac{f1_{A_{n}}}{|f1_{A_{n}}|}min(m,|f1_{A% _{n}}|)\in L^{\infty}(\Omega,\mu)\cap L^{1}(\Omega,\mu)

d’où le $\sup$ est supérieur à

\left|\int g_{n,m}(f)gd\mu\right|\to_{m\to\infty}\left|\int f1_{A_{n}}gd\mu% \right|\to_{n\to\infty}\left|\int fgd\mu\right|

(par convergence dominée par $|g_{n,m}(f)g|\leq|fg|$ ) et le sup est supérieur à $\left|\int fgd\mu\right|=\int|g|^{q}d\mu/||g||_{q}^{q-1}=||g||_{q}.$ On déduit donc l’égalité énoncée.

Si $p=1,q=\infty$ , soit

C>\sup\left\{\left|\int fgd\mu\right|;||f||_{1}\leq 1{}fg\in L^{1}(\Omega,\mu)% ,f\in L^{1}(\Omega,\mu)\cap L^{\infty}(\Omega,\mu)\right\}

et $A=\{x:|g(x)|>C\}$ . Supposons par l’absurde que $\mu(A)>0$ soit $B\subset A$ avec $\mu(B)\in]0,\infty[$ . Alors $f=1_{B}\frac{\overline{g}}{|g|\mu(B)}$ est dans $L^{1}$ et $||f||_{1}=1$ (et borné par $1/\mu(B)$ donc dans $L^{\infty}$ ) mais $\left|\int fgd\mu\right|=\int 1_{B}\frac{|g|}{\mu(B)}\geq C$ en contradiction avec le choix de $C$ donc $\mu(A)=0$ ce qui implique $||g||_{\infty}\leq C$ ce qui donne le résultat en prenant l’inf des $C$ .

Si $p=\infty,q=1$ , il suffit de prendre $f=1_{g\neq 0}\frac{\overline{g}}{|g|}\in L^{\infty}(\Omega)$ et $f1_{A_{n}}\in L^{\infty}(\Omega)\cap L^{1}(\Omega)$ de sorte que $f1_{A_{n}}g=|f|1_{A_{n}}$ et la norme $||f1_{A_{n}}||_{\infty}\leq 1.$ Donc le supremum, est supérieur à $\int|f|1_{A_{n}}d\mu\to||f||_{1}$ par convergence monotone.

Si on ne suppose plus $g\in L^{q}(\Omega,\mu)$ mais $||g||_{q}=\infty$ . Soit alors $g_{n,m}=1_{\{g\neq 0\}}\frac{g}{|g|}min(m,|g|)1_{A_{n}}\in L^{q}(\Omega,\mu)$ on obtient $f_{n,m,k}\in L^{1}\cap L^{\infty}$ de norme $\leq 1$ dans $L^{p}$ tel que

|\int f_{n,m,k}g_{n,m}|\to_{k\to\infty}||g_{n,m}||_{q}.

Comme on a l’inégalité par Hölder,

\left|\int f_{n,m,k}(g_{n,m}-g1_{A_{n}})\right|\leq||f_{n,m,k}||_{p}||(g_{n,m}% -g1_{A_{n}})||_{q}\leq||(g_{n,m}-g1_{A_{n}})||_{q}\to_{m\to\infty}0

par convergence monotone car $|\min(|g|,m)-|g||^{q}$ décroit vers $0$ , on trouve une suite $m_{k}$ tel que

|\int f_{n,m_{k},k}g1_{A_{n}}|\to_{k\to\infty}||g1_{A_{n}}||_{q}

(fini ou infini). Enfin comme par convergence monotone $||g1_{A_{n}}||_{q}\to||g||_{q}$ , on trouve une suite

|\int f_{n_{k},m_{k},k}g1_{A_{n}}|\to_{k\to\infty}||g||_{q}=\infty.

Comme $||f_{n_{k},m_{k},k}1_{A_{n}}||_{p}\leq 1$ , et $f_{n_{k},m_{k},k}1_{A_{n}}\in L^{1}\cap L^{\infty}$ et $f_{n_{k},m_{k},k}g1_{A_{n}}\in L^{1}$ cela donne la solution :

\sup\{\left|\int fgd\mu\right|;||f||_{p}\leq 1,fg\in L^{1}(\Omega),f\in L^{1}% \cap L^{\infty}\}=\infty=||g||_{q}.

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Exemple D.1.

Dans le cas où $\mu$ est la mesure de comptage sur $I$ ( $\sigma$ -finie si $I$ dénombrable), $\mu(A)=Card(A)$ , on obtient l’espace $\ell^{p}(I,\mathbb{K})$ des suites indicées par $I$ de puissance $p$ sommable, i.e. telles que

\displaystyle\sum_{i\in I}|x_{i}|^{p}<\infty

pour $p\in[1,\infty[$ et l’ensemble des suites bornées, c’est-à-dire telles que

||x||_{\infty}=\sup_{i\in I}|x_{i}|<\infty

pour $p=\infty$ .