6 Régularisation par convolution

On étudiera plus systématiquement au chapitre suivant certaines classes importantes de fonctions continues. Pour $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ un ouvert. On note $C^{k}(\Omega)$ l’ensemble des fonctions $k$ -fois différentiables avec leurs dérivées continues et $C^{k}_{c}(\Omega)$ les fonctions à support compact de $C^{k}(\Omega)$ . Pour simplifier si $\alpha\in\mathbb{N}^{d}$ , on note

D^{\alpha}f=\frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}\cdots% \frac{\partial^{\alpha_{d}}}{\partial x_{d}^{\alpha_{d}}}f.

On note $|\alpha|=|\alpha_{1}|+...+|\alpha_{d}|.$ On note

C^{\infty}(\Omega)=\cap_{k\in\mathbb{N}}C^{k}(\Omega),\ \ \ C^{\infty}_{c}(% \Omega)=\cap_{k\in\mathbb{N}}C^{k}_{c}(\Omega).

Proposition D.12.

Soit $1\leq p\leq\infty$ . Si $f\in C^{k}_{c}(\mathbb{R}^{d}),g\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ , $k\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ alors $f*g\in C^{k}(\mathbb{R}^{d})$ et si $|\alpha|\leq k$ :

D^{\alpha}(f*g)=D^{\alpha}(f)*g.

De plus, si $p<\infty,$ on a aussi la formule comprise comme intégrale de Riemann à valeur $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ , si $\text{Supp(f)}\subset[-C,C]^{d}$ :

f*g=\int_{[-C,C]^{d}}dyf(y)\tau_{-y}g.

Démonstration :

Par récurrence il suffit du cas $k=1$ . On applique le théorème de dérivation avec condition de domination. $\frac{\partial}{\partial x_{i}}f(x-y)g(y)=(\frac{\partial}{\partial x_{i}}f)(x% -y)g(y).$

Comme $(\frac{\partial}{\partial x_{i}}f)$ est à support compact et continue, il est borné par $||(\frac{\partial}{\partial x_{i}}f)||_{\infty}$ et

|\frac{\partial}{\partial x_{i}}f(x-y)g(y)|\leq||\frac{\partial}{\partial x_{i% }}f||_{\infty}1_{K}(x-y)g(y),

avec $K$ le compact support de $f$ . Or par Hölder $\int 1_{B-K}(y)|g|(y)dy\leq Leb(B-K)^{1/q}||g||_{p}$ , donc on a une domination par une fonction intégrable $c1_{B-K}g$ si $x\in B$ avec $B$ compact. Le théorème de dérivation 4.39 conclut donc. De plus, par changement de variables linéaire si $\text{Supp(f)}\subset[-C,C]^{d}$ , on a

f*g(x)=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(x-y)g(y)dy=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(y)g(x-y)dy=% \int_{[-C,C]^{d}}f(y)(\tau_{-y}g)(x)dy

avec $\tau_{h}(g)(x)=g(x+h).$ On a vu à la proposition D.7 que $y\mapsto f(y)(\tau_{-y}g)$ est continue à valeur $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ on peut donc parler de son intégrale de Riemann, sur $[-C,C]^{d}$ (calculée successivement variable par variable). On obtient une suite (de sommes de Riemann) qui converge dans $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ , donc quitte à extraire une suite qui converge p.p. et donc p.p. la limite $\int_{[-C,C]^{d}}dyf(y)(\tau_{-y}g)$ coïncide avec l’intégrale de Riemann $\int_{[-C,C]^{d}}dyf(y)(\tau_{-y}g)(x)$ par exemple si $g$ est continue à support compact et cette intégrale vaut l’intégrale de Lebesgue donc $f*g(x)$ . On en déduit l’égalité voulue dans $L^{p}$ si $g$ continue à support compact. Or par densité, on a une suite de fonctions $g_{n}$ continues à support compact convergeant dans $L^{p}$ vers $g$ . Et comme $\sup_{\mathbb{R}^{d}}||\tau_{-y}g_{n}-\tau_{-y}g||_{p}\to 0$ , $f(.)(\tau_{-.}g_{n})$ converge uniformément vers $f(.)(\tau_{-.}g)$ et comme l’intégrale de Riemann est continue pour la convergence uniforme $\int_{[-C,C]^{d}}dyf(y)(\tau_{-y}g)$ est la limite de $\int_{[-C,C]^{d}}dyf(y)(\tau_{-y}g_{n})$ dans $L^{p}$ qu’on a déjà vu valoir $f*g_{n}$ , qui a pour limite $f*g$ donc $\int_{[-C,C]^{d}}dyf(y)(\tau_{-y}g)=f*g.$ □