5 Support de la convolution

Si $f$ continue, $\text{Supp}(f)=\overline{\{x:f(x)\neq 0\}}.$ Le résultat suivant permet d’étendre la définition aux fonctions mesurables.

Lemme D.10.

Pour $f:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{K}$ mesurable, soit $(\omega_{i})_{i\in I}$ la famille de tous les ouverts tels que, pour chaque i, $f=0$ p.p sur $\omega_{i}$ . Si $\omega=\cup_{i\in I}\omega_{i}$ alors $f=0$ p.p. sur $\omega$ . De sorte que $\omega$ est le plus grand ouvert sur lequel $f=0$ p.p.

Démonstration :

Il faut écrire $\omega$ comme union dénombrable car $I$ n’est pas forcément dénombrable. Soit $K_{n}=\{x\in\omega:||x||\leq n,d(x,\omega^{c})\geq 1/n\}$ comme la distance à un fermé est continue, on voit que $K_{n}$ fermé borné de $\mathbb{R}^{n}$ (e.v.n de dimension finie) donc est compact et $\omega=\cup_{n\in\mathbb{N}}K_{n}$ . Par compacité, $K_{n}$ , recouvert par une union finie $K_{n}\subset\omega_{i_{n,1}}\cup...\cup\omega_{i_{n,r_{n}}}$ . donc $\omega=\cup_{n\in\mathbb{N},j\leq r_{n}}\omega_{i,j}$ est union dénombrable d’ouvert sur lesquels $f=0$ p.p. d’où le résultat. □

Définition D.2.

Soit $f:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{K}$ mesurable, On pose $\text{Supp}(f)=\mathbb{R}^{d}-\omega$ où $\omega$ est le plus grand ouvert sur lequel $f=0$ p.p. Si $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ , on pose $\text{Supp}(f)=\text{Supp}(f_{1})$ pour n’importe quel représentant $f_{1}\in f$ de la classe d’égalité presque partout.

Proposition D.11.

Si $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{d}),g\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ alors:

\text{Supp}(f*g)\subset\overline{\text{Supp}(f)+\text{Supp}(g)}.

Démonstration :

On fixe $x\in\mathbb{R}^{d}$ avec $y\mapsto f(x-y)g(y)\in L^{1}$ . Si $x\not\in\text{Supp}(f)+\text{Supp}(g)$ , on a $(x-\text{Supp}(f))\cap\text{Supp}(g)=\emptyset$ donc en intégrant $f*g(x)=0$ sur $Int((\text{Supp}(f)+\text{Supp}(g))^{c})=(\overline{\text{Supp}(f)+\text{Supp}% (g)})^{c}$ . Donc $f*g$ est 0, p.p. sur cet ouvert de sorte qu’il est inclus dans $\text{Supp}(f*g)^{c}$ . □