4 Convolution

Dans cette section, on considère l’espace mesuré $(\Omega,\mu,\mathcal{T})=(\mathbb{R}^{d},Leb,\mathcal{B})$ muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. On note alors $L^{p}(\mathbb{R}^{d})=L^{p}(\mathbb{R}^{d},Leb,\mathcal{B}).$ Vu l’accord avec l’intégrale de Riemann, on note aussi $dy=d\lambda(y)$ .

Théorème D.9 (définissant la Convolution).

Soient $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{d}),g\in L^{p}(\mathbb{R}^{d}),1\leq p\leq\infty.$ Pour presque tout $x\in\mathbb{R}^{d}$ , $y\mapsto f(x-y)g(y)$ est dans $L^{1}(\mathbb{R}^{d})$ . La convolution de $f$ et $g$ est la fonction $f*g$ définie par :

(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(x-y)g(y)dy.

Alors $f*g\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ et :

||f*g||_{p}\leq||f||_{1}||g||_{p}.

Démonstration :

Si $p=\infty$ , comme $|g|\leq||g||_{\infty}p.p.$ , $f(x-y)g(y)\leq||g||_{\infty}|f(x-y)|$ d’où l’intégrabilité et la borne souhaitée en intégrant (comme la mesure de Lebesgue est invariante par translation).

On suppose d’abord $p=1$ et on utilise le Théorème de Fubini Tonelli pour calculer:

\int dx|f|*|g|(x)=\int dx\int dy|f(x-y)||g(y)|=\int dy\int dx|f(x-y)||g(y)|=||% f||_{1}\int dy|g(y)|=||f||_{1}\ ||g||_{1}<\infty

On déduit du théorème de Fubini que pour presque tout $x$ , $y\mapsto f(x-y)g(y)$ est intégrable et on obtient la borne souhaitée

||f*g||_{1}\leq||f||_{1}||g||_{1}.

Pour $1<p<\infty$ , soit $q$ l’exposant conjugué. Du cas $p=1$ on déduit $y\mapsto|f(x-y)||g(y)|^{p}$ est dans $L^{1}$ donc $y\mapsto|f(x-y)|^{1/p}|g(y)|$ est dans $L^{p}$ pour presque tout $x$ . Or $y\mapsto|f(x-y)|^{1/q}\in L^{q}$ donc par Hölder, $y\mapsto|f(x-y)||g(y)|=|f(x-y)|^{1/p}|g(y)|.|f(x-y)|^{1/q}$ est dans $L^{1}$ et

|(f*g)(x)|^{p}\leq\left(\int|f(x-y)||g(y)|dy\right)^{p}\leq\left(\int|f(x-y)||% g(y)|^{p}dy\right)||f||_{1}^{p/q}.

Par l’inégalité précédente du cas $p=1$ , on obtient donc en intégrant:

||f*g||_{p}^{p}\leq||f||_{1}^{p/q}|||f|*|g|^{p}||_{1}\leq||f||_{1}^{p/q}||g||_% {p}^{p}||f||_{1}=||f||_{1}^{p}||g||_{p}^{p}.

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Exercice D.1.

(cf TD) Soit $f\in L^{1},g\in L^{p},h\in L^{q}$ , $\check{f}(x)=\overline{f}(-x)$ Montrer que:

\int\overline{(f*g)}h=\int\overline{g}(\check{f}*h).