3 Dualité des espaces de Lebesgue $L^{p}(\Omega)$ (Niveau M1)

On rappelle que $(\Omega,\mu)$ est un espace mesuré $\sigma$ -fini. On se souvient que pour $p\in[1,\infty]$ , $q$ tel que $1/p+1/q=1$ la proposition D.1 donne pour $g$ mesurable :

||g||_{q}=\sup\{\left|\int fgd\mu\right|;||f||_{p}\leq 1,f\in L^{1}(\Omega,\mu% )\cap L^{\infty}(\Omega,\mu),fg\in L^{1}(\Omega,\mu)\}.

On a même le théorème suivant (on notera que $p<\infty$ contrairement au cas de la formule pour la norme ):

Théorème D.8 (de représentation de Riesz $L^{p}$ ).

Soit l’application définie grâce à l’inégalité de Hölder:

I:f\in L^{q}(\Omega,\mu)\mapsto(g\in L^{p}(\Omega,\mu)\mapsto\int fgd\mu)

Alors $I:L^{q}(\Omega,\mu)\to(L^{p}(\Omega,\mu))^{\prime},$ réalise une isométrie SURJECTIVE pour $p\in[1,\infty[$ et $q$ exposant conjugué c’est-à-dire tel que $1/p+1/q=1$ .

Attention le cas $p=\infty$ est EXCLU… $L^{\infty}(\Omega)^{\prime}$ est un espace très gros de mesures sur un espace stonien compact $X$ tel que $L^{\infty}(\Omega)=C^{0}(X)$ .

Démonstration :

Une première preuve classique utilise le théorème de Radon-Nikodym qui est au programme du cours de Th de la mesure (cf. par exemple le cours de Probabilités de Philippe Barbe et Michel Ledoux [1]). Il existe aussi une preuve par l’uniforme convexité dans le livre d’Haim Brezis d’analyse fonctionnelle pour $p\neq 1$ et avec une preuve directe n’utilisant que le cas $p=2$ (cas Hilbert simple) pour le cas $p=1$ . On donne ici une méthode d’analyse fonctionnelle plus abstraite.

On a déjà montré l’isométrie, il reste à voir la surjectivité.

On fixe $A_{n}$ avec $\mu(A_{n})<\infty$ et $\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\Omega$ , $A_{n}$ croissant.

Le cas $p=2$ a été traité par le théorème de représentation de Riesz.

(1) cas $p=1$ Soit $\phi\in(L^{1}(\Omega,\mu))^{\prime}$ avec $||\phi||\leq 1$ . D’abord on définit $T$ application linéaire continue sur $L^{2}(\Omega)$ (en fait à valeur dans son dual identifié à lui même) par :

\langle Tx,y\rangle=\phi(\overline{x}y)

vu que $\overline{x}y\in L^{1}(\Omega)$ par Hölder et on a

||T||:=\sup\{||Tx||_{2},||x||_{2}\leq 1\}=\sup\{|\langle Tx,y\rangle|,||x||_{2% }\leq 1,||y||_{2}\leq 1\}\leq||\phi||_{L^{1}(\Omega)^{\prime}}.

La première égalité est la définition de la norme des applications linéaires bornées, la deuxième est le résultat de dualité du cas $p=2$ , la troisième utilise Hölder et la définition de la norme du dual. Notons que si $z\in L^{\infty}(\Omega),$

\langle Tzx,y\rangle=\phi(\overline{z}\overline{x}y)=\langle Tx,\overline{z}y% \rangle=\langle zTx,y\rangle

la deuxième relation en utilisant la commutativité des espaces de fonctions soit la relation $\overline{z}\overline{x}y=\overline{x}\overline{z}y$ et la seconde la définition du produit scalaire $\langle Tx,\overline{z}y\rangle=\int\overline{Tx}\overline{z}yd\mu.$ donc on déduit si $m_{z}$ est la multiplication par $z\in L^{\infty}$ , $Tm_{z}=m_{z}T.$ Montrons que $T=m_{g}$ pour $g\in L^{\infty}.$ (on dit que cette algèbre est son propre commutant dans $B(L^{2}(\Omega))$ , ou qu’elle est maximale commutative).

En effet, soit $x_{n}=T(1_{A_{n}})\in L^{2}$ . On a $||T||\leq 1$ car $||\phi||\leq 1$ .

Pour $g\in L^{\infty}$ avec $||g||_{1}\leq 1$ ,

\left|\int T(1)gd\mu\right|=\left|\int(|g|^{1/2}T)(1)g|g|^{-1/2}d\mu\right|=% \left|\int T(|g|^{1/2})g|g|^{-1/2}d\mu\right|\leq|||g|^{1/2}||_{2}||g|g|^{-1/2% }||_{2}=||g||_{1}\leq 1

où on a utilisé à la deuxième égalité la commutation avec $m_{|g|^{1/2}}$ . On voit donc par la formule de la proposition D.1 que $||T(1_{A_{n}})||_{\infty}\leq 1$ . Comme $T(1_{A_{m}})=T(1_{A_{m}}1_{A_{n}})=1_{A_{m}}T(1_{A_{n}})$ donc on définit $g(x)=T(1_{A_{n}})(x)$ pour $x\in A_{n}$ de façon cohérente de sorte que $g1_{A_{n}}=T(1_{A_{n}})$ d’où $||g||_{\infty}=\sup_{n}||g1_{A_{n}}||_{\infty}\leq 1$ .

Et pour $z\in\in L^{\infty}\cap L^{1}\subset L^{2}$ $T(z1_{A_{n}})=m_{g}(z1_{A_{n}})$ donc par densité dans $L^{2}$ $T=m_{z}$ . Enfin pour $f\in L^{1}(\Omega)$ $f=|f|^{1/2}g$ avec $g\in L^{2}$ , on obtient

\phi(f)=\phi(|f|^{1/2}g)=\langle T(|f|^{1/2}),g\rangle=\langle z(|f|^{1/2}),g% \rangle=I(\overline{z})(|f|^{1/2}g)=I(\overline{z})(f).

donc $\phi=I(\overline{z})$ d’où la surjectivité de $I$ .

(2) cas $p>1$ $\mu(\Omega)<\infty$ utilisant les cas $p=1,2$ . (On l’appliquera ensuite à $\Omega=A_{n}$ .) Après normalisation, on peut supposer $\mu(\Omega)=1$ .

On commence par montrer que via $I$ , $L^{p}(\Omega)^{\prime}\subset L^{1}(\Omega).$ Si $p\leq 2,$ c’est évident par l’inclusion $L^{2}(\Omega)\subset[L^{p}(\Omega)]$ et par restriction et théorème de representation de Riesz, on obtient $g\in L^{2}(\Omega)\subset L^{1}(\Omega)$ tel que

\phi|_{L^{2}(\Omega)}(f)=\langle\overline{g},f\rangle

Si $p>2$ pour $x\in L^{\infty},$ et $\phi\in(L^{p})^{\prime}$ ,

|\phi(x)|^{p}\leq\int|x|^{p}d\mu\leq\int|x|^{2}||x||_{\infty}^{p-2}d\mu\leq||x% ||_{2}^{2}||x||_{\infty}^{p-2}.

Par l’inégalité d’Young (cas particulier d’Holder utilisé dans sa preuve) $|ab|\leq a^{P}/P+b^{Q}/Q$ utilisé avec $1/P+1/Q=1,P=p/2,Q=p/(p-2)$ , $a=||x||_{2}^{1/P}/\epsilon^{1/Q},b=(\epsilon||x||_{\infty})^{1/Q}$ , on obtient :

|\phi(x)|\leq\frac{\epsilon}{Q}||x||_{\infty}+\frac{1}{P\epsilon^{P/Q}}||x||_{% 2}.

En incluant $\{(x,x),x\in(L^{\infty}(\Omega))\}\subset L^{\infty}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)$ avec norme $||(x,y)||=\frac{\epsilon}{Q}||x||_{\infty}+\frac{1}{P\epsilon^{P/Q}}||y||_{2}$ on étend par Hahn Banach $\phi$ à $L^{\infty}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)$ donnant un élément de $(\phi_{1},\phi_{2})\in L^{\infty}(\Omega)^{\prime}\times L^{2}(\Omega)$ avec $||\phi_{1}||\leq\epsilon/Q,||\phi_{2}||\leq\frac{1}{P\epsilon^{P/Q}}$ (car en calculant la norme duale on a $\max(Q||\phi_{1}||/\epsilon,P\epsilon^{P/Q}||\phi_{2}||)\leq 1$ ) Donc $||\phi|_{L^{\infty}(\Omega)}-J(\phi_{2})||_{(L^{\infty}(\Omega))^{\prime}}=||% \phi_{1}||_{(L^{\infty}(\Omega))^{\prime}}\leq\epsilon/Q$ et $\phi_{2}\in L^{1}(\Omega)$ . Or par le cas $p=1$ , $(L^{1}(\Omega))^{\prime\prime}=L^{\infty}(\Omega)^{\prime}$ et il contient $L^{1}(\Omega)$ comme espace fermé isométriquement via $J$ (comme tout espace de Banach est inclus isométriquement comme espace fermé dans son bidual). Comme le résultat précédent indique $\phi\in\overline{L^{2}(\Omega)}^{(L^{1}(\Omega))^{\prime\prime}}$ , on déduit $\phi\in J(L^{1}(\Omega))$ comme voulu. On a donc une fonction $g$ telle que pour tout $f\in L^{\infty}(\Omega)$

\phi(f)=\int_{\Omega}gfd\mu

Soit donc $g$ l’image dans $L^{1}$ de $\phi$ (on revient au cas général $p\in]1,\infty[$ ). Or dans le cas d’un espace avec mesure finie, l’équation de la proposition D.1 donne :

||\phi||_{(L^{p})^{\prime}}=\sup\{|\phi(x)|,||x||_{p}\leq 1,x\in L^{\infty}\}=% \sup\{|\int gxd\mu|,||x||_{p}\leq 1,x\in L^{\infty}\}=||g||_{q}

On déduit donc $g\in L^{q}$ comme on voulait et $\phi=T(g)$ (en étendant la relation depuis $L^{\infty}(\Omega)$ par densité dans $L^{p}(\Omega)$ .

(3)cas $1<p<\infty$ et $\mu$ $\sigma$ -fini. Soit $\phi\in(L^{p}(\Omega,\mu))^{\prime}$ , il faut montrer qu’elle vient d’un élément de $L^{q}(\Omega,\mu)$ . On pose $\phi_{n}(f)=\phi(f1_{A_{n}})$ pour $f\in L^{p}(A_{n},\mu)\subset L^{p}(\Omega,\mu)$ . Par le cas précédent, il existe $g_{n}\in L^{q}(A_{n},\mu)$ telle que

\forall f\in L^{p}(A_{n},\mu),\ \ \int g_{n}fd\mu=\phi(f1_{A_{n}}).

||g_{n}||_{q}=\sup\{\left|\phi(f1_{A_{n}})\right|;||f||_{p}\leq 1,f\in L^{% \infty}(A_{n},\mu)\}\leq||\phi||_{(L^{p})^{\prime}}<\infty.

Or par unicité dans le cas (2) et vu les $A_{n}$ croissant pour $n>m$ , $g_{n}1_{A_{m}}=g_{m}$ et donc $|g_{n}|$ est croissant et $g=\sup|g_{n}|$ vérifie par convergence monotone $||g||_{q}\leq||\phi||_{(L^{p})^{\prime}}$ , vu $|g_{n}|\leq|g|$ et comme $g_{n}\to g$ p.s., on déduit par convergence dominée $||g_{n}-g||_{q}\to 0$ et en passant à la limite $g_{n}=g1_{A_{n}}$ .

Or $f1_{A_{n}}\to f$ dans $L^{p}$ et donc par continuité la relation $\phi(f1_{A_{n}})=T(g)(f1_{A_{n}})$ devient $\phi(f)=T(g)(f)$ pour tout $f\in L^{p}$ donc $\phi=T(g).$

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3 Dualité des espaces de Lebesgue Lp⁢(Ω) (Niveau M1)

Théorème D.8 (de représentation de Riesz Lp).

3 Dualité des espaces de Lebesgue $L^{p}(\Omega)$ (Niveau M1)

Théorème D.8 (de représentation de Riesz $L^{p}$ ).