7 Suites régularisantes et densité par convolution

Définition D.3.

Une suite régularisante est une suite de fonctions $\rho_{n}\in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})$ avec $\int_{\mathbb{R}^{d}}\rho_{n}=1$ , $\rho_{n}\geq 0$ et $\text{Supp}(\rho_{n})\subset B_{||.||_{2}}(0,1/n)$ .

Exercice D.2.

Montrer que si $\rho_{n}(x)=Cn^{d}\rho(nx)$ avec $C\int\rho=1$ et $\rho(x)=1_{\{||x||_{2}<1\}}\exp(\frac{1}{||x||_{2}^{2}-1})$ alors $\rho_{n}$ est une suite régularisante sur $\mathbb{R}^{d}$ .

Lemme D.13.

Soit $\rho_{n}$ suite régularisante et $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ pour $1\leq p<\infty$ . Alors $||\rho_{n}*f-f||_{p}\to 0$ .

Démonstration :

On a comme $||.||_{p}$ est une norme on a par l’inégalité triangulaire (de l’intégrale de Riemann et la proposition D.12) :

||\rho_{n}*f-f||_{p}=||\int dy\rho_{n}(y)(\tau_{-y}f-f)||_{p}\leq\int_{B(0,1/n% )}dy\rho_{n}(y)||\tau_{-y}f-f)||_{p}

Or si $n$ assez grand, on a vu à la proposition D.7 que $||\tau_{-y}f-f)||_{p}\leq\epsilon$ pour $y\in B(0,1/n)$ de sorte que la dernière intégrale est bornée par $\epsilon\int_{B(0,1/n)}dy\rho_{n}(y)=\epsilon$ . □

Proposition D.14.

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ un ouvert, alors $C^{\infty}_{c}(\Omega)$ est dense dans $L^{p}(\Omega)$ pour $1\leq p<\infty$ .

Démonstration :

Soit $f\in L^{p}(\Omega)$ et $K_{n}=\{x\in\Omega:||x||_{2}\leq n,d(x,\Omega^{c})\geq 1/n\}$ . On a déjà remarqué que $K_{n}$ compact et $\cup K_{n}=\Omega$ donc $f1_{K_{n}}\to f$ p.p. et par la domination $|f1_{K_{n}}-f|\leq|f|$ on conclut par le TCD à $||f1_{K_{n}}-f||_{p}\to 0$ . Soit $m>n$ , si on considère $\rho_{m}*(f1_{K_{n}})\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$ , on a par la relation sur les supports des convolution,

\text{Supp}(\rho_{m}*f1_{K_{n}})\subset\text{Supp}(\rho_{m})+\text{Supp}(f1_{K% _{n}})\subset B(0,1/m)+K_{n}\subset\Omega

(vu que pour $K, F$ compacts $K+F$ est compact et en comparant les distances pour la dernière inclusion). Donc $\rho_{m}*(f1_{K_{n}})\in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})$ . Mais on a vu $||\rho_{m}*(f1_{K_{n}})-f1_{K_{n}}||_{L^{p}(\Omega)}=||\rho_{m}*(f1_{K_{n}})-f% 1_{K_{n}}||_{p}\to_{m\to\infty}0$ . Donc $f1_{K_{n}}$ puis $f$ sont dans l’adhérence de $C^{\infty}_{c}(\Omega)$ . □