L3 Probabilités et statistiques, Automne 2018

Horaires

Les cours ont lieu le mardi matin 9h15-10h45 (Voir ADE pour les salles). Les TD ont lieu le mardi matin de 11h à 12h30 (Voir ADE pour les salles).

Référence

Vous pouvez consulter le livre Probabilité de P. Barbe et M. Ledoux.

Avancement du cours

Polycopié du cours

  • 1. Cours du 11 septembre. Chapitre 1 : VOCABULAIRE ET CONCEPTS PROBABILISTES. 1.1 Espace de probabilité. 1.2 Variable aléatoire, loi. Cas discret : loi de Bernoulli, loi Binomiale, Loi de Poisson, loi Géométrique. Cas continu : loi exponentielle, loi Normale, loi uniforme. 1.3 Espérance : définition, formule de transfert, propriétés. (Pages 1 à 7 du poly)

  • 2. Cours du 18 septembre. Moments, Variance. Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. 1.4 Fonctions associées à une variable aléatoire : Fonction de répartition. Fonction caractéristique. Chapitre 2 : INDEPENDANCE. 2.1 Probabilités conditionnelles élémentaires : définition, formule de Bayes, formule des probabilités totales. 2.2 Indépendance d'événements. 2.3 Indépendance de variables aléatoires : Définition. Loi conjointe. (Pages 8 à 12 du poly)

  • 3. Cours du 25 septembre. Critère d'indépendance des v.a. discrètes. Critère d'indépendance pour les v.a. réelles en terme de fonctions de répartition. 2.4 Somme de v.a. indépendantes. Loi faible L^2 des grands nombres. Exemple de la marche aléatoire sur Z. 2.5 Lemmes de Borel-Cantelli. Enoncés et preuves. Chapitre 3 : LOI DES GRANDS NOMBRES. 3.1 Différents modes de convergence (Presque sûre, L^p, en probabilité). (Pages 13 à 16 du poly)

  • 4. Cours du 2 octobre. Convergence presque sûre et L^p implique la convergence en probabilité. 3.2 Loi forte des grands nombres. Applications (Méthode de Monte Carlo, Approche statistique, Polynômes de Bernstein,...). Démonstration de la LFGN (dans le cas L^2). (Pages 17 et 18 du poly)

  • 5. Cours du 9 octobre. Chapitre 4 : THEOREME CENTRAL LIMITE. 4.1 Convergence en loi : définition, caractérisation en terme de fonctions de répartition et de fonctions caractéristiques (Théorème de P. Lévy). Cas particulier des suites à valeurs entières (Approximation de la loi de Poisson par la loi Binomiale). 4.2 Théorème central limite. Propriétés des fonctions caractéristiques (Continuité, dérivabilité,...) Enoncé et démonstration du théorème central limite. (Pages 19 à 21 du poly)

  • 6. Cours du 16 octobre. Chapitre 5 : TESTS STATISTIQUES. 5.1 Tests de Student. Intervalle de confiance. Test de Student. Comparaison de deux moyennes. Comparaison de deux variances. Comparaison de deux échantillons Gaussiens. (Pages 22 à 25 du poly)

  • 7. Cours du 23 octobre. 5.2 Tests du Chi deux. Intervalle de confiance d'une variance. Test d'indépendance du Chi deux. Test d'ajustement à une loi. (Pages 26 à 29 du poly)

  • 8. Cours du 6 novembre. Test d'ajustement à une famille de lois. Exemples. 5.3 Test de Kolmogorov -Smirnov. Exemple. (Pages 30 et 31 du poly)

  • 9. Partiel du 13 novembre. Enoncé et Corrigé.

  • 10. Cours du 20 novembre. Chapitre 6 : SIMULATION DE VARIABLES ALEATOIRES. 6.1 Méthode de la fonction inverse. Théorème de Box-Muller. 6.2 Méthode du rejet. Simulation de loi uniforme sur un borélien du plan de mesure finie.

  • 11. Cours du 27 novembre. Méthode générale pour la simulation d'une variable aléatoire de densité majorée par une densité facilement simulable. Application à la loi Normale centrée réduite. Chapitre 7 : PROBABILITÉS ET ESPÉRANCES CONDITIONNELLES. 7.1 Cas simple. Espérances conditionnelles pour des variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs discrètes. Extension au cas général via le théorème d'existence de l'espérance conditionnelle de A.N. Kolmogorov. 7.2 Propriétés de l'espérance conditionnelle (linéarité, positivité, Inégalité de Jensen, Lemme de Fatou,...).

  • 12. Cours du 4 décembre. 7.3 Un calcul explicite d'espérance conditionnelle. Cas où la loi conjointe de X et Y admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R^2. Chapitre 8 : MARTINGALES. Historique. Définition. L'exemple fondamental de la marche aléatoire sur Z. Temps de sortie d'un intervalle. Notion de temps d'arrêt. Théorème de J.L. Doob. Application à la loi du lieu de sortie de l'intervalle [-B,...,0,...A] de la marche symétrique sur Z et au calcul de la durée moyenne de la marche.

    Examen final et son corrigé

    Feuilles de TD

  • Feuille 1 : théorème de transfert, lois, fonction de répartition.
  • Feuille 2 : fonction caractéristique, Inégalité de Markov et indépendance (Correction de l'exercice 6 ici).
  • Feuille 3 : Lemmes de Borel-Cantelli, Convergences p.s., en probabilité, dans L^p, LFGN.
  • Feuille 4 : Convergence en loi.
  • Feuille 5 : Convergence en loi, Théorème de P. Lévy, TCL, intervalles de confiance (Correction des exercices 5, 6 et 7 ici).
  • Feuille 6 : Test de Kolmogorov-Smirnov, simulation de variables aléatoires.

    Evaluation

    Il y aura au cours du semestre

  • deux contrôles continus en TD d'une durée de 45 minutes (le 16/10 et le 04/12).
  • 1 examen partiel à la place d'une séance de cours (le 13/11).
  • 1 examen final

    donnant lieu aux notes suivantes

  • CC = moyenne des contrôles continus (CC=0 pour un élève absent aux deux)
  • P = note à l'examen partiel (P=0 si absence)
  • F = note à l'examen final

    La note de contrôle continu sera C=(P+CC)/2

    La note retenue pour l'UE sera (2F+3C)/5

    Contact

    Cette page est mise à jour régulièrement. N'hésitez pas à la consulter !

    Vous pouvez également me joindre par mail :

    nadine.guillotin-plantard@univ-lyon1.fr