L3 Probabilités et statistiques, printemps 2017

Horaires

Le premier cours aura lieu lundi 23 janvier, 10h-12h, salle Nautibus C5. A partir de la semaine suivante, les cours auront lieu le mardi (14h-16h) en salle Thémis 70. Les TD ont lieu soit le lundi de 9h45 à 13h (groupe A avec X. Chen et groupe B avec N. Guillotin-Plantard), soit le mardi de 16h15 à 19h30 (groupe C avec N. Guillotin-Plantard).

Cours

Une référence parmi d'autres : les notes de cours de Grégory Miermont. Vous pouvez également consulter le livre Probabilité de Barbe-Ledoux.

Annales

Des examens corrigés des années précédentes sont disponibles sur la page d'Ivan Gentil.

Avancement du cours

  • 1. Cours du 23 janvier. Chapitre 1 : VOCABULAIRE ET CONCEPTS PROBABILISTES. 1.1 Espaces de probabilité, événements. Variables aléatoires (réelles). Loi. Variables aléatoires à valeurs dans un espace mesurable. Espérance. Formule de transfert. Cas discret, cas à densité. Moments. Variance. 1.2 Fonction de répartition. Propriétés (croissance, continuité à droite, limite à gauche). Théorème : la fonction de répartition caractérise la loi. Fonction caractéristique. Théorème (admis pour l'instant) : la fonction caractéristique caractérise la loi.
  • 2. Cours du 31 janvier. 1.3 Premiers exemples de lois : loi de Bernoulli (=à valeurs {0,1}), loi uniforme sur un ensemble fini, loi uniforme sur un intervalle. Théorème : toute mesure de probabilité sur R peut-être réalisée comme la loi de f(U) avec U de loi uniforme sur ]0,1[. 1.4 Quelques inégalités : Markov, Tchebychev. Chapitre 2 : INDEPENDANCE. 2.1 Indépendance d'une famille d'événements, d'une famille de sous-tribus, d'une famille de variables aléatoires. Lemme de groupement par paquets. 2.2 Critères d'indépendance. Indépendance = la loi est la mesure-produit. Espérance d'un produit de fonctions de variables indépendantes.
  • 3. Cours du 7 février. Proposition : si la loi de (X_1,...,X_n) a une densité de la forme f_1(x_1)...f_n(x_n), les v.a. sont indépendantes. 2.3 Autres exemples de lois : binomiale, Poisson, gaussienne, géométrique, exponentielle. Diagramme des relations entre les différentes lois. Approximation poissonnienne des lois binomiales. Propriété d'absence de mémoire pour les lois géométrique et exponentielle. 2.4 Rappels sur les espaces L^p. Additivité de la variance d'une somme de v.a. indépendantes.
  • 4. Cours du 14 février. Loi faible L^2 des grands nombres. 2.5 Lemme de Borel-Cantelli. Proposition : si U est une v.a. de loi uniforme sur ]0,1[, son développement en base 2 est une suite de v.a. i.i.d. de loi Bernoulli(1/2). Théorème : U est p.s. un nombre univers (=son développement en base 2 contient toute suite finie).
  • 5. Cours du 28 février. 2.6. Loi du 0/1. Application : la marche aléatoire simple sur Z visite p.s. tout sommet une infinité de fois. CHapitre 3 : LOIS DES GRAND NOMBRES. 3.1 Notions de convergence : convergence p.s., L^p, en probabilité. Relations entre les différentes convergences. Proposition : d(X,Y)=E[min(|X-Y|,1)] est une distance qui métrise la converge en probabilité. Toute suite qui converge en proba a une sous-suite qui converge p.s.
  • 6. Cours du 7 mars. 3.2 Loi forte des grands nombres. Preuve dans le cas L^4. Preuve dans le cas L^1 par la méthode d'Etemadi. Au passage, lemme : E X = intégrale de P(X>t) entre 0 et l'infini pour X v.a. positive.
  • 7. Cours du 21 mars. 3.3 Applications : marches aléatoires biaisées, méthode de Monte-Carlo. Chapitre 4 : THEOREME CENTRAL LIMITE. 4.1 Convergence en loi (et convergence étroite) : définition. Caractérisation dans le cas discret. Lemme de Scheffé. CV en proba implique CV en loi. 4.2 Convergence en loi et fonctions de répartition
  • 8. Cours du 28 mars. 4.3 Notions de suite tendue de v.a. ou de mesures de probabilités. Théorème de Helly (toute suite tendue a une sous-suite qui converge en loi). 4.4 Théorème de Lévy : la convergence en loi équivaut à la convergence simples des fonctions caractéristiques.
  • Examen partiel le 4 avril : sujet
  • 9. Cours du 11 avril (13h-16h). 4.5 Preuve du théorème central limite. Chapitre 5 : PROCESSUS DE BRANCHEMENT. Définition du modèle ; preuve de la condition nécessaire et suffisante pour avoir extinction presque sûre. Chapitre 6 : INTRODUCTION AUX STATISTIQUES. Théorème fondamental de la statstique (convergence étroite presque sûre de la la mesure empirique). 6.1 Intervalles de confiance asymptotiques pour des sommes i.i.d. Exemple des sondages.
  • 10. Cours du 25 avril (13h-16h). 6.2 Intervalles de confiance non asymptotiques, inégalités de Hoeffding. 6.3 Estimation paramétrique. Modèles statistiques, estimateurs. Notions de biais, de consistance, de vitesse d'un estimateur. Méthode empirique, méthode du maximum de vraisemblance. Etude de quelques exemples (loi exponentielle de paramètre inconnu, loi uniforme sur un intervalle inconnu).

    Fiches de TD

  • Feuille 1. Theorème de transfert, lois, fonction de répartition.
  • Feuille 2. Fonction caractéristique, inégalité de Markov et indépendance.
  • Feuille 3. Indépendance (suite), lois usuelles.
  • Feuille 4. Lemme de Borel-Cantelli. Convergence p.s., en probabilité, dans L^p
  • Feuille 5. Lemme de Borel-Cantelli, loi forte des grands nombres
  • Feuille 6. Convergence en loi
  • Feuille 8. Théorème de Lévy, théorème central limite, estimation

    Examen

    Voici le sujet de la première session et son corrigé, ainsi que le sujet de la deuxième session.

    Contact

    N'hésitez pas à me contacter par e-mail, ni à venir me voir dans mon bureau (Braconnier, 227) dans lequel je suis fréquemment.

    mèl : aubrun at math . univ-lyon1 . fr

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