L3 Probabilités et statistiques, printemps 2019

Horaires

Les cours auront lieu le mardi après-midi 14h-16h à partir du 28 janvier (exception 14h-17h les 28/01, 19/03 et 14/05). Les TD auront lieu le lundi matin de 9h45 à 13h à partir du 4 février ; les créneaux du 01/04 et 08/04 seront utilisés pour des TP.

Références

Une référence : les notes de cours de Grégory Miermont (Partie II). Vous pouvez également consulter le livre Probabilité de Barbe-Ledoux. Parmi les autres références classiques : L'essentiel en théorie des probabilités de Jacod et Protter, et encore d'autres notes de cours de Jean Jacod.

Avancement du cours

  • 1. Cours du 28 janvier. Chapitre 1 : VOCABULAIRE ET CONCEPTS PROBABILISTES. 1.1 Espaces de probabilité, événements. Variables aléatoires (réelles). Loi. Variables aléatoires à valeurs dans un espace mesurable. Espérance. Formule de transfert. Cas discret, cas à densité. Moments. Variance. 1.2 Fonction de répartition. Propriétés (croissance, continuité à droite, limite à gauche). Théorème : la fonction de répartition caractérise la loi. Fonction caractéristique. Théorème (admis pour l'instant) : la fonction caractéristique caractérise la loi. Complément : si X est à densité, la densité est la dérivée de la fonction de répartition. 1.3 Exemples de lois : loi de Bernoulli, loi uniforme sur un ensemble fini, loi uniforme sur un intervalle ]a,b[

  • 2. Cours du 5 février. Théorème: toute mesure de probabilité sur R peut-être réalisée comme la loi de f(U) avec U de loi uniforme sur ]0,1[. 1.4 Quelques inégalités: Markov, Tchebychev, Cauchy-Schwarz, Hölder ; rappels sur les espaces L^p. Chapitre 2 : INDEPENDANCE. Notation P(A|B). Indépendance de 2 événements, d'une famille quelconque d'événements. Indépendance de sous-tribus, de v.a. Lemme de groupements par paquets (esquisse de preuve). Lien entre indépendance et mesure-produit.

  • 3. Cours du 12 février. Lois classiques (Bernoulli, binomiale, gaussienne, Poisson, géométrique, exponentielle), leurs propriétés élémentaires (stabilité par somme/minimum, absence de mémoire, approximation poissonnienne, évocation du TCL).

  • 4. Cours du 26 février. Convergence en probabilité ; loi faible des grands nombres sous l'hypothèse L^2. Application : dans la ligne N>>1 du triangle de Pascal, la somme des epsilon*N coefficients centraux dépasse celle des autres. Lemme de Borel-Cantelli : énoncé et preuve des deux versions. Application : presque tout nombre de ]0,1[ est un nombre-univers en base 2 (et même en toute base). Au passage, on démontre que les décimales binaires d'une v.a. uniforme dans ]0,1[ sont i.i.d. Bernoulli(1/2)

  • 5. Cours du 5 mars. Loi du 0/1. Application : la marche aléatoire simple sur Z passe p.s. infiniment par 0 (car limsup=+inf, liminf=-inf). Processus de branchements : définition. Théorème : condition nécessaire et suffisante pour que la probabilité de survie soit non nulle ; la probabilité d'extinction est le plus petit point fixe dans [0,1] de la série génératrice de la loi de branchement.

  • 6. Cours du 19 mars. CHAPITRE 3 : LOI DES GRANDS NOMBRES. Notions de convergence : presque sûre, L^p en proabilités ; implications entre ces notions. Contre-exemples aux implications réciproques entre notions de convergence ; preuve que d(X,Y)=E[min(|X-Y|,1)] définit une distance complète qui métrise la cv en proba ; de toute suite qui cv en proba on peut extraire une sous-suite qui cv ps. Loi forte des grands nombres : énoncé L^1, preuve L^4. Corollaire : la marche aléatoire biaisée sur Z tend vers l'infini.

  • 26 mars : partiel.

  • 7. Cours du 2 avril. CHAPITRE 4 : THÉORÈME CENTRAL LIMITE. Convergence en loi : définition. Lemme : il suffit de tester la convergence en loi sur les fonctions continues à support compact. Caractérisation de la convergence en loi en termes de fonctions de répartition.

  • 8. Cours du 9 avril. Tension d'une famille de mesures de probabilité, d'une famille de variables aléatoires. Théorème de Helly. Théorème de Lévy. Théorème central limite.

  • 9. Cours du 23 avril. CHAPITRE 5 : STATISTIQUES. Théorème fondamental de la statistique. Inégalités de Chernoff : énoncés, preuve. Application : intervalles de confiance non-asymptotiques .

  • 10. Cours du 30 avril. Estimation paramétrique: notions d'estimateur sans biais, consistant, vitesse d'un estimateur. Étude de pluiseurs exemples. Estimation par maximum de vraisemblance. Delta-méthode (énoncé sans preuve)

  • 11. Cours du 7 mai. Delta-méthode (preuve). Vecteurs gaussiens : définition, caractérisation par la moyenne et matrice de covariance. Théorème central limite pour les vecteurs aléatoires.

    Feuilles de TD

    Feuille 1 : Théorème de transfert, Lois, Fonction de répartition.

    Feuille 2 : Fonction caractéristique, Inégalité de Markov et Indépendance.

    Feuille 3 : Indépendance (suite), lois usuelles

    Feuille 4 : Convergence en probabilité, presque sûre, lemme de Borel-Cantelli

    Feuille 5 : Processus de branchement, Borel-Cantelli, convergence presque sûre

    Feuille 6 : Convergences, loi forte des grands nombres

    Feuille 7 : Convergence en loi, tension, Théorème de P. Lévy, TCL

    Feuille 8 : Estimation statistique, Intervalles de confiance

    Feuille 9 : Vecteurs gaussiens

    Feuilles de TP

    TP1 : sujet, corrigé

    TP2 : sujet, corrigé de l'exo 1, codes scilab pour les exercices 2, 3, 4, 5.

    Évaluation

    Voici les contrôles prévus au cours de l'année
  • 3 contrôles continus type QCM les lundi 25/02 (sujet corrigé), 18/03 (sujet corrigé) et 13/05 (8h45-9h30)
  • 1 TP noté le 08/04
  • 1 examen partiel le 26/03 : sujet, corrigé
  • 1 examen final (fin mai) : sujet, corrigé

    On ne gardera que les 3 meilleures notes parmi les QCM et le TP ; chacun comptera pour 10% de la note finale. L'examen partiel comptera pour 30% et l'examen final comptera pour 40%.

    Annales

    Des examens (avec parfois le corrigé) des années précédentes sont disponibles ici.

    Contact

    Pour toute question : aubrun ( at ) math.univ-lyon1.fr