7 Intégrales dépendant d’un paramètre

Soient $(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ un espace mesuré, $E$ un evn. Soit finalement $A$ une partie de $E$ .

Définition 4.16.

Soit $f:A\times\Omega\to\mathbb{K}$ . On suppose que pour tout $x\in A$ , $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable (soit dans $L^{1}(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ ). Dans ce cas, on peut poser :

$F(x)=\int_{\Omega}f(x,t)d\mu(t)$ . On définit ainsi une intégrale dépendant d’un paramètre la fonction $F:A\to\mathbb{K}$ .

$\bigstar$ Théorème 4.38 (Théorème de continuité avec hypothèse de domination).

Soit $f:A\times\Omega\to\mathbb{K}$ . On suppose :

1.

Pour tout $x\in A$ , $t\mapsto f(x,t)$ , est mesurable sur $\Omega$ .
2.

Pour tout presque tout $t\in\Omega$ , $x\mapsto f(x,t)$ est continue en $x_{0}\in A$ .
3.

(Hypothèse de domination) Il existe une fonction intégrable $g:\Omega\to\mathbb{R}_{+}$ , $g\in L^{1}(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ telle que

$\forall t\in\Omega,\forall x\in A,\ \ |f(x,t)|\leq g(t).$

Alors la fonction $x\mapsto F(x)=\int_{\Omega}f(x,t)d\mu(t)$ est continue en $x_{0}$ .

On remarquera que dans l’hypothèse de domination, la fonction $g$ ne dépend PAS de $x$ .

Démonstration :

L’hypothèse de domination garantit que $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable. Soit $x_{n}\in A$ tel que $x_{n}\to x_{0}$ . Par continuité de $x\mapsto f(x,t)$ , pour chaque $t$ , $f(x_{n},t)\to f(x_{0},t).$ On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée (avec domination par $g$ ) pour conclure

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f(x_{n},t)d\mu(t)=\int_{\Omega}f(x_{0},t)d\mu(t).

□

Exemple 4.8.

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ intégrable sur $\mathbb{R}$ (par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ ). Sa transformée de Fourier est définie par :

\hat{f}(x)=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{itx}dt.

Elle est continue sur $\mathbb{R}$ en utilisant une domination par $|f|.$

Théorème 4.39 (Théorème de dérivabilité avec hypothèse de domination).

Soit $f:U\times\Omega\to\mathbb{K}$ avec $U\subset\mathbb{R}^{n}$ un ouvert.

On suppose :

1.

Pour tout $x\in U$ , $t\mapsto f(x,t)$ , est intégrable sur $\Omega$ .
2.

Il existe $N$ avec $\mu(N^{c})=0$ , tel que pour tout $t\in N$ , la fonction $x\mapsto f(x,t)$ admet une i-ème dérivée partielle sur $U$ .
3.

(Hypothèse de domination) Pour tout compact $K\subset U$ , il existe une fonction intégrable $g_{K}\in L^{1}(\Omega)$ telle que

$\forall t\in N,\forall x\in K,\ \ \left|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x,t)% \right|\leq g_{K}(t).$

Alors la fonction $x\mapsto F(x)=\int_{\Omega}f(x,t)d\mu(t)$ admet une i-ème dérivée partielle sur $U$ , $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\in L^{1}(\Omega)$ et :

\frac{\partial F}{\partial x_{i}}(x)=\int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x% _{i}}(x,t)d\mu(t).

Remarque 4.7.

Soit $f=(f_{1},...,f_{m}):U\times\Omega\to\mathbb{R}^{m}$ avec $U\subset\mathbb{R}^{n}$ un ouvert. Si chaque $f_{i}(x,.)$ est intégrable sur $\Omega$ pour tout $x\in U$ , on peut définir l’intégrale coordonnée par coordonnée:

\int_{\Omega}f(x,t)d\mu(t)=(\int_{\Omega}f_{1}(x,t)d\mu(t),\cdots,\int_{\Omega% }f_{n}(x,t)d\mu(t)).

Alors le théorème s’applique en remplaçant la valeur absolue par la norme dans la domination (et en appliquant le résultat coordonnée par coordonnée.)

Démonstration :

On peut supposer $n=m=1$ (car les dérivées partielles se calculent coordonnée par coordonnée). On fixe $x_{0}$ et montre la dérivabilité en $x_{0}$ . On pose $h(x,t)=0$ si $t\in N^{c}$ et pour $t\in N$

h(x,t)=\begin{cases}\frac{f(x,t)-f(x_{0},t)}{x-x_{0}},&\ \ \text{si}\ \ x\neq x% _{0}\\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},t)&\ \ \text{sinon}\end{cases}.

Pour $x\neq x_{0},$

\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}=\int_{\Omega}h(x,t)d\mu(t).

Il suffit donc de prouver que $x\mapsto\int_{\Omega}h(x,t)d\mu(t)$ est continue en $x_{0}$ . Par hypothèse, $t\mapsto h(x,t)$ est mesurable pour $x\neq x_{0}$ et par exemple en tant que $\liminf$ (sur $N$ ) aussi ex $x_{0}$ et $x\mapsto h(x,t)$ est continue pour $t\in N$ (par continuité d’une fonction dérivable d’une variable). Enfin l’inégalité des accroissements finis à $x\mapsto f(x,t)$ donne, pour $x\neq x_{0}$ , $x\in K=[x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon]\subset U$ (un compact car fermé borné de $\mathbb{R}$ contenu dans $U$ pour $\epsilon$ assez petit):

||h(x,t)||\leq\sup_{u\in[x_{0},x]}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(u,t)% \right|\leq g_{K}(t).

La même inégalité étant évidente en $x_{0}$ , on a la condition de domination et le théorème de continuité appliqué à $K$ conclut. □

$\bigstar$ Corollaire 4.40 (Théorème de dérivation successive).

Soit $f:U\times V\to\mathbb{R}^{l}$ avec $U\subset\mathbb{R}^{n},V\subset\mathbb{R}^{m}$ des ouverts, une fonction $\mathscr{C}^{k}$ ( $k\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ ). Soit $\mu$ une mesure sur une tribu $\mathscr{T}\supset\mathscr{B}(V)$ .

On suppose qu’il existe $\phi_{0},\phi_{1},...,\phi_{k}$ $\mu$ -intégrables sur $V$ telles que $||f(x,t)||\leq\phi_{0}(t)$ et

\forall(i_{1},...,i_{n}),i_{1}+...+i_{n}=p\leq k,\forall x\in U,\forall t\in V% \left\|\frac{\partial^{p}f}{\partial x_{1}^{i_{1}}...\partial x_{n}^{i_{n}}}(x% ,t)\right\|\leq\phi_{p}(t).

Alors la fonction $x\mapsto F(x)=\int_{V}f(x,t)d\mu(t)$ est de classe $\mathscr{C}^{k}$ sur $U$ et pour $p=i_{1}+...+i_{n}\leq k$ :

\frac{\partial^{p}F}{\partial x_{1}^{i_{1}}...\partial x_{n}^{i_{n}}}(x)=\int_% {V}\frac{\partial^{p}f}{\partial x_{1}^{i_{1}}...\partial x_{n}^{i_{n}}}(x,t)d% \mu(t).

Démonstration :

Il suffit d’appliquer le théorème de dérivation avec condition de domination par récurrence simple (coordonnées $f_{i}$ par coordonnée $f=(f_{1},\cdots,f_{n})$ ) . La mesurabilité de $f$ vient de sa continuité vu que $\mathscr{T}$ contient les boréliens. Son intégrabilité vient de la domination $|f(x,t)|\leq\phi_{0}(t)$ et sur les autres dérivées successives des autres dominations. On peut prendre $N=\emptyset$ . □

7.1 Un exemple : la transformée de Fourier d’une mesure avec moments d’ordre 2.

Soit $\mu$ une mesure (de masse) finie sur $\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n})$ (par exemple une probabilité à densité par rapport à $\lambda$ ) tel que $x_{i},x_{i}x_{j},i,j=1,\cdots,n$ sont intégrables c’est à dire:

\int_{\mathbb{R}^{n}}|x_{i}|d\mu(x)<+\infty,\qquad\int_{\mathbb{R}^{n}}|x_{i}x% _{j}|d\mu(x)<+\infty.

On verra plus tard grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz qu’il suffit de supposer $x_{i}^{2}$ intégrable. On reprend la transformée de Fourier vu en TD et à l’exemple 4.8 qui est définie par :

\hat{\mu}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{i\langle\xi,x\rangle}d\mu(x)=\int_{% \mathbb{R}}f(\xi,x)d\mu(x),\qquad f(\xi,x)=e^{i\langle\xi,x\rangle}.

$f$ est $C^{2}$ (même $C^{\infty}$ ) sur $\mathbb{R}^{2n}$ et vérifie les dominations:

|f(\xi,x)|\leq 1

\frac{\partial}{\partial\xi_{i}}f(\xi,x)=ix_{i}e^{i\langle\xi,x\rangle},\qquad% \left|\frac{\partial}{\partial\xi_{i}}f(\xi,x)\right|\leq|x_{i}|

\frac{\partial^{2}}{\partial\xi_{i}\partial\xi_{j}}f(\xi,x)=-x_{i}x_{j}e^{i% \langle\xi,x\rangle},\qquad\left|\frac{\partial^{2}}{\partial\xi_{i}\partial% \xi_{j}}f(\xi,x)\right|\leq|x_{i}x_{j}|

et par l’hypothèse $\mu$ de masse finie, $1$ est intégrable et par les hypothèses d’intégrabilité, les autres membres de droite des dominations sont intégrables aussi par rapport à $\mu$ . Par le théorème de dérivation avec condition de domination, on déduit donc que $\hat{\mu}$ est $C^{2}$ et :

\frac{\partial}{\partial\xi_{i}}\hat{\mu}(\xi)=i\int_{\mathbb{R}^{n}}x_{i}e^{i% \langle\xi,x\rangle}d\mu(x)\qquad\qquad\frac{\partial^{2}}{\partial\xi_{i}% \partial\xi_{j}}\hat{\mu}(\xi)=-\int_{\mathbb{R}^{n}}x_{i}x_{j}e^{i\langle\xi,% x\rangle}d\mu(x).

Cet exemple sera utilisé au S6 pour montrer le Théorème centrale limite dans $\mathbb{R}^{n}$ .

7 Intégrales dépendant d’un paramètre

Définition 4.16.

★ Théorème 4.38 (Théorème de continuité avec hypothèse de domination).

Exemple 4.8.

Théorème 4.39 (Théorème de dérivabilité avec hypothèse de domination).

Remarque 4.7.

★ Corollaire 4.40 (Théorème de dérivation successive).

7.1 Un exemple : la transformée de Fourier d’une mesure avec moments d’ordre 2.

$\bigstar$ Théorème 4.38 (Théorème de continuité avec hypothèse de domination).

$\bigstar$ Corollaire 4.40 (Théorème de dérivation successive).