4 Intégrale des fonctions intégrables

Comme pour les séries et les intégrales impropres en L2, le deuxième cas après le cas positif est celui qu’on appelle “absoluement convergent” pour les séries ou “intégrable” pour les intégrales. Ils ont en commun de considérer la même opération (somme de série ou intégrale) pour la valeur absolue, et si la grandeur obtenue est finie, on peut alors définir l’opération sans valeur absolue. On suit la même stratégie pour l’intégrale de Lebesgue.

On aura besoin de la :

Remarque 4.5.

Soit $f:(\Omega,\mathcal{T})\to(\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}(\overline{\mathbb{% R}}))$ une fonction mesurable, sa partie positive est $f_{+}=\max(f,0)$ et sa partie négative est $f_{-}=\max(-f,0)$ . $f_{+}$ , $f_{-}$ et la valeur absolue $|f|$ sont mesurables par composée de $f$ avec des applications continues. Elles vérifient $f=f_{+}-f_{-}$ et $|f|=f_{+}+f_{-}$ .

De même, pour $f:(\Omega,\mathcal{T})\to(\mathbb{C},\mathcal{B}(\mathbb{C}))$ une fonction mesurable, son module $|f|$ , et ses parties réelles et imaginaires $\Re(f),\Im(f)$ sont mesurables et

f=\Re(f)+i\Im(f)=\Re(f)_{+}-\Re(f)_{-}+i\Im(f)_{+}-i\Im(f)_{-}.

$\bigstar$ Définition 4.13.

Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré, une fonction mesurable $f:(\Omega,\mathcal{T})\to\overline{\mathbb{R}}$ ) est intégrale par rapport à $\mu$ sur $B\in\mathcal{T}$ si son module $|f|:(\Omega,\mathcal{T})\to[0,+\infty]$ est d’intégrale finie sur $B$ , i.e. $\displaystyle\int_{B}|f|d\mu<+\infty.$ On note $\mathcal{L}^{1}(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ l’ensemble des fonctions intégrables à valeur $\mathbb{R}$ .

Si $f:(\Omega,\mathcal{T})\to(\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}(\overline{\mathbb{% R}}))$ est intégrable sur $B$ , on a donc $\displaystyle\int_{B}f_{+}d\mu,\int_{B}f_{-}d\mu\leq\int_{B}|f|d\mu<+\infty$ et on peut définir l’intégrale de $f$ par rapport à $\mu$ sur $B$ :

\int_{B}fd\mu=\int_{B}f_{+}d\mu-\int_{B}f_{-}d\mu.

Si on dit $f$ est intégrable, c’est qu’on veut implicitement dire sur $\Omega$ , son ensemble de définition. Dans ce cas, on écrit aussi: $\int fd\mu=\int_{\Omega}fd\mu$ .

Définition 4.14.

Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré, une fonction mesurable $f:(\Omega,\mathcal{T})\to\mathbb{C}$ (resp. $f=(f_{1},\cdots,f_{n}):(\Omega,\mathcal{T})\to\mathbb{R}^{n}$ )) est intégrale par rapport à $\mu$ sur $B\in\mathcal{T}$ si ses parties réelles et imaginaire $\Re f,\Im f:(\Omega,\mathcal{T})\to\mathbb{R}$ (resp. ses coordonnées $f_{i}$ ) sont intégrables sur $B$ , i.e. de façon équivalente si $\displaystyle\int_{B}|f|d\mu<+\infty.$ On note $\mathcal{L}^{1}(\Omega,\mathcal{T},\mu;\mathbb{C})$ l’ensemble des fonctions intégrables à valeur $\mathbb{C}$ .

On pose alors :

\int_{B}fd\mu=\int_{B}\Re fd\mu+i\int_{B}\Im fd\mu\in\mathbb{C},\ \ \ (resp.% \int_{B}fd\mu=\Big{(}\int_{B}f_{1}d\mu,\cdots,\int_{B}f_{n}d\mu\Big{)}\in% \mathbb{R}^{n})

L’équivalence vient de $\int_{B}|\Re f|d\mu,\int_{B}|\Im f|d\mu\leq\int_{B}|f|d\mu\leq\int_{B}|\Re f|d% \mu+\int_{B}|\Im f|d\mu$ .

4.1 Premières propriétés

Lemme 4.28.

Si $f:(\Omega,\mathcal{T},\mu)\to\overline{\mathbb{R}}$ est intégrable (sur $\Omega$ ), alors $\mu(\{\omega:|f|(\omega)=+\infty\})=0$

Démonstration :

En effet, si $A=\{\omega:|f|(\omega)=+\infty\}$ , on a $(+\infty)1_{A}\leq|f|$ et donc $+\infty\mu(A)\leq\int_{B}|f|d\mu<+\infty$ ce qui n’est possible que pour $\mu(A)=0$ . □

$\bigstar$ Lemme 4.29.

Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré, et $f,g:(\Omega,\mathcal{T})\to\mathbb{K}$ des fonctions intégrables sur $B\in\mathcal{T}$ , alors

36.

$1_{B}f$ est intégrable sur $\Omega$ et $\int_{B}fd\mu=\int_{\Omega}1_{B}fd\mu$ .
37.

(linéarité) Si $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ alors $\alpha f+\beta g$ est intégrable sur $B$ et

$\int_{B}\alpha f+\beta gd\mu=\alpha\int_{B}fd\mu+\beta\int_{B}gd\mu.$
38.

(domination) Si $h:(\Omega,\mathcal{T})\to\mathbb{K}$ est mesurable et dominée par $|f|$ au sens $|h|\leq|f|$ alors $h$ est intégrable sur $B$ .
39.

(inégalité triangulaire) Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ , on a:

$\left|\int_{B}fd\mu\right|\leq\int_{B}|f|d\mu.$

On verra le cas complexe de l’inégalité triangulaire un peu plus loin.

Démonstration :

1. Vu $|1_{B}f|=1_{B}|f|$ , en utilisant le cas positif du lemme 4.22, on a $\int_{\Omega}|1_{B}f|d\mu=\int_{B}|f|d\mu<+\infty$ d’où l’intégrabilité. Le calcul de l’intégral se déduit alors du même résultat en prenant partie positive et négative des parties réelles et imaginaires.

2. Par l’inégalité triangulaire $|\alpha f+\beta g|\leq|\alpha||f|+|\beta||g|$ , donc en passant à l’intégrale et utilisant le cas positif de la linéarité de l’intégrale (Corollaire 4.25):

\int_{B}|\alpha f+\beta g|d\mu\leq\int_{B}|\alpha||f|+|\beta||g|d\mu=|\alpha|% \int_{B}|f|d\mu+|\beta|\int_{B}|g|d\mu<+\infty.

De même, l’égalité des intégrales vient en prenant partie positive et négative des parties réelles et imaginaires.

3. Il suffit d’utiliser la monotonie de l’intégrale $\int_{B}|h|d\mu\leq\int_{B}|f|d\mu<+\infty.$

4. Dans le cas réel, on a utilise juste l’inégalité triangulaire:

\left|\int_{B}fd\mu\right|=\left|\int_{B}f_{+}d\mu-\int_{B}f_{-}d\mu\right|% \leq\int_{B}f_{+}d\mu+\int_{B}f_{-}d\mu=\int_{B}|f|d\mu.

□

4.2 Théorème de Convergence dominée de Lebesgue

$\bigstar$ Théorème 4.30 (Théorème de Convergence dominée ou TCD).

Soient $Z_{n},Z:(\Omega,\mathcal{T},\mu)\to\mathbb{K}$ des fonctions mesurables et $A\in\mathcal{T}$ avec $\mu(A^{c})=0$ satisfaisant:

40.

(Condition de domination) il existe une fonction $Y$ intégrable (positive) telle que $|Z_{n}|\leq Y$ ,
41.

pour tout $\omega\in A$ , $Z_{n}(\omega)\to Z(\omega)$

alors on a:

42.

$Z$ est intégrable
43.

$\int_{\Omega}|Z_{n}-Z|d\mu\to 0$
44.

on peut intervertir limite et intégrale

$\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}Z_{n}d\mu=\int_{\Omega}Zd\mu=\int_{A}\lim_{n\to% \infty}Z_{n}d\mu.$

Définition 4.15.

Si une propriété est vraie sur un ensemble $A\in\mathcal{T}$ avec $\mu(A^{c})=0$ , on dit que $A$ est vraie presque partout.

L’hypothèse 2. se formule en disant que $Z_{n}$ converge vers $Z$ presque partout. On étudiera cette notion avec plus de détail au chapitre suivant.

Démonstration :

En appliquant aux parties réelles et imaginaires, il suffit de montrer le cas $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ .

1. L’inégalité $|Z_{n}|\leq Y$ implique en passant à la limite $|Z|\leq Y$ sur $A$ , ou autrement dit par domination, $Z$ est intégrable sur $A$ . Comme $\mu(A^{c})=0$ , on a aussi $|Z|\leq Y+\infty 1_{A^{c}}$ et $Y+\infty 1_{A^{c}}$ est aussi intégrable, donc $Z$ est même intégrable.

3. L’inégalité $|Z_{n}|\leq Y$ se traduit aussi par $Y-Z_{n},Z_{n}+Y\geq 0$ et on peut appliquer le lemme de Fatou 4.27:

\int_{A}(Y-Z)d\mu=\int_{A}\liminf_{n}(Y-Z_{n})d\mu\leq\liminf_{n}\int_{A}(Y-Z_% {n})d\mu=\int_{A}Yd\mu-\limsup_{n}\int_{A}Z_{n}d\mu,

\int_{A}(Y+Z)d\mu=\int_{A}\liminf_{n}(Y+Z_{n})d\mu\leq\liminf_{n}\int_{A}(Y+Z_% {n})d\mu=\int_{A}Yd\mu+\liminf_{n}\int_{A}Z_{n}d\mu,

donc en soustrayant le terme en $Y$ ,

\int_{A}Zd\mu\leq\liminf_{n}\int Z_{n}d\mu\leq\limsup_{n}\int Z_{n}d\mu\leq% \int_{A}Zd\mu

et on en déduit donc l’égalité et la dernière convergence.

2. Enfin, par l’inégalité triangulaire, on déduit $|Z_{n}-Z|\leq|Z_{n}|+|Z|\leq 2Y$ sur $A$ et il satisfait la même condition de domination et pour tout $\omega\in A$ , $|Z_{n}-Z|(\omega)\to 0.$ En appliquant le reste du résultat, on obtient donc $\int_{\Omega}|Z_{n}-Z|d\mu\to\int_{\Omega}0d\mu=0$ □

$\bigstar$ Corollaire 4.31 (Interversion Série-intégrale: cas général).

Soient $f_{n}:\Omega\to\mathbb{K}$ une suite de fonctions mesurables telle que $\displaystyle\displaystyle\sum_{n\geq 0}\int_{B}|f_{n}|d\mu<\infty$ pour $B\in\mathcal{T}$ , alors la somme $\displaystyle\displaystyle\sum_{n\geq 0}f_{n}:\Omega\to\mathbb{K}$ converge (absolument) pour presque tout $\omega$ dans $B$ et est intégrable sur $B$ et on a :

\int_{B}\displaystyle\sum_{n\geq 0}f_{n}d\mu=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\int_{% B}f_{n}d\mu.

Démonstration :

On considère la suite des sommes partielles $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}f_{k}$ qui vérifie, grâce à l’inégalité triangulaire, la condition de domination $\displaystyle|S_{k}|\leq\displaystyle\sum_{k=0}^{n}|f_{k}|\leq\displaystyle% \sum_{k=0}^{\infty}|f_{k}|=:Z$ . Or par le cas positif de l’interversion, $\displaystyle\int_{B}Zd\mu=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\int_{B}|f_{n}|d\mu<\infty$ donc $Z$ est intégrable sur $B$ . Soit $A=\{\omega\in B:Z(\omega)<\infty\}$ , de sorte que $\displaystyle\sum_{k}f_{k}$ converge absolument sur $A$ donc $S_{n}$ converge simplement vers la somme (qui est donc mesurable par le théorème 4.18). Par le lemme 4.28 on a $\mu(A^{c})=0$ donc le TCD s’applique (sur $B$ à la place de $\Omega$ ) et donne le résultat. □

4 Intégrale des fonctions intégrables

Remarque 4.5.

★ Définition 4.13.

Définition 4.14.

4.1 Premières propriétés

Lemme 4.28.

★ Lemme 4.29.

4.2 Théorème de Convergence dominée de Lebesgue

★ Théorème 4.30 (Théorème de Convergence dominée ou TCD).

Définition 4.15.

★ Corollaire 4.31 (Interversion Série-intégrale: cas général).

$\bigstar$ Définition 4.13.

$\bigstar$ Lemme 4.29.

$\bigstar$ Théorème 4.30 (Théorème de Convergence dominée ou TCD).

$\bigstar$ Corollaire 4.31 (Interversion Série-intégrale: cas général).