6 Comparaison aux constructions de L2

6.1 Intégrale de Riemann des fonctions continues par morceau

Comme on a vu au chapitre 2, la base de l’intégrale de Riemann est la notion de fonction en escalier. Ce sont des combinaisons linéaires d’indicatrices d’intervalles de forme $1_{]a,b[}$ et $1_{\{c\}}$ . Or les intervalles sont des boréliens, donc les fonctions en escalier sont boréliennes étagées. On a

\int 1_{]a,b[}d\lambda=(b-a)=\int 1_{]a,b[}(x)dx,\int 1_{\{c\}}d\lambda=0=\int 1% _{\{x\}}(x)dx,

donc par combinaison linéaire, intégrale de Riemann et de Lebesgue par rapport à la mesure de Lebesgue coïncident.

Soit $f$ continue par morceau sur $[a,b]$ , l’intégrale de Riemann est construite en choisissant $f_{n}$ en escalier convergent uniformément vers $f$ et donc simplement, donc $f$ est borélienne comme limite simple de fonctions boréliennes (cf. le théorème 4.18). De plus, elle est bornée donc intégrable sur $[a,b]$ .

Quitte à décomposer en partie réelle et imaginaire, on suppose $f$ réelle. Donc pour tout $x\in[a,b]$ on a $|f(x)-f_{n}(x)|\leq||f_{n}-f||_{\infty}$ soit

f_{n}(x)-||f_{n}-f||_{\infty}\leq f(x)\leq f_{n}(x)+||f_{n}-f||_{\infty}.

En intégrant au sens de Lebesgue, et en utilisant que les deux côtés coïncident avec celle de Riemann, on obtient l’inégalité:

\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx-||f_{n}-f||_{\infty}(b-a)\leq\int_{[a,b]}fd\lambda\leq% \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx+||f_{n}-f||_{\infty}(b-a).

En passant à la limite $n\to\infty$ , on a $||f_{n}-f||_{\infty}\to 0$ et $\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx\to\int_{a}^{b}f(x)dx$ par définition de l’intégrale de Riemann. On a donc obtenu le point 1. du résultat suivant:

$\bigstar$ Théorème 4.34.

1.

Toute fonction continue par morceau sur un segment $[a,b]$ est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ et son intégrale de Riemann coïncide avec celle pour la mesure de Lebesgue:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{[a,b]}fd\lambda.$
2.

Toute fonction continue positive sur un intervalle $I$ ( $]a,b],]a,b[$ ou $[a,b[$ ) admet une intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ et son intégrale de Riemann coïncide avec celle pour la mesure de Lebesgue (finie ou $+\infty$ ): $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{I}fd\lambda.$
3.

Toute fonction continue intégrable sur un intervalle $I$ ( $]a,b],]a,b[$ ou $[a,b[$ ) est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ si et seulement si elle est intégrable au sens de Riemann. Dans ce cas, son intégrale de Riemann coïncide avec celle pour la mesure de Lebesgue: $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{I}fd\lambda.$

Démonstration :

On se place dans le cas $I=[a,b[$ . On pose $b_{n}=b-1/n$ si $b<+\infty$ et $b_{n}=a+n$ si $b=+\infty$ 2. On pose $f_{n}=f1_{[a,b_{n}]}$ . Comme $f$ positive, $f_{n}$ sont des suites croissantes qui convergent simplement vers f (sont stationnaires égales à $f$ ). On peut appliquer le théorème de convergence monotone et

\int_{I}fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_{I}f_{n}d\lambda\lim_{n\to\infty}\int_% {[a,b_{n}]}fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b_{n}}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx.

3. L’équivalence des intégrabilités vient du 2. appliqué à l’intégrale de $|f|$ . Pour l’égalité dans , on utilise la même suite qu’au 2 et on note $|f_{n}|\leq|f|$ , qui est une domination si $f$ intégrable. La même limite est maintenant valable par le TCD.

□

On pourra donc appliquer les théorèmes précédents aux intégrales (de Riemann) usuelles vues en L2.

Remarque 4.6.

Pour les fonctions $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ , on peut définir une notion plus générale de fonction “Riemann intégrable”, elle même plus générale que l’intégrale des fonctions continues par morceaux. L’intégrale de Lebesgue généralise aussi cette version plus générale, cf. e.g. http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/mironescu/resources/cours_mesure_integration.pdf section 6.8.1

6.2 Mesures à densité

Le résultat suivant est laissé en exercice

$\bigstar$ Proposition 4.35 (Mesures à densité (ou absolument continue)).

Soit $f\colon X\to[0,+\infty]$ une fonction mesurable. On définit une application $\nu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ par

\nu(A)=\int_{A}fd\mu\ .

Alors, $\nu$ est une mesure sur $X$ , appelée mesure de densité f par rapport à $\mu$ . De plus $h$ est intégrable par rapport à $\nu$ si et seulement si $f h$ est intégrable par rapport à $\mu$ et:

\int_{X}hd\nu=\int_{X}fhd\mu\ .

Pour une mesure à densité $\nu$ par rapport à $\mu$ , si $\mu(A)=0$ alors $\nu(A)=0$ . En fait, cette propriété caractérise les mesures à densité (c’est un théorème beaucoup plus dur, le théorème de Radon-Nikodym cf. section 5)

Exemple 4.7.

On peut définir une mesure de probabilité sur les boréliens de $\mathbb{R}$ en posant

\mu(A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{A}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\,d\lambda(x)\ .

Cette mesure s’appelle la mesure gaussienne. C’est un exemple de probabilité à densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Pour vérifier qu’il s’agit bien d’une probabilité, il faut vérifier que :

\mu(\mathbb{R})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\,d% \lambda(x)=1.

On le vérifiera plus loin par changement de variable à la fin du chapitre 5 à la formule (5.1)

6.3 Lien avec les Séries

Soit $\Omega$ un ensemble. On considère l’espace mesuré $(\Omega,\mathscr{P}(\Omega),\nu)$ . Tout fonction $f:\Omega\to\overline{\mathbb{R}}$ est $\mathscr{P}(\Omega)$ -mesurable. On peut donc ignorer la mesurabilité pour le cas des séries.

Cas $\Omega=\{\omega_{1},\cdots,\omega_{n}\}$ fini

Toute fonction s’écrit $\displaystyle f=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(\omega_{k})1_{\{\omega_{k}\}}$ et est donc étagée. On déduit que $\displaystyle\int_{\Omega}fd\nu=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(\omega_{k})$ , d’abord pour les fonctions étagées, puis positives, puis quelconques (on peut prendre toutes les limites constantes).

Cas $\Omega=\mathbb{N}$

Lemme 4.36.

1.

Si $f\geq 0$ alors $\displaystyle\int_{\Omega}fd\nu=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$
2.

$f$ est intégrable si et seulement si $\displaystyle\sum f(n)$ est absolument convergente et encore

$\displaystyle\int_{\Omega}fd\nu=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n).$

Démonstration :

1) Soit $\displaystyle f_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)1_{\{k\}}$ est une suite croissante de fonctions donc par le TCM $\displaystyle\int_{\Omega}fd\nu=\lim_{n}\int_{\Omega}f_{n}d\nu=\lim_{n}% \displaystyle\sum_{k=0}^{n}f(k)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$

2) L’équivalence vient du 1) $f$ est intégrable ssi $|f|$ a une intégrale fini, donc ssi $\displaystyle\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|f(n)|$ c’est à dire ssi $\displaystyle\sum f(n)$ est absolument convergente. La définition de l’intégrale et de la somme coïncident alors

\displaystyle\int_{\Omega}fd\nu=\int_{\Omega}f_{+}d\nu-\int_{\Omega}f_{-}d\nu=% \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n)_{+}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n)_% {-}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n).

□

Cas $\Omega=\{\omega_{n},n\in\mathbb{N}\}$ dénombrable

On a $\omega:\mathbb{N}\to\Omega$ une bijection, donc la mesure image $\nu_{\omega}(\{i\})=\nu(\{\omega^{-1}(i)\}=1=\nu(\{i\})$ est encore la mesure de comptage, le théorème de transfert donne donc :

Lemme 4.37.

Pour tout $f:\Omega\to[0,+\infty]$ ,

\int_{\Omega}fd\nu=\int_{\mathbb{N}}f(\omega)d\nu=\displaystyle\sum_{n=0}^{% \infty}f(\omega_{n})

En particulier, si $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est une bijection $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(\sigma(n))=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f% (n)$ et le même résultat est valide pour les séries absolument convergentes (on dit qu’elles sont commutativement convergentes.) Aussi $L^{1}(\Omega,\nu)=\ell^{1}(\Omega)$ est l’ensemble des familles sommables sur $\Omega$ avec la norme $1$ .

Probabilité discrète sur $\Omega=\{\omega_{n},n\in\mathbb{N}\}$ dénombrable

C’est une densité $f:\Omega\to[0,1]$ par rapport à la mesure de comptage telle que $\int_{\Omega}fd\nu=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(\omega_{n})=1$ .