Rappels

0.1 Droite réelle étendue

Rappel 4.1.

La somme $x+y$ avec $x,y\in\overline{\mathbb{R}}$ , est définie à l’exception du cas où $x=\pm\infty$ et $y=-x$ .

Contrairement au cas des limites, on pose $0.+\infty=0$ , $t.+\infty=+\infty$ pour $t>0$ .

Pour un ensemble $A$ non-vide (non-nécessairement borné), on utilise $\sup A$ pour le plus petit majorant $M\in\overline{\mathbb{R}}$ de $A$ et $\inf A$ pour le plus grand minorant $m\in\overline{\mathbb{R}}$ de $A$ .

On utilisera aussi $\inf\emptyset=+\infty$ , $\sup\emptyset=-\infty$ .

Exercice 4.1.

Soient $A, B$ parties non vides de R. Montrer que :

1.

$M=\sup A$ ssi M est un majorant de A et il existe une suite $(x_{n})$ , avec $x_{n}\in A$ telle que $x_{n}\to M$ . Caractérisation analogue de inf A .
2.

Tout A (non-vide) admet une borne supérieur $\sup A\in]-\infty,\infty]$ et une borne inférieur $\inf A\in[-\infty,\infty[$ .
3.

sup A et inf A sont uniques.
4.

$\sup(-tA)=-t\inf A$ , $\forall t\in]0,\infty[$ . Formules analogues pour $\sup(tA),\inf(tA),\inf(-tA)$ .
5.

$\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ et $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$ (avec la somme usuelle d’ensemble $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$ .
6.

Si $A\subset B$ , alors $\inf B\leq\inf A\leq\sup A\leq\sup B$ .
7.

Si $(x_{n})_{n\geq 0}$ est une suite croissante de réels, alors $\lim x_{n}=\sup\{x_{n};n\geq 0\}=\sup x_{n}$ . Énoncé analogue pour une suite décroissante.
8.

Si $\sup A>x\in\mathbb{R}$ , alors il existe un $y\in A$ tel que $y>x$ .

0.2 Limites inférieures et supérieures

$\bigstar$ Définition 4.1.

Pour une suite $x_{n}\in\mathbb{R}$ , sa limite supérieure est le nombre:

\limsup_{n}x_{n}=\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n}x_{k}=\lim_{n\to\infty}\sup_{k% \geq n}x_{k}

(L’égalité vient de la décroissance de la suite des $\sup$ , et c’est aussi la plus grande valeur d’adhérence :exo), sa limite inférieure est le nombre:

\liminf_{n}x_{n}=\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}x_{k}=\lim_{n\to\infty}\inf_{k% \geq n}x_{k}.

(c’est aussi la plus petite valeur d’adhérence exo)

Lemme 4.1.

On a les formules suivantes (pour $t>0$ ):

\limsup-x_{n}=-\liminf x_{n},\liminf-x_{n}=-\limsup x_{n}

\limsup tx_{n}=t\limsup x_{n},\liminf tx_{n}=t\liminf x_{n}

\limsup x_{n}+y_{n}\leq\limsup x_{n}+\limsup y_{n}

\liminf x_{n}+y_{n}\geq\liminf x_{n}+\liminf y_{n}

Enfin, $\limsup x_{n}=\liminf x_{n}=\ell\in\overline{\mathbb{R}}$ si et seulement si $x_{n}\to\ell$ .

Démonstration :

Toutes les (in)égalités sont des conséquences des propriétés des $\sup,\inf$ puis un passage à la limite:

\sup_{k\geq n}-x_{n}=-\inf_{k\geq n}x_{n},\inf_{k\geq n}-x_{n}=-\sup_{k\geq n}% x_{n}

\sup_{k\geq n}tx_{n}=t\sup_{k\geq n}x_{n},\inf_{k\geq n}tx_{n}=t\inf_{k\geq n}% x_{n}

\sup_{k\geq n}x_{n}+y_{n}\leq\sup_{k\geq n}x_{n}+\sup_{k\geq n}y_{n}

\inf_{k\geq n}x_{n}+y_{n}\geq\inf_{k\geq n}x_{n}+\inf_{k\geq n}y_{n}

Enfin, le sens intéressant est celui où $\limsup x_{n}=\liminf x_{n}=\ell\in\mathbb{R}$ et alors $X_{k}=\inf_{k\geq n}x_{k}\leq x_{k}\leq\sup_{k\geq n}x_{n}=Y_{k}$ et le théorème des gendarmes permet de conclure que la limite commune de $X_{k},Y_{k}$ est aussi la limite $\ell$ de $x_{k}$ . Réciproquement, si $x_{n}\to\ell$ , alors pour tout $\epsilon>0$ , pour $n$ grand, $\ell-\epsilon\leq x_{n}\leq\ell+\epsilon$ d’où on déduit $\ell-\epsilon\leq\liminf x_{n}\leq\limsup x_{n}\leq\ell+\epsilon$ et $\epsilon\to 0$ conclut. □