Rappels

0.1 Droite réelle étendue

Rappel 4.1.

La somme x + y avec x, y dans

ℝ

, est définie à l’exception du cas où x = ±∞ et y = - x. Contrairement au cas des limites, on pose 0 fois l’infini est égal 0 mais t fois l’infini (au sens de +∞ ) est égal à l’infini si t est strictement positif.

La somme $x+y$ avec $x,y\in\overline{\mathbb{R}}$ , est définie à l’exception du cas où $x=\pm\infty$ et $y=-x$ . Contrairement au cas des limites, on pose $0.+\infty=0$ , $t.+\infty=+\infty$ pour $t>0$ .

Pour un ensemble A non-vide (non-nécessairement borné), on utilise sup A pour le supremum de A, c’est-à-dire le plus petit majorant M dans

ℝ

de A et inf A pour l’infimum de A, soit pour le plus grand minorant dans

ℝ

de A.

Pour un ensemble $A$ non-vide (non-nécessairement borné), on utilise $\sup A$ pour le plus petit majorant $M\in\overline{\mathbb{R}}$ de $A$ et $\inf A$ pour le plus grand minorant $m\in\overline{\mathbb{R}}$ de $A$ .

On utilisera aussi que l’infimum de l’ensemble vide est +∞ et que le supremum de l’ensemble vide est -∞ .

On utilisera aussi $\inf\emptyset=+\infty$ , $\sup\emptyset=-\infty$ .

Exercice 4.1.

Soient A, B des parties non vides de ℝ . Montrer que

1.

M est le supremum de A si et seulement si M est un majorant de A et il existe une suite x_n d’éléments de A qui converge vers M. Caractérisation analogue de inf A .
2.

Tout A (non-vide) admet une borne supérieur sup A dans

ℝ

privé de -∞ et une borne inférieur inf A dans

ℝ

privé de +∞ .
3.

sup A et inf A sont uniques.
4.

Le supremum de l’ensemble (- tA), des produits des éléments de l’ensemble A par -t, est égale à - t fois l’infimum de A pour tout t strictement positif et fini. Formules analogues pour sup (tA ), inf (tA ), inf (- tA).
5.

Le supremum de l’ensemble A + B est égal à la somme du supremum de A et du supremum de B. De même l’infimum de l’ensemble A + B est égal à la somme de l’infimum de A et de l’infimum de B. (Pour rappel, avec la somme usuelle d’ensemble A + B l’ensemble des a+b où a parcourt A et b parcourt B).
6.

Si A est inclus dans B, alors l’infimum de B est inférieur ou égal à l’infimum de A qui est bien-sûr inférieur ou égal au supremum de A qui est lui-même inférieur ou égal au supremum de B.
7.

Si ( x_n )_{n ≥0} est une suite croissante de réels, alors la limite de x_n est égal au supremum de l’ensemble des termes de la suite, noté sup x_n. Énoncé analogue pour une suite décroissante.
8.

Si le supremum de A est strictement supérieur à un réel x, alors il existe un y dans A tel que y est strictement supérieur à x.

Soient $A, B$ parties non vides de $\mathbb{R}$ . Montrer que :

1.

$M=\sup A$ ssi M est un majorant de A et il existe une suite $(x_{n})$ , avec $x_{n}\in A$ telle que $x_{n}\to M$ . Caractérisation analogue de inf A .
2.

Tout A (non-vide) admet une borne supérieur $\sup A\in]-\infty,\infty]$ et une borne inférieur $\inf A\in[-\infty,\infty[$ .
3.

$\sup A$ et $\inf A$ sont uniques.
4.

$\sup(-tA)=-t\inf A$ , $\forall t\in]0,\infty[$ . Formules analogues pour $\sup(tA),\inf(tA),\inf(-tA)$ .
5.

$\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ et $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$ (avec la somme usuelle d’ensemble $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$ .
6.

Si $A\subset B$ , alors $\inf B\leq\inf A\leq\sup A\leq\sup B$ .
7.

Si $(x_{n})_{n\geq 0}$ est une suite croissante de réels, alors $\lim x_{n}=\sup\{x_{n};n\geq 0\}=\sup x_{n}$ . Énoncé analogue pour une suite décroissante.
8.

Si $\sup A>x\in\mathbb{R}$ , alors il existe un $y\in A$ tel que $y>x$ .

0.2 Limites inférieures et supérieures

$\bigstar$ Définition 4.1.

Pour une suite réelle (x_n), sa limite supérieure est le nombre noté limsup_n x_n qui est à la fois l’infimum sur les n≥1 du supremum sur les k≥n de x_k, et, comme la suite des suprema est décroissante en n, aussi la limite quand n tend vers l’infini du supremum sur les k≥n de x_k.

(On laisse en exo que c’est aussi la plus grande valeur d’adhérence). En inversant infimum et supremum, sa limite inférieure est le nombre noté liminf_n x_n qui est à la fois le supremum sur les n≥1 de l’infimum sur les k≥n de x_k, et, comme la suite des infima est croissante en n, aussi la limite quand n tend vers l’infini de l’infima sur les k≥n de x_k. (On laisse en exo que c’est aussi la plus petite valeur d’adhérence).

Pour une suite $x_{n}\in\mathbb{R}$ , sa limite supérieure est le nombre:

\limsup_{n}x_{n}=\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n}x_{k}=\lim_{n\to\infty}\sup_{k% \geq n}x_{k}

(L’égalité vient de la décroissance de la suite des $\sup$ , et c’est aussi la plus grande valeur d’adhérence :exo), sa limite inférieure est le nombre:

\liminf_{n}x_{n}=\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}x_{k}=\lim_{n\to\infty}\inf_{k% \geq n}x_{k}.

(c’est aussi la plus petite valeur d’adhérence exo)

Lemme 4.1.

On a les identités suivantes (pour t¿0):

1.

La limsup_n de la suite (-x_n) est égale à l’opposé de la liminf_n x_n. Inversement, la liminf_n de la suite (-x_n) est égale à l’opposé de la limsup_n x_n.
2.

La limsup_n de la suite des produits (t x_n) est égale au produit par t de la limsup_n x_n. Inversement, la liminf_n de la suite des produits (t x_n) est égale au produit par t de la liminf_n x_n.
3.

La limsup_n de la suite des sommes (x_n + y_n) est inférieure ou égale à la somme de la limsup_nx_n et de la limsup_ny_n. Autrement dit, la limsup est sous-additive.
4.

La liminf_n de la suite des sommes (x_n + y_n) est supérieure ou égale à la somme de la liminf_nx_n et de la liminf_ny_n. Autrement dit, la liminf est sur-additive.

Enfin, limsup_n x_n est à égale liminf_n x_n et vaut un nombre l dans

ℝ

si et seulement si la suite x_n converge vers l.

On a les formules suivantes (pour $t>0$ ):

\limsup-x_{n}=-\liminf x_{n},\liminf-x_{n}=-\limsup x_{n}

\limsup tx_{n}=t\limsup x_{n},\liminf tx_{n}=t\liminf x_{n}

\limsup x_{n}+y_{n}\leq\limsup x_{n}+\limsup y_{n}

\liminf x_{n}+y_{n}\geq\liminf x_{n}+\liminf y_{n}

Enfin, $\limsup x_{n}=\liminf x_{n}=\ell\in\overline{\mathbb{R}}$ si et seulement si $x_{n}\to\ell$ .

Démonstration :

Toutes les (in)égalités sont des conséquences des propriétés des suprema et infima puis un passage à la limite en n. En effet, avant ce passage à la limite on a :

1.

Le supremum sur les k≥n de la suite (-x_k) est égale à l’opposé de l’infimum sur les k≥n de la suite (x_k). L’infimum sur les k≥n de la suite (-x_k) est égale à l’opposé du supremum sur les k≥n de la suite (x_k).
2.

la multiplication par t ¿ 0 préserve les infima et suprema.
3.

Le supremum sur k≥n de la suite des sommes (x_k + y_k) est inférieure ou égale à la somme du suprema sur k≥n de x_k et du supremum sur k≥n de y_k. Autrement dit, le supremum est sous-additif.
4.

L’infimum sur k≥n de la suite des sommes (x_k + y_k) est supérieure ou égale à la somme du infima sur k≥n de x_k et du suprema sur k≥n de y_k. Autrement dit, l’infimum est sur-additif.

Enfin, pour la caractérisation de la convergence, le sens intéressant est celui où l’on suppose l’égalité des limsup et liminf. Alors, si on pose X_n pour l’infimum sur k≥n de la suite x_k et Y_n pour le supremum sur k≥n de la suite x_k. Alors, vu que x_n fait parti des nombres dont on prend soit l’infimum soit le supremum, on déduit que (X_n) est plus petit que (x_n) qui est plus petit que (Y_n). Le théorème des gendarmes permet de conclure que la limite commune de (X_n) et (Y_n) est aussi la limite l de la suite (x_n). Réciproquement, si (x_n) converge vers l, alors pour tout ε ¿ 0, pour n assez grand, x_n est compris entre l -ε et l+ε d’où on déduit la même inégalité pour les limsup et liminf à savoir: l -ε est inférieur ou égal à la liminf_n x_n qui est inférieur ou égal à la limsup_n x_n qui est lui-même inférieur ou égale à l+ε . On conclut en prenant la limite ε tend vers 0.

Toutes les (in)égalités sont des conséquences des propriétés des $\sup,\inf$ puis un passage à la limite:

\sup_{k\geq n}-x_{n}=-\inf_{k\geq n}x_{n},\inf_{k\geq n}-x_{n}=-\sup_{k\geq n}% x_{n}

\sup_{k\geq n}tx_{n}=t\sup_{k\geq n}x_{n},\inf_{k\geq n}tx_{n}=t\inf_{k\geq n}% x_{n}

\sup_{k\geq n}x_{n}+y_{n}\leq\sup_{k\geq n}x_{n}+\sup_{k\geq n}y_{n}

\inf_{k\geq n}x_{n}+y_{n}\geq\inf_{k\geq n}x_{n}+\inf_{k\geq n}y_{n}

Enfin, le sens intéressant est celui où $\limsup x_{n}=\liminf x_{n}=\ell\in\mathbb{R}$ et alors $X_{n}=\inf_{k\geq n}x_{k}\leq x_{n}\leq\sup_{k\geq n}x_{k}=Y_{n}$ et le théorème des gendarmes permet de conclure que la limite commune de $X_{n},Y_{n}$ est aussi la limite $\ell$ de $x_{n}$ . Réciproquement, si $x_{n}\to\ell$ , alors pour tout $\epsilon>0$ , pour $n$ grand, $\ell-\epsilon\leq x_{n}\leq\ell+\epsilon$ d’où on déduit $\ell-\epsilon\leq\liminf x_{n}\leq\limsup x_{n}\leq\ell+\epsilon$ et $\epsilon\to 0$ conclut.

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