5 Théorème de transfert

$\bigstar$ Théorème 4.32 (Théorème de transfert).

Soit $f:(\Omega,\mathscr{T},\mu)\to(E,\mathscr{E})$ une fonction mesurable de mesure image $\mu_{f}$ et $h:(E,\mathscr{E})\to(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ une autre fonction mesurable. Alors, si $h$ est à valeur positive :

\int(h\circ f)\ d\mu=\int_{E}h(x)\ d\mu_{f}(x).

De plus, si $h$ n’est pas à valeur positive $h\circ f\in L^{1}(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ si et seulement si $h\in L^{1}(E,\mathscr{E},\mu_{f})$ et on a encore $\int(h\circ f)d\mu=\int h(x)d\mu_{f}(x).$

Autrement dit, on ramène une intégrale sur $\Omega$ à une intégrale sur $\mathbb{R}$ :

\int_{\Omega}h(f(\omega))d\mu(\omega)=\int_{\mathbb{R}}h(x)d\mu_{f}(x).

Démonstration :

On procède comme pour la construction de l’intégrale. Si $h=1_{B}$ avec $B\in\mathscr{E}$ , $h\circ f=1_{f^{-1}(B)}$ et donc

\int h\circ fd\mu=\mu(f^{-1}(B))=\mu_{f}(B)=\int h(x)d\mu_{f}(x).

Par linéarité, on obtient le cas de $h$ étagé. Si $h$ positive, $h$ est la limite croissante d’une suite de fonctions étagées $h_{n}$ (du lemme 4.21). Comme $h_{n}(x)\to h(x)$ par construction, on applique le théorème de convergence monotone aux deux mesures:

\int h\circ f\ d\mu=\lim_{n\to\infty}\int(h_{n}\circ f)d\mu=\lim_{n\to\infty}% \int h_{n}(x)d\mu_{f}(x)=\int h(x)d\mu_{f}(x).

Le dernier résultat du cas intégrable est évident par le cas positif pour l’équivalence et par linéarité pour l’égalité. □

Le résultat similaire suivant est important en probabilité. Nous avons vu la tribu engendrée par $f$ : $\sigma(f)$ au lemme 4.8. Le résultat suivant donne une interprétation concrète des fonctions $\sigma(f)$ -mesurables.

Proposition 4.33 (Lemme de Doob-Dynkin).

Soit $f$ une fonction mesurable, $f:(\Omega,\mathscr{T},\mu)\to(E,\mathscr{E})$ , et soit $\sigma(f)=\{A=f^{-1}(B),B\in\mathscr{E}\}$ la tribu engendrée par $f$ . Alors $g:\Omega\to(\mathbb{R}^{n},\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n}))$ est $\sigma(f)$ -mesurable si et seulement si il existe $h:(E,\mathscr{E})\to(\mathbb{R}^{n},\mathscr{B}(\mathbb{R}^{n}))$ mesurable telle que $g=h\circ f.$

Démonstration :

La condition suffisante est évidente car pour un borélien $A$ , $(h\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(h^{-1}(A))$ qui est mesurable car $h^{-1}(A)\in\mathscr{E}$ car $h$ borélienne et l’image inverse par $f$ est alors par définition un élément de $\sigma(f)$ .

Réciproquement, on raisonne comme pour le transfert par le cas étagé $g=\displaystyle\sum_{i}\lambda_{i}1_{A_{i}}$ et $A_{i}=f^{-1}(B_{i})$ et alors $h=\displaystyle\sum_{i}\lambda_{i}1_{B_{i}}$ convient. Sinon, si $g$ positive, on la prend pour limite simple de $g_{n}$ étagée de la forme $h_{n}\circ f$ par le cas étagé, et on pose

h(x)=\liminf_{n\to\infty}h_{n}(x).

$h$ convient car mesurable positive (comme $\liminf$ de fonctions mesurables) et car $g(\omega)=\lim_{n}h_{n}(f(\omega))=h(f(\omega))$ vu qu’en $f(\omega)$ la suite $(h_{n})$ converge d’après le choix de $g_{n}$ . Le cas général se montre par linéarité à partir du cas positif. □

5 Théorème de transfert

★ Théorème 4.32 (Théorème de transfert).

Proposition 4.33 (Lemme de Doob-Dynkin).

$\bigstar$ Théorème 4.32 (Théorème de transfert).