Le Petit Poucet
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Le Petit Poucet
Le Petit Poucet peut faire des bonds de 7 lieues et des bonds de 4 lieues.
Remarque préliminaire
Peut-on choisir n’importe quelle distance à parcourir ? Autrement dit :
en ajoutant des 4 et des 7 peut-on atteindre n’importe quel nombre entier ?
La réponse est oui, à partir d’un certain rang. Pour s’en convaincre, il suffit de classer les premiers entiers selon leur reste dans la division par 4.
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La première colonne ne comporte que des multiples de 4, donc seul 0 est hors d’atteinte. Dans les autres colonnes, on peut atteindre tous les nombres à partir du premier multiple de 7 rencontré, puisqu’on passe d’une ligne à l’autre en ajoutant 4. |
La question posée aux élèves est de minimiser le nombre d’opérations (le nombre de bonds du Petit Poucet), ce qui revient à utiliser un maximum de 7.
Choix des nombres à atteindre
Il n’est évidemment pas intéressant de proposer des multiples de 7. Les cibles les plus faciles sont les nombres de la forme 7n + 4, comme 32 ou 74.Les multiples de 4, comme le premier nombre proposé 40, offrent l’avantage d’une solution rapide : on peut faire 10 bonds de 4 lieues, puis remplacer 7 bonds de 4 lieues par 4 bonds de 7 lieues.
Exemples de démarches possibles pour 69 :
69 = 9 x 7 + 6
69 = 8 x 7 +7 + 6
69 = 7 x 7 +7 + 7+ 6 et 7 + 7 + 6 = 5 x 4 !!
69 = 6 x (7 + 4 ) + 3
Mais 4 + 3 = 7, en enlevant un bond de 4, on récupère un bond de 7
69 =7 x 7 + 5 x 4
De 44 à 69, il y a 29 soit 21 +8.
D’où : 69 = 40 + 29 = 4 x 7 + 3 x 4 +3 x 7 + 2 x 4
69 - 7 = 62
62 - 7 = 55
55 - 7 = 48 = 12 x 4. Erreur possible : s’arrêter là.
48 - 7 = 41
41 - 7 = 34
34 - 7 = 7
27 - 7 = 20 = 5 x 4.
69 - 4 = 65
65 - 4 = 61
61 - 4 = 57
57 - 4 = 53
53 - 4 = 49 = 7*7.
Difficultés prévisibles
Erreurs de calcul. On peut choisir de donner la calculatrice ou une table de multiplication.
Essais désordonnés.
Blocage. A des élèves qui n’entrent pas dans le problème, on peut demander de chercher toutes les distances que le Petit Poucet peut franchir en 3 bonds, en 4 bonds.
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