M1-GROUPES CLASSIQUES ET GEOMETRIE

 

 

 


Nouvelles du cours :

 

  • Cours 1. Introduction à l'approche Erlangen de la géométrie: groupe, espace géométrique, action, orbite, mesure de l'espace des orbites, forme normale. Exemple élémentaire: les applications linéaires. Théorème du rang, puis interprétation par l'action de groupe dont les orbites sont les matrices équivalentes. Stabilisateur. Bijection entre l'orbite et l'espace quotient. Propriétés topologiques des orbites constituées des matrices de rang donné. Utilisation au passage du fait que le rang d'une matrice est égal à la taille maximale d'un mineur non nul, voir la preuve. Le rang est une fonction semi-continue inférieurement.

     

  • Cours 2. Topologie sur une algèbre de matrices, différentes normes utilisées. Introduction aux groupes topologiques, définition, exemples. GLn(k) est un groupe topologique ouvert dense connexe sur C, non connexe sur R. Applications au fait que le polynôme caractéristique de AB est égal à celui de BA en utilisant la continuité de A--> chi_A. L'ensemble des matrices de rang r sur C est connexe. Définition d'une action continue. Définition de la topologie sur G/H, le morphisme canonique est continu et ouvert.

     

  • Cours 3. Quelques rappels sur des notions topologiques: connexité, séparabilité, voir deux définitions de la séparabilité: pour un groupe la séparabilité revient à dire que {e} est fermé. Pour un sous-groupe H, H fermé implique G/H séparé. Le sous-groupe H est ouvert est équivalent à G/H discret. Cas simple: si G est compact agissant sur X séparé, l'action sur x sur X passe au quotient en un homéomorphisme. Théorème d'homéomorphisme: même résultat si G est localement compact dénombrable à l'infini agissant continûment et transitivement sur X localement compact (plus dur preuve non faite). Exemples d'application du théorème d'homéomorphisme, contre-exemple par enroulement sur le tore. Applications: 1. la topologie de G donne des renseignements sur la topologie de X. 2. la topologie de X donne des renseignements sur la topologie de G. 3. G fournit par transport de structure une topologie sur X. Pour illustrer 1), on a que H et G/H connexe implique G connexe. Application GLn(R)^+ est connexe.

     

  • Cours 4. SO(n) est compact connexe. Pour illustrer 2), l'ensemble des matrices de rang donné est connexe. Les composantes connexes de l'ensemble des projecteurs sont classifiées par le rang. Pour illustrer 3), la grassmannienne peut être munie d'une topologie par transport de structure de la topologie de GLn. La grassmannienne est alors compacte et connexe. Dernière application: le produit semi-direct topologique: dans de bonnes conditions topologiques, l'isomorphisme entre le groupe et le PSD est un homéomorphisme.
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  • Cours 5. Action par conjugaison de GLn(C) sur les matrices diagonalisables. Bijection entre les classes de conjugaison de matrices diagonalisables et les n-uplets de C à permutation près. Stabilisateur (à isomorphisme intérieur près) d'une matrice diagonalisable. Critère topologique de diagonalisibilité: une classe de conjugaison est fermée si et seulement si c'est la classe d'une matrice diagonalisable. Action de GLn par conjugaison sur les matrices nilpotentes. On définit la suite des noyaux emboités associée à une matrice nilpotente et la partition associée. Annonce: contrôle continu la semaine du 13 février, voici quelques questions types pour le CC.
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  • Cours 6. Action de GLn(C) sur les matrices nilpotentes. L'invariant total est le tableau de Young (ou la partition associée, ou les dimensions des noyaux emboîtés, ce qui revient au même): deux matrices nilpotentes sont semblables si et seulement si elles ont même tableau de Young associé. Au passage, on a construit les matrices de Jordan. Passage de l'action sur les matrices nilpotentes à l'action sur les matrices à spectre singleton, puis au cas général (sur C) par le lemme des noyaux.

     

  • Cours 7. Petit contrôle continu autour de quelques preuves du cours. Conversation informelle (en fait, teaser pour les nouveautés dans la prochaine édition de H2G2) sur la méthode de Newton permettant de trouver la décomposition de Dunford sur un corps de caractéristique non nulle. Pour finir, passage du cas complexe au cas réel: l'orbite de GLn(R) sur une matrice reelle A est égale à l'orbite de GLn(C) sur A intersectée avec Mn(R). Dit autrement, deux matrices réelles sont GLn(R) semblables si et seulement si elles sont GLn(C)-semblables. Généralisation de ce résultat pour une extension L quelconque d'un corps K infini. Conclusion: la réduction se comporte très gentiment vis-à-vis du changement de corps.
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  • Cours 8. Rappels sur les formes quadratiques. Sur un corps de caractéristique différente de 2, la donnée d'une forme quadratique q sur un espace E est équivalente à la donnée d'une forme bilinéaire symétrique, elle-même équivalente à la donnée d'une application linéaire de E dans son dual. La donnée d'une base de E permet d'associer une matrice de q et le problème de choix de base nous amène à étudier l'action par congruence de GLn sur l'espace des matrices symétriques. Cas où la dimension de l'espace est 1: les orbites de congruence sont l'orbite nulle et K^*/K^*2. Les choses dépendent alors dramatiquement du corps K. Exemples pour C, R (signe), Fq (symbole de Legendre). Notion de q-orthogonalité. Si q est une forme quadratique non dégénérée, alors la dimension de l'orthogonal d'un sous-espace F est égale à la codimension de F.
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  • Cours 9. On resume ensuite tous les critères généraux de congruence de deux matrices. Détermination de l'invariant total de congruence: sur C, le rang; sur R, la signature (théorème de Sylvester), sur Fq, le discriminant (cas non dégénéré). Détermination de l'invariant total de congruence: sur Fq, le discriminant (cas non dégénéré). On montre pour cela en lemme que sur le plan Fq^2, une forme quadratique non dégénérée attein la valeur 1. Pour chaque orbite de congruence non dégénérée, on défini le stabilisateur de la forme normale, on obtient les groupes O(n,C), sur C, O(p,q), sur R, et deux groupes orthogonaux sur Fq.
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  • Cours 10. Application: loi de la réciprocité quadratique en utilisant les formes quadratiques. Existence, unicité de la décomposition polaire. La décomposition polaire est un homéomorphisme. Au passage, un petit lemme sur l'existence et l'unicité de la racine carrée dans Sn++. Corollaire: la norme subordonnée à la norme quadratique est égale au rayon spectral de la composante symétrique de la matrice. Autre corollaire: le groupe orthogonal est un sous-groupe compact maximal de GL_n(R). Un algorithme de type Newton pour la décomposition polaire. La date du partiel est fixée au 11 avril, dans l'après-midi et le programme s'arrête aux formes quadratiques (incluses).
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  • Cours 11. Preuve de l'algorithme de décomposition polaire. Définition et premières propriétés de l'exponentielle. L'exponentielle réalise un homéomorphisme de S_n vers Sn++. Décomposition polaire et étude du groupe O(p,q). Application de l'exponentielle au nombre de composantes connexes du groupe O(p,q) et à la description du groupe orthochrone (composante connexe de l'identité dans O(p,q)). Combinatoire algébrique. Cardinaux d'ensembles classiques et géométrie linéaire sur corps fini: espaces vectoriels, espaces projectifs, groupe linéaire, groupe projectif, groupe spécial linéaire, grassmanniennes, variétés de drapeaux complets. Isomorphismes exceptionnels: PGL2(F2) et S3, PGL2(F3) et S4, PSL2(F3) et A3, PSL2(F4) et A5, PSL2(F5) et S5.
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  • Cours 12. Introduction aux groupes de Lie. Préliminaires: Notion de sous-variété, rappel du théorème d'inversion locale et du théorème de submersion. Calcul de différentielles. Théorème de Cartan (admis): un sous-groupe fermé de GL_n(K) est un sous-groupe de Lie (mais on ne s'en servira pas pour la gloire et pour le sport). On(R) est un groupe de Lie (par le théorème de submersion). SL_n est un groupe de Lie, isomorphisme exceptionnel PSL_2(C) avec SO_3(C). Enfin, S_4 est le groupe du tétrèdre.
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    FICHES TD/Documents

     

     

    TOUT sur la compacité locale.+

  • L' examen de 2011


  • L' examen de 2012 et sa correction.


  • Le partiel de 2013


  • L' examen de 2013


  • Le partiel de 2014 et sa correction.


  • L' examen de 2014 et (une partie de) sa correction.


  • L' examen de 2015 et sa correction.


  • Le partiel de 2017 et sa correction.


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    LIVRES CONSEILLES

     

     

  • Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries, [H2G2], (Caldero-Germoni), Calvage & Mounet.
  • Groupes de Lie classiques, (Mneimné-Testard), Hermann.
  • Cours d'algèbre, (Daniel Perrin), Ellipses.
  • Eléments de géométrie, actions de groupes, (Rached Mneimné), Cassini.
  • Algèbre linéaire, (Rémi Goblot), Ellipses.
  • Méthodes modernes en géométrie, (Jean Fresnel), Hermann.
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