1/7 (1)

lundi 5 mars 2007
par  Webmaster IREM

Quelques calculs sur le développement décimal de 1/7

Lien entre 7\times 142\,857=999\,999 et 1/7=0,142\,857\cdots

Supposons savoir que

7\times 142\,857=999\,999.

On écrit cette égalité sous la forme :

7\times142\,857=10^6-1,

puis, en divisant membre à membre par 7\times10^6 :

\frac{10^6-1}{7\times10^6}=\frac{142\,857}{10^6}.

On en déduit sans peine :

\frac{1}{7}=\frac{142\,857}{10^6}+\frac{1}{7\times10^6},

ou encore :

\frac{1}{7}=0,142\,857+\frac{1}{10^6}\times\frac{1}{7}.

Noter que les six premiers chiffres de 1/7\times 10^6 sont nuls, ce qui veut dire qu’on vient de calculer le début du développement décimal de 1/7.

Mais on peut dire mieux : en remplaçant le 1/7 ``de droite’’ par le 1/7 ``de gauche’’, on obtient :

\frac{1}{7}=0,142\,857+\frac{1}{10^6}\times0,142\,857+\frac{1}{7\times10^{12}}.

On en déduit que les six chiffres suivants de 1/7 sont aussi 142\,857 :

\frac{1}{7}=0,142\,857\,142\,857+\frac{1}{7\times10^{12}}.

On peut recommencer ainsi à l’infini, ce qui s’écrit :

\frac{1}{7}=0,142\,857\,142\,857\,\cdots

Inversement, supposons connaître cette dernière formule. Multiplions par 10^6, ce qui revient à décaler la virgule de 6 rangs vers la droite :

\frac{10^6}{7}=142\,857,142\,857\,142\,857\cdots

ce qui s’écrit aussi :

\frac{10^6}{7}=142\,857+0,142\,857\,142\,857\cdots

On reconnaît notre fameux 1/7 :

\frac{10^6}{7}=142\,857+\frac{1}{7}

On en déduit :

\frac{10^6-1}{7}=142\,857,

ce qui revient à dire :

7\times 142\,857=999\,999.


Commentaires