Lien entre $7\times 142\,857=999\,999$ et $1/7=0,142\,857\cdots$
Supposons savoir que
$$7\times 142\,857=999\,999.$$
On écrit cette égalité sous la forme :
$$7\times142\,857=10^6-1,$$
puis, en divisant membre à membre par $7\times10^6$ :$$\frac{10^6-1}{7\times10^6}=\frac{142\,857}{10^6}.$$
On en déduit sans peine :$$\frac{1}{7}=\frac{142\,857}{10^6}+\frac{1}{7\times10^6},$$
ou encore :$$\frac{1}{7}=0,142\,857+\frac{1}{10^6}\times\frac{1}{7}.$$
Noter que les six premiers chiffres de $1/7\times 10^6$ sont nuls, ce qui veut dire qu’on vient de calculer le début du développement décimal de $1/7$.Mais on peut dire mieux : en remplaçant le $1/7$ ``de droite’’ par le $1/7$ ``de gauche’’, on obtient :
$$\frac{1}{7}=0,142\,857+\frac{1}{10^6}\times0,142\,857+\frac{1}{7\times10^{12}}.$$
On en déduit que les six chiffres suivants de $1/7$ sont aussi $142\,857$ :$$\frac{1}{7}=0,142\,857\,142\,857+\frac{1}{7\times10^{12}}.$$
On peut recommencer ainsi à l’infini, ce qui s’écrit :$$\frac{1}{7}=0,142\,857\,142\,857\,\cdots$$
Inversement, supposons connaître cette dernière formule. Multiplions par $10^6$, ce qui revient à décaler la virgule de $6$ rangs vers la droite :
$$\frac{10^6}{7}=142\,857,142\,857\,142\,857\cdots$$
ce qui s’écrit aussi :$$\frac{10^6}{7}=142\,857+0,142\,857\,142\,857\cdots$$
On reconnaît notre fameux $1/7$ :$$\frac{10^6}{7}=142\,857+\frac{1}{7}$$
On en déduit :$$\frac{10^6-1}{7}=142\,857,$$
ce qui revient à dire :$$7\times 142\,857=999\,999.$$
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