1/7 (1)
par
Quelques calculs sur le développement décimal de 1/7
Lien entre 7\times 142\,857=999\,999 et 1/7=0,142\,857\cdots
Supposons savoir que
7\times 142\,857=999\,999.
On écrit cette égalité sous la forme :
7\times142\,857=10^6-1,
puis, en divisant membre à membre par 7\times10^6 :\frac{10^6-1}{7\times10^6}=\frac{142\,857}{10^6}.
On en déduit sans peine :\frac{1}{7}=\frac{142\,857}{10^6}+\frac{1}{7\times10^6},
ou encore :\frac{1}{7}=0,142\,857+\frac{1}{10^6}\times\frac{1}{7}.
Noter que les six premiers chiffres de 1/7\times 10^6 sont nuls, ce qui veut dire qu’on vient de calculer le début du développement décimal de 1/7.Mais on peut dire mieux : en remplaçant le 1/7 ``de droite’’ par le 1/7 ``de gauche’’, on obtient :
\frac{1}{7}=0,142\,857+\frac{1}{10^6}\times0,142\,857+\frac{1}{7\times10^{12}}.
On en déduit que les six chiffres suivants de 1/7 sont aussi 142\,857 :\frac{1}{7}=0,142\,857\,142\,857+\frac{1}{7\times10^{12}}.
On peut recommencer ainsi à l’infini, ce qui s’écrit :\frac{1}{7}=0,142\,857\,142\,857\,\cdots
Inversement, supposons connaître cette dernière formule. Multiplions par 10^6, ce qui revient à décaler la virgule de 6 rangs vers la droite :
\frac{10^6}{7}=142\,857,142\,857\,142\,857\cdots
ce qui s’écrit aussi :\frac{10^6}{7}=142\,857+0,142\,857\,142\,857\cdots
On reconnaît notre fameux 1/7 :\frac{10^6}{7}=142\,857+\frac{1}{7}
On en déduit :\frac{10^6-1}{7}=142\,857,
ce qui revient à dire :7\times 142\,857=999\,999.
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