Du CM à la sixième...50 problèmes (et plus si affinités)
Ce petit cahier de problèmes est disponible pour 5 € à la bibliothèque de l’IREM, c’est un cadeau sympathique pour Noël, pour les enfants, leurs parents, leurs grands-parents !
« Pourquoi » proposer des problèmes ouverts à nos élèves ?
Notre rôle d’enseignant n’est pas seulement de fournir des procédures « expertes » pour résoudre des problèmes standards avec une méthode unique : la recherche et le tâtonnement sont au cœur de l’activité mathématique, et ce dès les premiers apprentissages.
Nous avons choisi des problèmes abordables à différents niveaux, de telle sorte que tout élève puisse s’engager avec bonheur dans un processus de recherche, que ce soit avec des moyens élémentaires ou plus élaborés.
Les problèmes proposés sont de nature à favoriser les essais et la prise d’initiative. Ils sont souvent propices à l’échange durant la recherche et au débat entre élèves dans les phases de mise en commun.
Insistons sur un point : le temps nécessaire à l’appropriation de l’énoncé, souvent sous-estimé, et le temps de mise en commun font partie intégrante d’une séance de recherche de problèmes ouverts. Ils sont indispensables.
Ce temps peut sembler perdu, mais quelle meilleure façon de « perdre son temps » que de faire des mathématiques avec bonheur ?
Alain Daran, Maryvonne Le Berre, René Mulet-Marquis
Ce site veut être un lieu d’échange à propos de ces problèmes. Vous y trouverez quelques solutions, des idées de variantes, des pistes pour l’utilisation en classe. Nous attendons vos retours, vos commentaires, vos idées, et pourquoi pas quelques compte-rendus de recherches en classe.
Les énoncés :
La bande dessinée de Claude Tisseron
Documents joints
- Présentation de la brochure
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Articles publiés dans cette rubrique
vendredi 17 janvier 2014
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Les oies mathématiciennes. Problèmes 22 et 23.
Les oies mathématiciennes (1) et (2)
L’idée des problèmes provient du site canadien Récréomath, où l’on en trouve une étude détaillée.
Préambule : les nombres triangulaires
Dans la réalité les oies communes forment de simples V pour voler, mais nos oies mathématiciennes préfèrent remplir le V, et plus (...)
mardi 8 octobre 2013
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Le défi de Numérix. Enoncés 17, 18, 19
Le défi de Numérix (1) En intercalant des signes + entre certains chiffres de 654321, sans changer l’ordre des chiffres, on peut obtenir différents nombres, par exemple 21 ou 93 : 6 +5+ 4 + 3 + 2 + 1 = 21
65 + 4 +3 +21 = 93
Essaie d’obtenir les nombres suivants
57, 570, 660, 550
Les (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Questions et commentaires
Appel à questions, demandes ou commentaires sur les problèmes CM-sixième
mercredi 18 mars 2015
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Chercher les centres. Problèmes 28 et 29.
Chercher les centres
Les problèmes 28 et 29 proposent deux versions d’une même construction. Dans la première, on donne à l’élève le carré dans lequel est inscrite la figure, dans la seconde la figure est commencée, mais le carré n’est pas tracé.
La figure à compléter n’a ni les mêmes mesures ni la même (...)
mercredi 25 février 2015
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L’enveloppe. Problèmes 33 et 34.
Quelques généralités
La figure à compléter n’a ni les mêmes mesures ni la même orientation que la figure modèle, ceci pour éviter que les élèves ne se contentent de reproduire des longueurs ou des orientations sans chercher à analyser la figure. Pour cette analyse les élèves peuvent avoir besoin (...)
mardi 3 février 2015
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Assiettes cassées... Problème 27.
Assiettes cassées
Réponse
La plus grande assiette est la troisième.
Démarches possibles
Les élèves vont décalquer, découper, et éventuellement faire des tracés. Il faut donc prévoir plusieurs exemplaires des figures. Il est assez facile de voir que la première assiette est la plus petite, par contre (...)
mardi 3 février 2015
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La monnaie. problème 21.
La monnaie
Réponses
Question 1.
Pour régler un achat de 12 ECO :
On peut donner 2 pièces de 5 ECO et une pièce de 2 ECO.
On peut donner 6 pièces de 2 ECO.
On peut donner 4 pièces de 5 ECO et reprendre 4 pièces de 2 ECO.
Question 2.
2 façons pour 11 ECO : 1 x 5E + 3 x 2E et 3 (...)
mardi 3 février 2015
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Histoires sans paroles . Problèmes 5 et 6.
Histoire sans paroles (1)
Réponse
La crevette « vaut » 3, la tortue 8, le poisson 4, le crabe et la seiche 6.
Démarches possibles
Il n’échappe pas à un œil mathématiquement averti que les élèves sont placés devant un système de 6 équations à 5 inconnues, ce qui laisse penser à un surplus d’information. (...)
mercredi 15 octobre 2014
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Un peu d’ombre. Problème 48.
Un peu d’ombre
Intérêt du problème
Ce problème est l’occasion de travailler la notion d’aire, sans recours aux formules usuelles, mais en utilisant diverses unités, ce qui conduit à différents calculs. La mise en commun des méthodes utilisées peut en être d’autant plus intéressante.
Réponse
L’aire du (...)
mercredi 18 mars 2015
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Poly-polygones. Problème 37.
Poly-polygones
Réponse
On peut obtenir un triangle équilatéral quand le nombre de côtés du polygone est un multiple de 3.
Démarches possibles
Les élèves vont commencer par faire des tracés et des observations sur les figures données. Lorsque le nombre de côtés des polygones augmente, les essais (...)
mercredi 15 octobre 2014
Demi-périmètre ? Problème 44
Demi-périmètre ?
Réponse
1. Le périmètre de la serviette dépliée est 80cm.
2. On peut par exemple plier en quatre.
Démarches possibles
1. Comme on a plié un carré en deux la largeur du rectangle est la moitié de sa longueur. Le périmètre du rectangle (...)
mercredi 15 octobre 2014
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Le pèse-personnes. Problème 8
Le pèse-personne
Réponse
Classement du plus lourd au plus léger : Taoumi, Zoé ; Arthur
Démarches possibles
Deux voies de recherche, au moins, sont possibles : soit on recherche chacun des trois poids (masses en Physique). Soit on raisonne par comparaison.
La recherche des trois poids (...)
mercredi 25 février 2015
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Le benjamin de la famille. Problèmes 12 et 13.
Le benjamin de la famille
Voila une belle occasion de réfléchir au sens de l’écriture décimale ! C’est une écriture de position et plus on est à gauche plus le poids du chiffre est important. Il faut donc mettre à gauche les chiffres de moindre poids et à droite les chiffres ayant le plus de poids (...)
mercredi 18 mars 2015
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A table ! Problème 10.
A table
Réponse
340 360 380 357 378 399 374 396 418
Démarches possibles
1- en deux étapes
Etape 1.
On fait observer aux élèves une table de multiplication : dans la ligne du 2 on va de deux en deux, dans la ligne du 3 de trois en trois etc.
Dans la ligne ou se trouvent les nombres (...)
mercredi 18 mars 2015
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Voyage sur Mars. Problème 26.
Voyage sur Mars
Réponse
ou
Démarches possibles
La première idée et de se fabriquer sept jetons et de faire des essais. C’est la stratégie que l’on peut raisonnablement attendre des élèves.
Voici cependant une solution (...)
mercredi 18 mars 2015
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Le circuit de Maggie. Problème 42.
Le circuit de Maggie
Réponse
La distance parcourue est 32km.
Démarche possible
Le premier circuit envisagé fait 24km. Un des segments qui le compose fait donc 4km (24÷6). Le grand circuit fait donc 32 km (4×8).
mercredi 18 mars 2015
Des Dalles. Problème 43.
Des dalles
Réponse
La longueur d’une dalle est 20 cm, sa largeur est 10 cm.
Démarche possible
Le côté du carré mesure 40 cm (160÷4)
La longueur d’une dalle est 20 cm (40÷2)
La largeur d’une dalle est 10 cm (20÷2)
mardi 3 février 2015
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La confiture de mamie
La confiture de Mamie
Réponse
Petit pot 0,18kg ou 180g. Pot moyen 0,36kg ou 360g. Grand pot 0,54kg ou 540g
Remarque : On peut convertir en grammes pour éviter la difficulté du calcul avec des décimaux.
Pour arriver à ce résultat plusieurs stratégies sont possibles. En voici quelques unes qui (...)
mardi 3 février 2015
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2.Les dominos
Les dominos
1. Réponse
Tourner le premier et le quatrième ou le deuxième et le quatrième ou le troisième et le cinquième.
Démarches possibles
Remarque : on peut fournir aux élèves les dominos sur de petits cartons.
Les élèves peuvent faire des essais sans stratégie particulière. Ils vont voir assez (...)
mardi 3 février 2015
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Enquête à l’école.
Enquête à l’école
Réponse
Il y a 9 élèves qui ont les cheveux longs et pas de teeshirt.
Démarches possibles
On peut raisonner verbalement : comme 7 élèves ont les cheveux courts et portent un teeshirt, il y a 5 (12-7) élèves qui portent un teeshirt et ont les cheveux longs. Comme 14 élèves(30 - 16) ont (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Les gommettes
Les gommettes
Réponse
Chaque enfant aura 29 gommettes et il restera une gommette non distribuée.
Choix des nombres et démarches possibles
Certains élèves peuvent avoir du mal à comprendre la question : on peut la reformuler en donnant un exemple.
Il y a beaucoup de procédures de résolution (...)
mardi 3 février 2015
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Paris-Vintimille
Paris-Vintimille
Réponse
Il y a $560$ couchettes.
Démarches possibles
Voici un problème dont on accorde au lecteur qu’il ne fait pas partie de la vie quotidienne de nos élèves. Quelques explications (compartiment, couchette…) seront peut être nécessaires.
Dans le wagon de première classe il y a (...)
mardi 3 février 2015
Problème d’artiste
Problème d’artiste
Réponse
Il y a 81 possibilités.
Démarches possibles
On peut s’attendre dans un premier temps à des réponses variées : 7 ; 12 ; etc. Des élèves éprouveront certainement le besoin pour rentrer dans le problème de colorier effectivement des maisons. L’ampleur de la tâche peut conduire (...)
vendredi 20 novembre 2015
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Collection de timbres
Collection de timbres
Réponse
1. Avec 17 carrés, on peut former un seul rectangle
2. Avec 24 carrés, on peut former quatre rectangles différents
Démarches possibles
La plupart des élèves vont commencer par des essais avec des carrés de papier ou en dessinant. Certains pourront d’emblée chercher (...)
mercredi 16 octobre 2013
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La course des lutins
La course des lutins
Solution
Il y a 15 cailloux disposés en cercles, donc 15 intervalles.
En prenant l’intervalle comme unité, Joël fait des sauts de 2, Maël des sauts de 4 et Gaël des sauts de 3.
Gaël va gagner la course en 5 sauts. Pour les deux autres c’est plus difficile : après 7 sauts Joël (...)
mercredi 6 mai 2015
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Histoire de pattes
Histoire de pattes
Réponse
Dans la boite on peut avoir 3 araignées et 5 insectes ou 6 araignées et 1 insecte.
Démarches possibles
Ce problème peut évoquer le problème 11 (Autos et motos) mais il est plus simple, d’une part par la taille des nombres, d’autre part parce qu’il ne comporte qu’une (...)
mercredi 25 février 2015
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Le loto
Le loto
Réponse
On peut acheter 27 bouteilles et 2 gâteaux ou 19 bouteilles et 5 gâteaux ou 11 bouteilles et 8 gâteaux ou 3 bouteilles et 11 gâteaux.
Démarches possibles
Recherche exhaustive.
On commence par calculer toutes les dépenses possibles en achat de gâteaux : 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Le Petit Poucet
Le Petit Poucet
Le Petit Poucet peut faire des bonds de 7 lieues et des bonds de 4 lieues.
Remarque préliminaire
Peut-on choisir n’importe quelle distance à parcourir ? Autrement dit :
en ajoutant des 4 et des 7 peut-on atteindre n’importe quel nombre entier ?
La réponse est oui, à partir d’un (...)
jeudi 17 octobre 2013
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Cubes : à vos pinceaux !
Cubes : à vos pinceaux !(1) : solution
On forme une rangée de cubes sur une table et on s’intéresse au nombre de faces qui peuvent être peintes.
Il y a plusieurs façons de les dénombrer. Prenons le cas de 8 cubes comme exemple.
Première façon.
On s’aide de (...)
jeudi 17 octobre 2013
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Cubes : à vos pinceaux ! (2)
Cubes : à vos pinceaux (2). Solutions
Les assemblages sont posés sur la table, mais on ne sait pas sur combien de faces ils reposent. On peut commencer par observer les assemblages de 2 et 3 cubes. Voici les cinq possibilités pour 3 cubes.
(Cliquer sur l’image (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Un jardin du Moyen-Age
Un jardin du Moyen-Age
La figure de départ.
Cliquer sur le dessin pour un agrandissement au format A4. Premiers traits de construction.
Il faut encourager les élèves à les utiliser. Spontanément, ils essaient de tracer d’emblée les segments de droites et arcs de cercle à la "bonne (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Pavage hexagonal
Pavage hexagonal : documents et solutions
Le pavage donné.
Cliquer sur le dessin pour un agrandissement.
Solutions pour le pavage donné
Pour les pavés sombres, un hexagone découpé en six triangles suffit.
Pour les pavés clairs, on peut découper 3 hexagones en deux parties égales (il reste une (...)
mercredi 8 avril 2015
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Pour un anniversaire
Pour un anniversaire
Réponse
En considérant que les trois présentations sont pleines (sans trou) Il faut 3 boîtes pour faire la première ou la deuxième présentation. Il en faut 6 pour faire la troisième présentation.
Démarches possibles
Rien ne dit dans l’énoncé que les présentations sont « pleines « (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Rien que des carrés
Rien que des carrés : explication de la figure
Relations entre les côtés des différents carrés
La connaissance de la longueur d’un des carrés suffit à calculer toutes les autres (Voir démonstration ci-dessous).
Connaissant deux longueurs, c’est plus facile, mais il reste tout de même du travail ! (...)
lundi 21 octobre 2013
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D’autres centres.
D’autres centres : analyse
Cette construction est plus difficile que celle proposée dans "Chercher les centres"(1) et (2).
Une erreur fréquente est liée à l’impression, non vérifiée, que les quatre petits arcs appartiennent à un même (...)
mercredi 8 avril 2015
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Le ver est dans le cube
Le ver est dans le cube
Réponse
Dans le premier cube il y a 9 petits cubes troués
Dans le deuxième cube il y a 8 petits cubes troués
Dans le troisième cube il y a 7 petits cubes troués
Démarches possibles
Il faut visualiser les tunnels à l’intérieur du cube. La difficulté est ici d’imaginer le (...)
vendredi 17 janvier 2014
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La cheminée
La cheminée
L’énoncé comporte une vue en perspective et la vue de dessus. Cette dernière n’est pas indispensable puisque les données de l’énoncé sont suffisantes pour la reconstituer. On peut aussi suivant le niveau de la classe se contenter de donner la vue en perspective et demander aux élèves de (...)
jeudi 17 octobre 2013
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Economie d’énergie...
Economie d’énergie : solution
Avec un rectangle (35, 24), fabriquer un rectangle (30,28)
Tout d’abord, est-ce possible ? Il faut pour cela vérifier que 35x24 = 30x28. On peut donc au minimum découper le rectangle en petits carrés unité et les réassembler.
Ce ne serait pas "économique" du tout ! (...)
mercredi 18 mars 2015
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Les parcours de cross.
Les parcours de cross
Réponse
Le circuit ABCD mesure 16 km. Le circuit ABEF mesure 20 km.
Démarche possible
Il n’est pas rare que des élèves proposent la réponse 8 km soit le tiers du périmètre du carré.
Le côté du carré mesure 6 km (24÷4). La largeur d’un rectangle mesure 2 km (6÷3). Le tour du (...)
mercredi 8 avril 2015
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Partage inégal
Partage inégal
Réponse
1. Les moins bien servis sont Edgar et Sofia. En prenant le carré comme unité de mesure, on trouve 6 carrés pour Jeanne, Abdel et Bérénice, 5 carrés pour Edgar et Sofia.
2. Le gâteau se découpe en 28 « carrés » donc chaque « carré » pèse 25 g. La part de Jeanne, Abdel et (...)
vendredi 20 novembre 2015
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Le pigeon voyageur
Le pigeon voyageur
Réponse
Le pigeon voyageur a parcouru 40km
Démarche possible
Le plus simple est de convertir les durées en minutes. De 7h30 à 9h10 il s’écoule 1h40 soit 100 minute soit 10 fois 10 minutes. Le pigeon voyageur a parcouru (...)
mercredi 8 avril 2015
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Pliage au carré
Pliage « au carré »
Réponse
Le périmètre de la serviette est 80 cm.
Démarches possibles.
Les élèves « automathisés » proposeront sans doute 160 cm. Les autres commenceront par un schéma ou un pliage effectif. Il peut y avoir des demandes d’explication sur ce que signifie « plier en quatre »
Le (...)
vendredi 20 novembre 2015
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Plouf !
Plouf ! ___________________
Réponse
Classement du plus petit au plus grand :
Les bassins B et D puis le bassin F puis les bassins A, C et E puis les bassins G et H
Démarches possibles
Il s’agit de comparer des aires sans calcul. Les élèves vont assez naturellement compter les carreaux, ce qui (...)
mercredi 16 octobre 2013
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Le plus grand rectangle
Le plus grand rectangle : solutions
En bleu 5x7, en rouge 4x9 Le plus grand rectangle est un carré !
mercredi 16 octobre 2013
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Problème neuf !
Problème "neuf" : neuf solutions Le carré représente un terrain, les points sur le pourtour et à l’intérieur représentent des piquets.
En tendant des ficelles entre les piquets, on veut partager le terrain en deux terrains de surface équivalente.
Trouver toutes les solutions.
On précise que (...)
vendredi 20 novembre 2015
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Recyclage
Recyclage
Réponse
Une ramette ne suffira pas.
Démarches possibles
Pour que l’énoncé soit compris de tous, on aura à portée main une ou deux ramettes de papier A4, qui pourront éventuellement être utilisées. On peut demander un pronostic. Pour les élèves 500 est déjà un grand nombre, ce qui peut leur (...)
vendredi 8 novembre 2013
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Les tickets de tombola.
Les tickets de tombola : solutions
Quel est le nombre maximum de rectangles 2 x 5 que l’on peut découper dans une feuille rectangulaire 13 x 15 ?
13 x 15 = 195, 2 x 5 = 10, on peut découper 19 rectangles au maximum. Encore faut-il trouver un découpage effectif.
Il est probable que les (...)