Topologie et Théorie de la Mesure, Automne 2023

Horaires

Cours : le mardi de 15h45 à 17h15 et le mercredi de 9h45 à 11h15 Thémis 67 (parfois aussi le mercredi de 8h à 9h30)

TD mardi 14H-15H30 et mercredi 11H30-13H00. Salle Thémis 67 (attention, changement possible).

Cours

Polycopié du cours :Cours complet. (les Appendices sont hors programme et donnent des poursuites de lectures pour celles et ceux qui envisagent de continuer en Master de Maths)

Références supplémentaires (donc non essentielles pour suivre le cours)

Pour les chapitres de topologies:

Analyse de Xavier Gourdon, ellipses 1994, Collection les maths en tête (Chapitre 1 et Annexe B.)

Mathématiques 2ème année: Cours et exercices corrigés, sous la direction de Claude Deschamps, F. Moulin et A. Warusfel Dunod (Chapitres 1, 10, 11, 16 et 18.)

Mathématiques tout-en-un, de Claude Deschamps, F. Moulin et A. Warusfel Dunod Disponible en ligne (Chapitres 3 à 6 et Chapitres 13 et 14.)

Pour les chapitres d'intégrations:

Probabilité de Philippe Barbe et Michel Ledoux, EDP Sciences 2007 (chapitres 1 et 2)

Pour des cours plus complets et détaillés, on pourra aussi se référer aux polycopiés des cours du parcours de Mathématiques générales:

Mesures et intégration (Petru Mironescu)

Tologie (Julien Melleray)

Progression du Cours

Cours du 05/09/2023 (3H): Distances, normes et leur équivalence, Boules et bornés, Convergence de suite, suite de Cauchy et complétude. Ouverts, Intérieurs et début des fermés (1-6 du poly, ce sont des révisions de L2 qui ont été vues rapidement)

Cours du 06/09/2023 (1h30) :Fermés, adhéreence, densité, frontière, fonctions continues et uniformément continue sauf preuve de la caractérisation topologique à faire mardi prochain (p7-9 du poly)

Cours du 12/09/2023 (1h30) : Exemples de fonctions uniformément continues, Norme infinie sur les fonctions continues bornées. Applications linéaires continues, norme suborndonnée, caractérisation des formes linéaires continues et application à la complétude des evn de dimensions finies (p 10-11 et moitié de la p 13)

Cours du 13/09/2023 (1h30) : Isométrie, complétude de L(E,F) pour F complet, Fin des Propriétés particulières aux evn de dimension finie (continuité des applications linéaires et équivalence des normes), Compacité jusqu'au cas de dimension finie (p 12-15)

Cours du 19/09/2023 (1h30) : Théorème de Heine. Proprété de Borel-Lebesgue pour la compacité topologique (facultative) Connexité (p16-19).

Cours du 20/09/2023 (3h) : Rappels sur l'intégrale de Riemann (à valeur Banach) Ensembles convexes : définition, convexité des boules, premières propriétés et Cônes tangents et normaux dans R^n. Fonctions convexes: généralités, calcul des cônes normaux déterminés par des inégalités convexes (admis), Fonctions convexes de R: inégalité des pentes et dérivées à droite et à gauche (p 19-25)

Cours du 26/09/2023 (1h30) : Preuve du théorème de régularité des fonctions convexes. Caractérisation de la convexité des fonction dérivable par croissance de la dérivée. Rappel sur les différentielles (de Fréchet) entre e.v.n. Caractérisation différentielle des fonctions convexes.

Cours du 27/09/2023 (1h30) : Théorème de minimisation sous contrainte convexe avec CNS du première ordre. Application au théorème de projection sur un convexe fermé. Rappels pour le cours d'intégration: droite réelle étendue, liminf et limsup.

Cours du 03/10/2023 (1h30) : Rappels sur les ensembles et la dénombrabilité. Définition d'une tribu. Définition d'une mesure et d'une probabilité. Premières propriétés d'une mesure. Tribu engendrée par une famille de partie.

Cours du 04/10/2023 (1h30) : Exemples de Tribus engendrées par une famille de partie (cas fini et borélien d'un espace métrique). Parties génératrices usuelles des boréliens dans R^n (dont les pavés). Exemples simples de mesures (comptage, Dirac, mesure sur un espace fini). Théorème définissant la mesure de Lebesgue (admis). Mesure image. Fonctions mesurables et boréliennes. Stabilité par composition. Formulation de la mesurablité en terme de parties génératrices. Conséquences: continue implique borélien, et mesurabilité coordonnée par coordonnée dans R^n.

Cours du 10/10/2023 (1h30): Fonctions étagées positives et leur intégrale. Approximation des fonctions mesurables positives par des étagées. Définition de l'intégrale des fonctions positives et premières propriétés.

Cours du 11/10/2023 (1h30) Théorème de Convergence monotone. Application à l'additivité de l'intégrale des fonctions positives et à l'interversion série-intégrale. Lemme de Fatou. Définition des fonctions intégrables et de leur intégrale.

Cours du 17/10/2023 (1h30): Propriétés de base des fonctions intégrables: stabilité par combinaison linéaire et domination, finitude presque partout. Théorème de convergence dominée. Exemples et application à l'interversion série-intégrale. Comparaison entre intégrale de Riemann et de Lebesgue.

Cours du 18/10/2023 (1h30): Théorème de transfert. Lemme de Doob-Dynkin (décrivant les fonctions mesurables par rapport à la tribu engendrée par f). Mesure à densité. Intégrale pour la mesure de comptage ( application au théorème de Fubini pour les séries et aux séries commutativement convergentes)

Cours du 24/10/2023 (1h30): Fin du chapitre 3 : Intégrales dépendants d'un paramètre: Théorèmes de continuité et dérivabilité avec conditions de domination. Corollaire pour la dérivation successive. Application aux transformées de Fourier.

Cours du 25/10/2023 (1h30): Début du chapitre 4: Ensembles négligeables (stabilité par unions dénombrables). Lemme de classe monotone et ses corollaires à l'unicité des mesures finies et sigma-finies.

Cours du 7/11/2023 (1h30): Fin du chapitre 4: espaces métriques séparables. Preuve des familles génératrice usuelle des boréliens (boules ouvertes pour un e.m. séparables et produits d'intervalles ouverts pour R^n). Preuve de la mesurabilités des sup, inf, liminf, limsup et limites simples de fonctions mesurables.

Cours du 8/11/2023 (1h30): Début du chapitre 5: Tribu et mesures produits. Cas des boréliens et des mesures de Lebesgue. Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini (admis). Exemple d'un calul de volume.

Cours du 14/11/2023 (1h30): Inégalité de Jensen, Théorème de changement de variable (cas affine avec preuve et cas général : admis)

Cours du 15/11/2023 (1h30): Exemples de changements de variable (coordonnées polaires). Début du chapitre 6 : espace L^\infty (définition et caractère Banachique, démos en exo), Espaces L^p: définition, Inégalités de Hölder et de Minkowski

Cours du 21/11/2023 (1h30): Théorème de complétude de L^p et relations entre convergence mu-p.p. et convergence L^p pour 1<= p<+\infty (implication à extraction prêt depuis la convergence L^p et avec condition de domination L^p o=pour l'autre sens. Résultats de densité des fonctions étagées et à suppot compact dans le cas d'un ouvert de $\R^n$ (admis). Définition d'un espace préhilbertien et inégalité de Cauchy-Schwarz (preuve renvoyée au cours d'algèbre)

Cours du 22/11/2023 (1h30): Application de CS à la continuité du produit scalaire. Identités du parallélogramme et de polarisation, Théorème de projection sur une convexe fermé (preuve repoussée au dernier cours), exemple du cône des éléments positifs dans L^2. Application à la projection orthogonale sur un sous -espace 1. Définition de l'orthogonalité et identification du double orthogonal à l'adhérence.

Cours du 28/11/2023 (1h30): Théorème de représentation de Riesz. Formule pour les projections orthogonales sur un sous-espace de dimension finie. Exemple de projection sur L^2 d'une tribu engendré par un évènement. Procédé de Gram-Schmidt.

Cours du 29/11/2023 (1h30): Théorème des bases hibertiennes (preuve repoussée à la semaine prochaine). Exemple de la base des séries de Fourier. Exemple de la base des polynômes d'Hermite pour la mesure gaussienne standard. Preuve en utilisant le théorème d'injectivité de la transformée de Fourier (admis)

Cours du 5/12/2023 (1h30): Preuve du théorème de projection sur un convexe fermé. Preuve du Théorème des bases hibertiennes. Une Application: Théorème de convergence des martingales bornées dans L^2.

Evaluation

Un partiel CP de 1H30 (40%) et un controle final CT de 2H (60%). La moyenne est obtenu avec la règle du maximum MOYENNE=MAX(CT,CT*0.6+CP*0.4).

Le Partiel aura lieu le mercredi 18/10 de 8h à 9h30.

Programme : Exos sur les TDs 1 à 3 et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 1, 2 et parties 1.1 à 1.4 du chapitre 3) Voici le Sujet (et sa correction)

Définitions à réviser:

1.1 (distance), 1.2(norme),1.3 (distances équivalentes), 1.4 (boule ouverte, boule fermée), 1.11 (ouverts), 1.17 (fonctions continues), 1.19 (fonctions uniformément continues et lipschitziennes), 1.23 (compacité d'un espace métrique), 1.25 (ensemble connexe), 1.26 (ensemble connexe par arc), 2.1 (ensemble convexe), 2.2 (le cône tangent et le cône normal),2.3 (fonction convexe), 3.1(limsup et liminf), 3.4 (au plus dénombrable) ,3.5(tribu), 3.6 (mesure), 3.7 (tribu borélienne),

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

1.5 (caractérisation de la complétude par série, avec les définitions de série absolument convergente) 1.8 (propriétés topologiques des ouverts), 1.9 (ouverts pour la métrique induite), 1.10 (caractérisation de l'intérieur), 1.12 (propriétés topologiques des fermés), 1.13 (caractérisation séquentielle des fermés), 1.18 (caractérisation séquentielle de l'adhérence), 1.19 (caractérisation séquentielle de la continuité), 1.20 (caractérisation topologique de la continuité), 1.24 (Complétude des espaces de fonctions continues) 1.29-1.30-1.31 (propriétés particulières en dimensions finie) 1.37 (image directe des compacts), 1.38 (Théorème de Weierstrass), 1.41 (Théorème de Heine), 1.40 (les compacts de \R^n), 1.49 (partie connexe de \R), 1.51 (relation entre connexité et connexité par arc) 2.6 (Théorème décrivant les cônes normaux de convexes définis par contraintes), 2.8 (inégalité des pentes), 2.9 (dérivabilité des fonctions convexes sur \R), 2.12 (caractérisation différentielle des fonctions convexes), 2.14 (théorème de minimisation sous contrainte convexe) 2.15 (théorème de projection sur un convexe fermé de R^n), 3.8 (propriétés usuelles des mesures), 3.10 et 3.11 (systèmes générateurs usuels des boréliens de R^n), 3.13 (Théorème définissant la mesure de Lebesgue)

L'examen aura lieu le lundi 08/01 de 10h à 12h.

Programme : Exos sur tous les TDs et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 3 à 7) Voici le Sujet (et sa correction)

L'examen de session 2aura lieu le mercredi 26/06 de 10h à 12h.

Programme : comme à l'examen. Exos sur tous les TDs et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 3 à 7)

Programme des Questions de Cours pour l'examen

Définitions à réviser :

3.1(limsup et liminf), 3.4 (au plus dénombrable) ,3.5(tribu), 3.6 (mesure), 3.7 (tribu borélienne), 3.12 (intégrale d'une fonction positive), 4.1 (ensembles négligeables), 4.3 (classe monotone), 4.5 (espace métrique séparable), 7.1 et 7.2 (espace préhilbertien et de Hilbert) 7.3 (orthogonal d'un sous-espace) 7.4 Bases hilbertiennes.

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

3.8 (propriétés usuelles des mesures), 3.10 et 3.11 (systèmes générateurs usuels des boréliens de R^n), 3.13 (Théorème définissant la mesure de Lebesgue) 3.24 (Approximation des fonctions mesurables positives) 3.26 (Théorème de convergence monotone), 3.29 (Interversion série-intégrale dans le cas positif) 3.30 (lemme de Fatou), 3.32 (propriétés de bases de l'intégrale des fonctions intégralbes),3.33 (Théorème de convergence dominée), 3.34 (Interversion série-intégrale dans le cas intégrable), 3.35 ( Théorème de transfert) 3.38 (Mesures à densités), 3.41 (Théorème de continuité avec condition de domination) 3.43 (Théorème de dérivation successive) 4.1 (stabilité des ensembles négligeables), 4.3 (Lemme de classe monotone) 4.4 (corollaire au lemme de classe monotone), 4.10 (Thm d'approximation de Weierstrass) 5.3 (Fubini-Tonelli), 5.4 (Fubini), Inégalité de Jensen (Thm 5.5), Théorème de changement de variable (Thm 5.10), Inégalité de Hölder (Prop 6.3 et Lemme 6.4) Inégalité de Minkowski (Thm 6.5) Thm de convergence dominée L^p (Thm 6.6), Thm de Riesz-Fischer (Thm 6.7) Thm de projection sur un convexe fermé (Thm 7.3). Thm de projection sur un sous-espace fermé (Thm 7.4), Thm de représentation de Riesz (Thm 7.6), Théorème des bases (Thm 7.9), Thm sur la transformée de Fourier (Thm 7.11)