À l’initiative des bibliothèques MIR (mathématiques et informatique recherche) de l’UPMC et de l’UPD, et avec le soutien de la BUPMC et de la Fédération de recherche mathématique de Paris-Centre, l’exposition

IMAGINARY : avec les yeux des mathématiques

s’installera le 5 novembre prochain dans la bibliothèque de mathématiques recherche de l’UPMC à Jussieu et, pour une moindre part, dans celle de l’UPD à Chevaleret, pour environ cinq semaines.

IMAGINARY est une exposition interactive itinérante du Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Elle a été créée pour l’Année allemande des Mathématiques 2008. L’exposition présente de manière attirante et compréhensible des images d’objets mathématiques, des installations interactives, des expériences de réalité virtuelle et des objets en 3D ainsi que leur origine mathématique en géométrie algébrique.

Joignez-vous à nous pour un voyage aux frontières de l’art et de la science !

IMAGINARY a visité plus de 20 villes en Europe et aux USA mais c’est sa première visite en France. L’exposition se propose de susciter intérêt et curiosité pour les mathématiques. Les visiteurs sont encouragés à utiliser les postes interactifs et à créer leurs propres œuvres d’art en utilisant les logiciels mis à leur disposition. Des démonstrateurs donneront des indications utiles sur les bases théoriques et répondront aux questions des visiteurs de tous les âges. Les enseignants et les groupes scolaires sont particulièrement encouragés à venir visiter l’exposition. Quelques visites guidées gratuites peuvent être organisées : contactez les responsables des bibliothèques de Mathématiques Informatique Recherche, liliane.zweigupmc.fr, julie.janodyuniv-paris-diderot.fr

Vous pouvez en apprendre beaucoup plus en visitant le site indiqué plus haut, et voici quelques exemples de figures et de leur commentaire.

La cubique de Cayley

Cette cubique (surface de degré trois) qui se trouve aussi dans la galerie surfaces simples présente simultanément quatre singularités en forme de double cône. Son nom est un hommage à Sir Arthur Cayley qui a beaucoup étudié les surfaces cubiques. Mais c’est Ludwig Schläfli qui le premier a en 1863 a étudié systématiquement quelles singularités ces surfaces pouvaient contenir. On peut par exemple trouver dans ses travaux la raison pour laquelle une surface cubique ne peut présenter simultanément plus de quatre singularités.

Felix Klein a aussi étudié vers 1900 les surfaces cubiques et leurs formes possibles. Son idée était d’essayer d’obtenir ces formes au moyen de petites déformations de la cubique de Cayley. Par séparation, lissage ou coalescence de points doubles il pouvait en effet produire toutes les autres formes.

Une quintique de Togliatti

Eugenio Giuseppe Togliatti a démontré dès 1937 qu’il existe une surface de degré 5 (quintique) avec exactement 31 singularités —un record à l’époque !

En 1980 Arnaud Beauville a montré grâce à une application intéressante de la théorie des codes correcteurs d’erreur qu’une quintique ne peut avoir un plus grand nombre de singularités, c’est à dire que le record de Togliatti ne peut être battu !

Comme il n’existe malheureusement aucun solide platonicien dont on pourrait utiliser les symétries comme on le fait pour construire la quintique de Kummer ou la sextique de Barth, la quintique construite ici possède très peu de symétries, en fait seulement celles d’un pentagone régulier.

Cette équation a aussi été trouvée par Wolf Barth (1990) ; la surface de Togliatti de 1937 est en effet difficile à visualiser (voir aussi le No. 23 de ce calendrier).

L’exposition vous permet aussi de visualiser des surfaces dont vous choisissez l’équation et de les faire tourner.